高中数学 第三章 概率 321 古典概型的特征和概率计算公式教案 北师大版必修31文档格式.docx
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思路2.将扑克牌（52张）反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？
是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？
这样工作量较大且不够准确．有更好地解决方法吗？
把“抽到红心”记为事件B，那么事件B相当于“抽到红心1”“抽到红心2”……“抽到红心K”这13种情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；
由于是任意抽取的，可以认为这52种情况的可能性是相等的．所以，当出现红心是“抽到红心1”“抽到红心2”……“抽到红心K”这13种情形之一时，事件B就发生，于是P（B）＝
＝
.为此我们学习古典概型．
推进新课
试验一：
抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后由课代表汇总；
试验二：
抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最后由课代表汇总．
1．用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？
为什么？
2．根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？
3．什么是基本事件？
基本事件具有什么特点？
4．什么是古典概型？
它具有什么特点？
5．对于古典概型，应怎样计算事件的概率？
活动：
学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，讨论可能出现的情况，最后师生共同汇总方法、结果和感受．
讨论结果：
1.用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好，因为需要进行大量的试验，同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率，存在一定的误差．
2．上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”，它们都是随机事件，出现的概率是相等的，都是0.5.上述试验二的6个结果是“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”，它们也都是随机事件，出现的概率是相等的，都是
.
3．根据以前的学习，上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”，它们都是随机事件；
上述试验二的6个结果“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”，它们都是随机事件，像这类随机事件我们称为基本事件（elementaryevent）；
它是试验的每一个可能结果．
基本事件具有如下的两个特点：
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
4．在一个试验中，如果：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相等．（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型．
如图1，向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？
图1
因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件．
如图2，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：
命中10环、命中9环……命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？
图2
不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件．
5．古典概型，随机事件的概率计算
对于试验一，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即
P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”），
由概率的加法公式，得P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1.
因此P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝
，
即P（“出现正面朝上”）＝
试验二中，出现各个点的概率相等，即
P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）．
反复利用概率的加法公式，我们有
P（“1点”）＋P（“2点”）＋P（“3点”）＋P（“4点”）＋P（“5点”）＋P（“6点”）＝P（必然事件）＝1，
所以P（“1点”）＝P（“2点”）＝P（“3点”）＝P（“4点”）＝P（“5点”）＝P（“6点”）＝
进一步，利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如，
P（“出现偶数点”）＝P（“2点”）＋P（“4点”）＋P（“6点”）＝
＋
即P（“出现偶数点”）＝
因此根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为P（A）＝
在使用古典概型的概率公式时，应该注意：
①要判断该概率模型是不是古典概型；
②要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
下面我们看它们的应用．
思路1
例1在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选取2个质量盘装在拉力器上．有2个装质量盘的箱子，每个箱子中都装有4个不同的质量盘：
2.5kg,5kg,10kg和20kg，每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器．
（1）随机地从2个箱子中各取1个质量盘，共有多少种可能的结果？
用表格列出所有可能的结果．
（2）计算选取的2个质量盘的总质量分别是下列质量的概率：
①20kg；
②30kg；
③不超过10kg；
④超过10kg.
（3）如果一个人不能拉动超过22kg的质量，那么他不能拉开拉力器的概率是多少？
解：
（1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从4种不同的质量盘中任意选取．我们可以用一个“有序实数对”来表示随机选取的结果．例如，我们用（10,20）来表示：
在一次随机的选取中，从第一个箱子取的质量盘是10kg，从第二个箱子取的质量盘是20kg.下表列出了所有可能结果．
从表中可以看出，随机地从2个箱子中各取1个质量盘的所有可能结果共有16种．由于选取质量盘是随机的，因此这16种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型．
（2）
①用A表示事件“选取的2个质量盘的总质量是20kg”，因为总质量为20kg的所有可能结果只有1种，因此，事件A的概率
＝0.0625.
②用B表示事件“选取的2个质量盘的总质量是30kg”，从表中可以看出，总质量为30kg的所有可能结果共有2种，因此，事件B的概率
P（B）＝
＝0.125.
③用C表示事件“选取的2个质量盘的总质量不超过10kg”．总质量不超过10kg，即总质量为5kg,7.5kg,10kg之一，从表中容易看出，所有可能结果共有4种，因此，事件C的概率
P（C）＝
＝0.25.
④用D表示事件“选取的2个质量盘的总质量超过10kg”．总质量超过10kg，即总质量为12.5kg,15kg,20kg,22.5kg,25kg,30kg,40kg之一，从表中可以看出，所有可能结果共有12种，因此，事件D的概率
P（D）＝
＝0.75.
（3）用E表示事件“不能拉开拉力器”，即总质量超过了22kg.总质量超过22kg是指总质量为22.5kg,25kg,30kg,40kg之一，从表中可以看出，这样的可能结果共有7种，因此，不能拉开拉力器的概率
P（E）＝
≈0.44.
点评：
在这个例子中，我们用列表的方法列出了所有可能的结果．在计算古典概率时，只要所有可能结果的数量不是很多，列举法是我们常用的一种方法．
例2单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？
学生阅读题目，搜集信息，交流讨论，教师引导，解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型．如果学生掌握或者掌握了部分考查内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定学生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型．
这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：
选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是A，B，C，D的可能性是相等的．从而由古典概型的概率计算公式，得P（“答对”）＝
古典概型解题步骤：
（1）阅读题目，搜集信息；
（2）判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；
（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；
（4）用公式P（A）＝
求出概率并下结论.
变式训练
1．抛掷两枚均匀硬币，求出现两个正面朝上的概率．
试验的所有可能结果为：
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）．
这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．
故出现两个正面朝上的概率为
2．一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率．
解法一：
设A表示“出现点数之和为奇数”，用（i，j）记“第一颗骰子出现i点，第二颗骰子出现j点”，i，j＝1,2，…，6.显然出现的36个基本事件的概率是相等的，其中A包含的基本事件个数为k＝3×
3＋3×
3＝18，故P（A）＝
解法二：
若把一次试验的所有可能结果取为：
（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），则它们发生的概率相等．基本事件总数n＝4，A包含的基本事件个数k＝2，故P（A）＝
解法三：
{点数和为奇数}，{点数和为偶数}，两者发生的概率也相等，基本事件总数n＝2，A所包含基本事件数为1，故P（A）＝
找出所有的基本事件，必须是等概率的．解法二中倘若解为：
（两个奇），（一奇一偶），（两个偶）当作基本事件组成样本空间，则得出P（A）＝
，错的原因就是它不是等概率的．例如P（两个奇）＝
，而P（一奇一偶）＝
.本例又告诉我们，同一问题可取不同的基本事件解答.
例3同时掷两个骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
（1）掷一个骰子的结果有6种．我们把两个骰子标上记号1,2以便区分，由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对，组成同时掷两个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种．
（2）在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果．
（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P（A）＝
例4假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1，2，…，9十个数字中的任意一个．假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
图3
一个密码相当于一个基本事件，总共有10000个基本事件，它们分别是0000,0001,0002，…，9998,9999.随机地试密码，相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的，所以这是一个古典概型．事件“试一次密码就能取到钱”由1个基本事件构成，所以P（“试一次密码就能取到钱”）＝
发生概率为
的事件是小概率事件，通常我们认为这样的事件在一次试验中是几乎不可能发生的，也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的．但我们知道，如果试验很多次，比如100000次，那么这个小概率事件是可能发生的．所以，为了安全，自动取款机一般允许取款人最多试3次密码，如果第4次输入的号码仍是错误的，那么取款机将“没收”储蓄卡．另外，为了使通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小，现在储蓄卡可以使用6位数字作密码．
人们为了方便记忆，通常用自己的生日作为储蓄卡的密码．当钱包里既有身份证又有储蓄卡时，密码泄密的概率很大．因此用身份证上的号码作密码是不安全的．
思路2
例1一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，问：
（1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的两个都是白球的概率是多少？
可用枚举法找出所有的等可能基本事件．
（1）分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件〔摸到1,2号球用（1,2）表示〕：
（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）．
因此，共有10个基本事件．
（2）上述10个基本事件发生的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A），即（1,2），（1,3），（2,3），故P（A）＝
即共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为
将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数的和是3的倍数的概率是多少？
分析：
（1）将骰子抛掷1次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果．先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又有6种可能的结果，于是一共有6×
6＝36种不同的结果．
（2）第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：
第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有6×
2＝12种不同的结果．
（3）记“向上点数和为3的倍数”为事件A，则事件A的结果有12种，因为抛两次得到的36种结果是等可能出现的，所以所求的概率为P（A）＝
（1）先后抛掷2次，共有36种不同的结果；
（2）两数的和是3的倍数的结果有12种；
（3）两数的和是3的倍数的概率为
也可以利用图表来数基本事件的个数（如图4）：
图4
例2从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
学生思考或交流，教师引导，每次取出一个，取后不放回，其一切可能的结果组成的基本事件是等可能发生的，因此可用古典概型解决．
每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A由（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）这4个基本事件组成，
因而P（A）＝
思考
在上例中，把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率.
有放回地连续取出两件，其一切可能的结果有：
（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1），由9个基本事件组成，由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B包含了（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）这4个基本事件．
因而P（B）＝
（1）在连续两次取出过程中，（a1，b1）与（b1，a1）不是同一个基本事件，因为先后顺序不同．
（2）无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.
现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品．
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
（1）为有放回抽样；
（2）为不放回抽样.
（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x，y，z）记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×
10×
10＝103种；
设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×
8×
8＝83种，因此，P（A）＝
＝0.512.
（2）方法一：
可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x，y，z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×
9×
8＝720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×
7×
6＝336，所以P（B）＝
≈0.467.
方法二：
可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x，y，z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x，y，z），（x，z，y），（y，x，z），（y，z，x），（z，x，y），（z，y，x）是相同的，所以试验的所有结果有10×
8÷
6＝120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×
6÷
6＝56，因此P（B）＝
关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.
本节练习1,2,3.
一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：
（1）有一面涂有色彩的概率；
（2）有两面涂有色彩的概率；
（3）有三面涂有色彩的概率．
在1000个小正方体中，一面涂有色彩的有82×
6个，两面涂有色彩的有8×
12个，三面涂有色彩的有8个，故
（1）有一面涂有色彩的概率为P1＝
＝0.384；
（2）有两面涂有色彩的概率为P2＝
＝0.096；
（3）有三面涂有色彩的概率为P3＝
＝0.008.
答：
（1）一面涂有色彩的概率为0.384；
（2）有两面涂有色彩的概率为0.096；
（3）有三面涂有色彩的概率为0.008.
1．古典概型
我们将具有
这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型．
2．古典概型计算任何事件的概率计算公式
3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表），应做到不重不漏．
本节练习4.
本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；
再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式．这一过程能够培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．
在解决概率的计算上，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑．由此，整个教学设计可以在教师的期盼中实施．
一、备选习题
1．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）．
A.
B.
C.
D．以上都不对
解析：
在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为
答案：
B
2．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ ）．
D.
从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉（记为事件A）包含8个基本事件，所以，所求概率为P（A）＝
C
3．在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是________．
记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：
（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2），（红1，白3），（红2，白1），（红2，白2），（红2，白3），（白1，白2），（白1，白3），（白2，白3）共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为
4．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率．
在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1,2以便区分，由于1,2号骰子分别有6种不同的结果，因此同时掷两颗骰子的结果共有6×
6＝36种，在所有结果中，向上的点数之和为8的结果有（2,6），（3,5），（4,4），（5,3），（6,2）5种，所以，所求事件的概率为
5．豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决
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