高等数学下复旦大学出版习题.docx

上传人:b****1 文档编号:1710526 上传时间:2022-10-23 格式:DOCX 页数:24 大小:838.78KB
下载 相关 举报
高等数学下复旦大学出版习题.docx_第1页
第1页 / 共24页
高等数学下复旦大学出版习题.docx_第2页
第2页 / 共24页
高等数学下复旦大学出版习题.docx_第3页
第3页 / 共24页
高等数学下复旦大学出版习题.docx_第4页
第4页 / 共24页
高等数学下复旦大学出版习题.docx_第5页
第5页 / 共24页
点击查看更多>>
下载资源
资源描述

高等数学下复旦大学出版习题.docx

《高等数学下复旦大学出版习题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学下复旦大学出版习题.docx(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。

高等数学下复旦大学出版习题.docx

高等数学下复旦大学出版习题

习题十一

1.设L为xOy面内直线x=a上的一段,证明:

其中P(x,y)在L上连续.

证:

设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段,

则L:

,始点参数为t=b1,终点参数为t=b2故

2.设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线,证明:

,其中P(x,y)在L上连续.

证:

L:

,起点参数为x=a,终点参数为x=b.

3.计算下列对坐标的曲线积分:

(1),其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;

(2)其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);

(3),其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到的一段弧;

(4),其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行);

(5),其中Γ为曲线x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧;

(6),其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线;

(7),其中Γ为有向闭拆线ABCA,这里A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);

(8),其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧.

解:

(1)L:

y=x2,x从0变到2,

(2)如图11-1所示,L=L1+L2.其中L1的参数方程为

图11-1

L2的方程为y=0(0≤x≤2a)

(3)

(4)圆周的参数方程为:

x=acost,y=asint,t:

0→2π.

(5)

(6)直线Γ的参数方程是t从1→0.

(7)(如图11-2所示)

图11-2

,x从0→1

,z从0→1

,x从0→1

(8)

4.计算,其中L是

(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;

(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;

(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线;

(4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

解:

(1)L:

,y:

1→2,故

(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2,y:

1→2

(3)设从点(1,1)到点(1,2)的线段为L1,从点(1,2)到(4,2)的线段为L2,则L=L1+L2.且

L1:

,y:

1→2;L2:

,x:

1→4;

从而

(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0,终点(4,2)对应的参数t2=1,故

5.设质点受力作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到B(0,b),求力所做的功.

解:

依题意知F=kxi+kyj,且L:

,t:

0→

(其中k为比例系数)

6.计算对坐标的曲线积分:

(1),Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆,方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限;

(2),Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线,方向按曲线依次经过xOy平面部分,yOz平面部分和zOx平面部分.

解:

(1)Γ:

 即

其参数方程为:

 t:

0→2π

故:

(2)如图11-3所示.

图11-3

Γ=Γ1+Γ2+Γ3.

Γ1:

 t:

0→,

又根据轮换对称性知

7.应用格林公式计算下列积分:

(1),其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界;

(2),其中L为正向星形线;

(3),其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(,1)的一段弧;

(4),L是圆周上由点(0,0)到(1,1)的一段弧;

(5),其中m为常数,L为由点(a,0)到(0,0)经过圆

x2+y2=ax上半部分的路线(a为正数).

图11-4

解:

(1)L所围区域D如图11-4所示,P=2x-y+4,

Q=3x+5y-6,,,由格林公式得

(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex,Q=x2sinx-2yex,

则,

从而,由格林公式得.

(3)如图11-5所示,记,,围成的区域为D.(其中=-L)

图11-5

P=2xy3-y2cosx,Q=1-2ysinx+3x2y2

由格林公式有:

(4)L、AB、BO及D如图11-6所示.

图11-6

由格林公式有

而P=x2-y,Q=-(x+sin2y).

,,即,

于是

从而

(5)L,OA如图11-7所示.

图11-7

P=exsiny-my,

Q=excosy-m,

由格林公式得:

于是:

8.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:

(1)星形线x=acos3t,y=asin3t2ex2;

(2)双纽线r2=a22cos2θ;

(3)圆x2+y2=2ax.

解:

(1)

(2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ,y=rsinθ得

从而xdy-ydx=a2cos2θdθ.

于是面积为:

(3)圆x2+y2=2ax的参数方程为

9.证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值:

(1);

(2);

(3)沿在右半平面的路径;

(4)沿不通过原点的路径;

证:

(1)P=x-y,Q=y-x.显然P,Q在xOy面内有连续偏导数,且,故积分与路径无关.取L为从(0,0)到(1,1)的直线段,则L的方程为:

y=x,x:

0→1.于是

(2)P=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2.显然P,Q在xOy面内有连续偏导数,且,,有,所以积分与路径无关.

取L为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线,则

(3),,P,Q在右半平面内有连续偏导数,且,,在右半平面内恒有,故在右半平面内积分与路径无关.

取L为从(1,1)到(1,2)的直线段,则

(4),,且在除原点外恒成立,故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关,

取L为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线,则

10.验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy面内是某一函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个函数u(x,y):

(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy;

(2)2xydx+x2dy;

(3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy;

(4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy.

解:

证:

(1)P=x+2y,Q=2x+y.

,所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分.

(2)P=2xy,Q=x2,,故2xydx+x2dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分.

(3)P=3x2y+8xy2,Q=x3+8x2y+12yey,,故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某个定义在整个xOy面内函数u(x,y)的全微分,

(4)P=2xcosy+y2cosx,Q=2ysinx-x2siny,,,

有,故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分,

11.证明:

在整个xOy平面内除y的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分,并求出这样的一个二元函数.

证:

,,显然G是单连通的,P和Q在G内具有一阶连续偏导数,并且.

,(x,y)∈G

因此在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分.

知.

12.设在半平面x>0中有力构成力场,其中k为常数,,证明:

在此力场中场力所做的功与所取的路径无关.

证:

场力沿路径L所作的功为.

 其中,,则P、Q在单连通区域x>0内具有一阶连续偏导数,并且

因此以上积分与路径无关,即力场中场力所做的功与路径无关.

13.当Σ为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?

解:

因为Σ:

z=0,在xOy面上的投影区域就是Σ

当Σ取的是上侧时为正号,Σ取的是下侧时为负号.

14.计算下列对坐标的曲面积分:

(1),其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧;

(2),其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧;

(3),其中f(x,y,z)为连续函数,Σ是平面x-y+z=1在第Ⅳ封限部分的上侧;

(4),其中Σ是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧;

(5),其中Σ为曲面与平面z=h(h>0)所围成的立体的整个边界曲面,取外侧为正向;

(6),其中Σ为x=y=z=0,x=y=z=a所围成的正方体表面,取外侧为正向;

解:

(1)Σ:

,下侧,Σ在xOy面上的投影区域Dxy为:

x2+y2≤R2.

(2)Σ如图11-8所示,Σ在xOy面的投影为一段弧,

图11-8

故,Σ在yOz面上的投影

Dyz={(y,z)|0≤y≤1,0≤z≤3},此时Σ可表示为:

,(y,z)∈Dyz,

Σ在xOz面上的投影为Dxz={(x,z)|0≤x≤1,0≤z≤3},此时Σ可表示为:

,(x,z)∈Dxz,

因此:

(3)Σ如图11-9所示,平面x-y+z=1上侧的法向量为

n={1,-1,1},n的方向余弦为

,,,

图11-9

由两类曲面积分之间的联系可得:

(4)如图11-10所示:

图11-10

Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4.其方程分别为Σ1:

z=0,Σ2:

x=0,Σ3:

y=0,Σ4:

x+y+z=1,

由积分变元的轮换对称性可知.

因此.

(5)记Σ所围成的立体为Ω,由高斯公式有:

(6)记Σ所围的立方体为Ω,

P=y(x-z),Q=x2,R=y2+xz.

由高斯公式有

15.设某流体的流速V=(k,y,0),求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量.

解:

设球体为Ω,球面为Σ,则流量

(由高斯公式)

16.利用高斯公式,计算下列曲面积分:

(1),其中Σ为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧;

(2),其中Σ为球面x2+y2+z2=a2的外侧;

(3),其中Σ为上半球体x2+y2≤a2,的表面外侧;

(4),其中Σ是界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2=9的整个表面的外侧;

解:

(1)由高斯公式

(2)由高斯公式:

(3)由高斯公式得

(4)由高斯公式得:

17.利用斯托克斯公式,计算下列曲线积分:

(1),其中Γ为圆周x2+y2+z2=a2,x+y+z=0,若从x轴的正向看去,这圆周是取逆时针的方向;

(2),其中Γ是用平面截立方体:

0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1的表面所得的截痕,若从Ox轴的正向看去,取逆时针方向;

(3),其中Γ是圆周x2+y2=2z,z=2,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向;

(4),其中Γ是圆周x2+y2+z2=9,z=0,若从z轴正向看去,这圆周是取逆时针方向.

解:

(1)取Σ为平面x+y+z=0被Γ所围成部分的上侧,Σ的面积为πa2(大圆面积),Σ的单位法向量为

由斯托克斯公式

(2)记为Σ为平面被Γ所围成部分的上侧,可求得Σ的面积为(是一个边长为的正六边形);

Σ的单位法向量为

由斯托克斯公式

(3)取Σ:

z=2,Dxy:

x2+y2≤4的上侧,由斯托克斯公式得:

(4)圆周x2+y2+z2=9,z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9,z=0,取Σ:

z=0,Dxy:

x2+y2≤9由斯托克斯

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索

当前位置:首页 > PPT模板 > 图表模板

copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有

经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1