高等数学下复旦大学出版习题.docx

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高等数学下复旦大学出版习题

习题十一

1．设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：

其中P（x,y）在L上连续．

证：

设L是直线x=a上由（a,b1）到（a,b2）这一段，

则L：

，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故

2．设L为xOy面内x轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：

，其中P（x,y）在L上连续．

证：

L：

，起点参数为x=a，终点参数为x=b．

故

3．计算下列对坐标的曲线积分：

（1），其中L是抛物线y=x2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧；

（2）其中L为圆周（x-a）2+y2=a2（a>0）及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；

（3），其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到的一段弧；

（4），其中L为圆周x2+y2=a2（按逆时针方向绕行）；

（5），其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧；

（6），其中Γ是从点（3,2,1）到点（0,0,0）的一段直线；

（7），其中Γ为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0），（0,1,0），（0,0,1）；

（8），其中L是抛物线y=x2上从点（-1,1）到点（1,1）的段弧．

解：

（1）L：

y=x2，x从0变到2，

（2）如图11-1所示，L=L1+L2．其中L1的参数方程为

图11-1

L2的方程为y=0（0≤x≤2a）

故

（3）

（4）圆周的参数方程为：

x=acost，y=asint，t:

0→2π．

故

（5）

（6）直线Γ的参数方程是t从1→0．

故

（7）（如图11-2所示）

图11-2

，x从0→1

．

，z从0→1

，x从0→1

．

故

（8）

4．计算，其中L是

（1）抛物线y2=x上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧；

（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段；

（3）先沿直线从（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线；

（4）曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧．

解：

（1）L：

，y：

1→2，故

（2）从（1,1）到（4,2）的直线段方程为x=3y-2，y：

1→2

故

（3）设从点（1,1）到点（1,2）的线段为L1，从点（1,2）到（4,2）的线段为L2，则L=L1+L2．且

L1：

，y：

1→2；L2：

，x：

1→4；

故

从而

（4）易得起点（1,1）对应的参数t1=0，终点（4,2）对应的参数t2=1，故

5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由（a,0）沿椭圆移动到B（0,b），求力所做的功．

解：

依题意知F=kxi+kyj，且L：

，t：

0→

（其中k为比例系数）

6．计算对坐标的曲线积分：

（1），Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限；

（2），Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分．

解:

（1）Γ：

　即

其参数方程为：

　t：

0→2π

故：

（2）如图11-3所示．

图11-3

Γ=Γ1+Γ2+Γ3．

Γ1：

　t：

0→，

故

又根据轮换对称性知

7．应用格林公式计算下列积分：

（1），其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；

（2），其中L为正向星形线；

（3），其中L为抛物线2x=πy2上由点（0,0）到（,1）的一段弧；

（4），L是圆周上由点（0,0）到（1,1）的一段弧；

（5），其中m为常数，L为由点（a,0）到（0,0）经过圆

x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）．

图11-4

解：

（1）L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，

Q=3x+5y-6，，，由格林公式得

（2）P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，

则，

．

从而，由格林公式得．

（3）如图11-5所示，记，，围成的区域为D．（其中=-L）

图11-5

P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2

，

由格林公式有：

故

（4）L、AB、BO及D如图11-6所示．

图11-6

由格林公式有

而P=x2-y，Q=-（x+sin2y）．

，，即，

于是

从而

（5）L，OA如图11-7所示．

图11-7

P=exsiny-my，

Q=excosy-m，

，

由格林公式得：

于是：

8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：

（1）星形线x=acos3t，y=asin3t2ex2；

（2）双纽线r2=a22cos2θ；

（3）圆x2+y2=2ax．

解：

（1）

（2）利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ，y=rsinθ得

，

从而xdy-ydx=a2cos2θdθ．

于是面积为：

（3）圆x2+y2=2ax的参数方程为

故

9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：

（1）；

（2）；

（3）沿在右半平面的路径；

（4）沿不通过原点的路径；

证：

（1）P=x-y，Q=y-x．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，故积分与路径无关．取L为从（0,0）到（1,1）的直线段，则L的方程为：

y=x，x：

0→1．于是

（2）P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，，有，所以积分与路径无关．

取L为从（1,2）→（1,4）→（3,4）的折线，则

（3），，P，Q在右半平面内有连续偏导数，且，，在右半平面内恒有，故在右半平面内积分与路径无关．

取L为从（1,1）到（1,2）的直线段，则

（4），，且在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关，

取L为从（1,0）→（6,0）→（6,8）的折线，则

10．验证下列P（x,y）dx+Q（x,y）dy在整个xOy面内是某一函数u（x,y）的全微分，并求这样的一个函数u（x,y）：

（1）（x+2y）dx+（2x+y）dy；

（2）2xydx+x2dy；

（3）（3x2y+8xy2）dx+（x3+8x2y+12yey）dy；

（4）（2xcosy+y2cosx）dx+（2ysinx-x2siny）dy．

解：

证：

（1）P=x+2y，Q=2x+y．

，所以（x+2y）dx+（2x+y）dy是某个定义在整个xOy面内的函数u（x,y）的全微分．

（2）P=2xy,Q=x2,，故2xydx+x2dy是某个定义在整个xOy面内的函数u（x,y）的全微分．

（3）P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey，，故（3x2y+8xy2）dx+（x3+8x2y+12yey）dy是某个定义在整个xOy面内函数u（x,y）的全微分，

（4）P=2xcosy+y2cosx，Q=2ysinx-x2siny，，，

有，故（2xcosy+y2cosx）dx+（2ysinx-x2siny）dy是某一个定义在整个xOy面内的函数u（x,y）的全微分，

11．证明：

在整个xOy平面内除y的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．

证：

，，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数，并且．

，（x,y）∈G

因此在开区域G内是某个二元函数u（x,y）的全微分．

由

知．

12．设在半平面x>0中有力构成力场，其中k为常数，，证明：

在此力场中场力所做的功与所取的路径无关．

证：

场力沿路径L所作的功为．

　其中，，则P、Q在单连通区域x>0内具有一阶连续偏导数，并且

因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．

13．当Σ为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？

解：

因为Σ：

z=0，在xOy面上的投影区域就是Σ

故

当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号．

14．计算下列对坐标的曲面积分：

（1），其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧；

（2），其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；

（3），其中f（x,y,z）为连续函数，Σ是平面x-y+z=1在第Ⅳ封限部分的上侧；

（4），其中Σ是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；

（5），其中Σ为曲面与平面z=h（h>0）所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；

（6），其中Σ为x=y=z=0，x=y=z=a所围成的正方体表面，取外侧为正向；

解：

（1）Σ：

，下侧，Σ在xOy面上的投影区域Dxy为：

x2+y2≤R2．

（2）Σ如图11-8所示，Σ在xOy面的投影为一段弧，

图11-8

故，Σ在yOz面上的投影

Dyz={（y,z）|0≤y≤1，0≤z≤3}，此时Σ可表示为：

，（y,z）∈Dyz，

故

Σ在xOz面上的投影为Dxz={（x,z）|0≤x≤1，0≤z≤3}，此时Σ可表示为：

，（x,z）∈Dxz，

故

因此：

（3）Σ如图11-9所示，平面x-y+z=1上侧的法向量为

n={1,-1,1}，n的方向余弦为

，，，

图11-9

由两类曲面积分之间的联系可得：

（4）如图11-10所示：

图11-10

Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：

z=0，Σ2：

x=0，Σ3：

y=0，Σ4：

x+y+z=1，

故

由积分变元的轮换对称性可知．

因此．

（5）记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：

（6）记Σ所围的立方体为Ω，

P=y（x-z），Q=x2，R=y2+xz．

由高斯公式有

15.设某流体的流速V=（k,y,0），求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量.

解：

设球体为Ω，球面为Σ，则流量

（由高斯公式）

16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：

（1），其中Σ为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所围成的立体的表面的外侧；

（2），其中Σ为球面x2+y2+z2=a2的外侧；

（3），其中Σ为上半球体x2+y2≤a2，的表面外侧；

（4），其中Σ是界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2=9的整个表面的外侧；

解：

（1）由高斯公式

（2）由高斯公式：

（3）由高斯公式得

（4）由高斯公式得：

17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：

（1），其中Γ为圆周x2+y2+z2=a2，x+y+z=0，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；

（2），其中Γ是用平面截立方体：

0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面所得的截痕，若从Ox轴的正向看去，取逆时针方向；

（3），其中Γ是圆周x2+y2=2z，z=2，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；

（4），其中Γ是圆周x2+y2+z2=9，z=0，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．

解：

（1）取Σ为平面x+y+z=0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa2（大圆面积），Σ的单位法向量为

．

由斯托克斯公式

（2）记为Σ为平面被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ的面积为（是一个边长为的正六边形）；

Σ的单位法向量为

．

由斯托克斯公式

（3）取Σ：

z=2，Dxy：

x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：

（4）圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：

z=0，Dxy：

x2+y2≤9由斯托克斯