流体力学习题0001文档格式.docx

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V（1,1）

v（0,0）

v（1,1）%）

z（1,1）

202

（-）2

（上）2（8）2

P（1,1）1

400

260

1R1’1）

70,

F?

1,1）

10.97（N/

2、

21

P1,1）

m）

（2）

5-3

直径为2m

四点的绝对压力驻点的位置以及

19.17（N/m2）

14（m/s）

—（m/s）

的圆柱体在水下深度为H=10m以平移速度u0运动,

（2）若圆柱体运动的同时还受到本身轴线以角速度B、D两点的速度和压力。

试求

（1）A、B、C、D

60r/min转动，试决定

此时若水深增至100m，求产生空泡时的速度（注:

..32

温度为15c时，水的饱和蒸汽压力为2.33210N/m。

）

—=一一

亠A⑴

I

H

u0弋尸

D

（1）等效于：

均匀流+偶极

偶极强度：

M2v0a2

a1m,v0u010m/s,M2v0a20

代入r=a的圆柱表面的速度分布为:

PqP0

53

hg1.01310109.8110

1.994

105（帕）

注：

Po取1标准大气压

若取P0为一个工程大气压：

P00.981105Pa

均匀流与偶极叠加的速度势:

v0rcos

M

cos

r

VrV0

v0cos（12）

2r

sin（1

2a

V-——

V0

2）

PAFBghFBPAgR（静止状态，液体静力学方程）

A、B两点列伯努力方程

gZAPa1vAPB1VB

22

gzB

Za0,zBR,Va0,vB

2v0

PaPb1（2Vo）2gR

Pb

Pa1

4v；

gR

246.2

103

1103

4102

3

109.811

20010

9.81

36.4103（N/m2）

A、D列伯努力方程

gRPaPd-（2Vo）2

PdgRPa（2Vo）2

246.21031039.811-1034102

56.1103（N/m2）

PAPC246.2103（N/m2）

（2）等效于绕圆柱有环量流动

2a2

60r/min

60

/602

（rad/s）

1m,

（2）2

Vr

v0cos

速度分布:

圆柱表面

（1

v°

sin

r=a上速度分布为:

寺）

vr0

2v0sin

假设无穷远处

PP0,vv0由定常运动的伯努力方程的圆柱表面压力分布为:

（质量力忽略不计）

P0扌

Po

105

A:

1039.81

va

101.962105（N/m2）

色丄6.28m/s

B:

Vb

2v°

2V0

1

（2）2

26.28m/s

C:

Vc

6.28m/s

D:

2v°

（1）

13.72m/s

列A、B两点伯努力方程

PbP02

1v2

vb

1.962105

102

32

10326.282

11036.282

驻点位置:

v2v0sin

210sin

sin

2-…

0.314

arcsin（0.314）

当H增加到100米，Vb速度〉Vd,应Vb先产生气泡，其速为

2—

PBPA

VagR

PB2.332

10（N/m

-八3

,1

212

2.332

gH—

Vo

VaVa

gRVb

981

0.5Vo

0.54Vo

0.5

V9.81

2vS

1.5v212.57v0（2.3329819.8122）0

1.5v012.57v09490

（2）强度为m，位于（a，0）点

5-4写出下列流动的复势

（1）uU0cos,vU0sin

的平面点源；

（3）强度为位于原点的点涡；

（3）强度为M，方向为，合于原点的平面

偶极

Uo

>

XVo

yUo

cosX

U0sin

y

U

0cos

sinx

uyv

X

w（z）

i

U0cosX

U0sin

yi（U0cos

yU0sin

X）

cos（x

iy）

（yix）

cosz

（i）

（Xiy）

iUo

sinz

z（cos

isin

ize

（2）

虽度为m，

位于

（a,0）点源的复势，只需求强度为

m,位于（0,

0）点的复势

则合于（a,0）的点源复势为

Inr

（4）强度为M,方向为，位于原点的平面偶极

源的速度势：

mInr（源位于原点）

汇的速度势：

mInr（汇位于原点）

点源现在位于（Xo,y。

）,点汇位于（X。

xo,yoyo）

则源和汇叠加流场的速度势为:

令f（x,xo,y,y°

）In（xx°

）（yy°

它等于：

—cossin

Xo

yo

则：

f

（-

—cos-

—sin

4

2（xXo）（

1）

2（y

yo）（

（x

xo）（y

yo）

Xo）

（y

同样：

源的流函数为：

yarctan-

则源和汇叠加的流场的速度势为:

lim空arctan—）arctany（y。

比

°

2XXoX（XoXo）

arctany（%y°

）arctan（「）

mx（XoXo）xXo

lim-

arctany（yoy°

）arctan—）

MX（XoXo）XXo

lim一

o2

令g（x,xo,y,yo）在方向上的方向导数（注对xo,yo求导）

Mg

2Xo

g

arctanYYo

Y

Yo

（X

Xo）2

Yosin

1YYo

xXo

（xXo）2

（YYo）2

Xo）2r

arctan―Yo

XXo

Xo）21

1Y

YoxXo

（YYo）2xXo

则方向为

—cos—sin

XoYo

的平面偶极的复势为：

Msincos

cossin

2rr

Mcos

Msin

w（z）i

-cos

；

Mcos宀

0111

sini

i）e

e

-（

ie

Mei

cosi

ire

2z

5-5设在A（a,o）点放置一强度为2的平面点源,

x=o是一固壁面，试求（

1）固壁上流体

的速度分布及速度达到最大值的位置,

（2）固壁上的压力分布，设无穷远处压力为P；

（3）

若点源源强m=m（t）,其中t为时间变量，求壁面上的压力分布

A（-a,O）

A（a,0）对应的复势为:

A（a,O）

工1门（乙a）ln（za）

据奇点映像法：

平壁面

Wi（z）

映像

W（z）f（z）f（

z）

工1门（乙a）巴1门（乙a）

2一

ln（za）

ln（z

a）

Vdw（z）dz

壁面处：

z

iy

iya

aiy~~22

ay

aiy

2iy

2y

当V达最大值—

2（ay）2y2y

222

（ay）

0,V

a代入V,则Vmax

2a2

（a2y

2a

2y2

2、2

固壁上流体速度分布

a即速度达到最大值对立

点为（0,a），（0,a）

（2）固壁上压力分布

w（z）ln（za）ln（z

dw

dz

a

—,uo,zy

v2

二2

（—）2

4y2p

（a2y2）2P

2P

222（ay）

壁面所受的合力为下:

变化

R（x）dx

据普拉休斯合力公式:

P-（dw）2dz,c为x0的壁面，z从

2c'

1/dw2.i/2z.2.

P（）dzG2）dz

2cdz2cz2a2

其中-^^^）2dz（/^「dz属于

cza-za

的积分，参考复变函数的留级中无穷积分公式

，（复变函数P164）

R（x）dx2i

ResR（z）,Zk,Zk为奇

ResR（z）,zk

/V

ma

4Z

（z

4a4a

则P

i/2z、2只i

2c（z2a2）dz22i

ResR（z）,Zk分2

因戸

为实部，无虚部

P

罗ln（za）

dwm（t）11

dz2zaza

m（t）2iy

2a2y2

（3）u0,v血兀

2ay

V2m2（t）4y2

V,2（22、2

4（ay）

PP-V2P-

m2（t）

（a2

5-6已知复势为w（z）

2z83il门乙，求

（1）流场的速度分布及绕圆周

x2y210的环

量；

（2）验证有一条流线与x2

y24的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作

用力

8

w（z）2z-

Vdw（z）z

xiy

z（xiy）2

8（x2y2）

3ilnz

3i

16xyi

（x2y2）2

2（x2

2\2

y）

3i（xiy）

xy

3y

22,V

8

2xyi

8（x2

辽

16xy

z22^2

（xy

2z8

为均匀流，偶极,均匀流复势：

点涡叠加后的复势

偶极复势:

W（z）voz2z

M8

2zz

W2（Z）

V。

2m/s

点涡复势:

W3（z）

则绕圆周x

ilnz

10的环量为

3iInz

Vocos（r

将速度势代入物面条件

y2）

2）2

2严

3x

16

8（x2y2）2xyi

2、22

y）4x

16xyi

（x2

y）

3xi

贝y—v0cos（1葺）

rr

r2物面为半径为2的圆周x2y24

a,又因为M2

a2,M

i,dw、2’iP（）dz—

83i因:

c（2

Czz

2dz

%（4

64

~~4

）dzz

9

32

~2

12i

ic1

i12i

24

尸24

12i

12

iY

0,Y

5-7如题5-3图所示，设直径为2m的圆柱体在水下深度为H=10m的水平面上以速度

uo10m/s做匀速直线运动，

（1）试写出流动的绝对速度势，牵连速度势，相对速度势及

对立的单位速度势;

（2）求出圆柱体表面上

A、B、C、D及=45、135六点的绝对速度

相对速度势:

M2v0a2

牵连速度势:

圆柱直航相当于均匀流与偶极叠加

Mcosu0rcos

2cosu°

rcosv°

u0rcos

绝对速度势:

单位速度势:

0e

rcos

2cosev°

ar

2cos0rcosa

2cos

0a

（2）v°

vr

a2

a—,v

v0a

2sin

r1

V0,V

0,r1

V0,V

D:

r

1V

r0,V

•、2

45vr

V°

V

.2

135vr

5-8若一半径为r。

的圆球在静水中从速度为零加速到U。

试求需对其做多少功

mv,

11

r。

Tu

To

-（m

ii）uo

r0球

1/43

-（4r。

1（水2球）

水）Uo

roUo

5-9无限深液体中有一长为L,半径为R的垂直圆柱体，设其轴心被长度为I的绳子系住，它一方面以角速度在水平面内绕绳子固定端公转，另一方面又以另一角速度w绕自身轴线

自转，已知圆柱体重量为G,假定IR，试求绳子的拉力

w

公转：

单位圆柱体的附L长圆柱体的附加质量：

公转向心力：

F（m

（物水）R2I2

绳子受到反向力，离心自转：

由于IR则公转切向加速度

此时圆柱相当于有环量流动

水）

加质量：

iiR2L

ii）2I（物R2

L

力F'

与F方向相反

R2

L水R2L）2I

l可以认为均匀流作用于自转圆柱

F环Vo0LI0LF环

0w2R2

F总F公F环（物水）R2I2与w同向时为负，反向为正

w2R2

R2IL

5-10设有一半径为R的二元圆柱体在液体中以水平分速度

uU0t（m/s）运动，设t=0时,

它静止于坐标原点，液体密度为

，试求出流体作用于圆柱体上的推力

及t=2s时圆柱体的位置

卓y

x

uUot

F

（m

）i（t）（

）RUo

T

—V

X1dI

dv

2..

X1

aUo

dt

t

2s时，

vtUo

2Uo

dvH

dI

v

dIUo

—（2U。

）2

dIUo

dI2Uo

，圆柱体密度为