高中数学 第三章 基本初等函数Ⅰ32 对数与对数函数 322 对数函数教案 新人教B版必修1文档格式.docx

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推进新课　　　　　

（1）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的

，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的

，则至少要漂洗几次？

（2）你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？

（3）为什么对数函数的概念中明确规定a＞0，a≠1?

（4）你能求出对数函数的定义域、值域吗？

（5）如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？

请你说出它的步骤．

活动：

先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．

讨论结果：

（1）若每次能洗去污垢的

，则每次剩余污垢的

，漂洗1次存留污垢x＝

，漂洗2次存留污垢x＝（

）2，…，漂洗y次后存留污垢x＝（

）y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得y＝x，当x＝

时，y＝3，因此至少要漂洗3次．

（2）对于式子y＝x，如果用字母a替代

，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：

根据对数式x＝logay（a＞0，a≠1），

对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应．

根据函数的定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系，其中y是自变量，x是因变量．函数x＝logay（a＞0，a≠1，y＞0）叫做对数函数．它的定义域是正实数集，值域是实数集R.

由对数函数的定义可知，在指数函数y＝ax和对数函数y＝logay中，x，y两个变量之间的关系是一样的．所不同的只是在指数函数y＝ax里，x当作自变量，y当作因变量，而在对数函数x＝logay中，y当作自变量，x是因变量．习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，因此对数函数通常写成y＝logax（a＞0，a≠1，x＞0）．

（3）根据对数与指数式的关系，知y＝logax可化为ay＝x，由指数的概念，要使ay＝x有意义，必须规定a＞0，a≠1.

（4）因为y＝logax可化为x＝ay，不管y取什么值，由指数函数的性质ay＞0，所以x∈（0，＋∞），对数函数的值域为R.

（5）只有形如y＝logax（a＞0，a≠1，x＞0）的函数才叫做对数函数，即对数符号前面的系数为1，底数是正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数．像y＝loga（x＋1），y＝2logax，y＝logax＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．

x

…

1

2

4

8

y＝log2x

－2

－1

3

再用描点法画出图象如下图．

方法二：

画出函数x＝log2y的图象，再变换为y＝log2x的图象．

由于指数函数y＝ax和对数函数x＝logay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的，因而函数x＝log2y和y＝2x的图象是一样的（如下图

（1））．

用x表示自变量，把x轴、y轴的位置互换，就得到y＝log2x的图象（如下图

（2））．

习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把上图

（2）翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y＝log2x的图象（如上图（3））．

观察对数函数y＝log2x的图象，过点（1,0），即x＝1时，y＝0；

函数图象都在y轴右边，表示了零和负数没有对数；

当x＞1时，y＝log2x的图象位于x轴上方，即x＞1时，y＞0；

函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数．

对数函数y＝logax（a＞0，a≠1），在其底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质可以总结如下表．

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

（1）定义域：

（0，＋∞）

（2）值域：

R

（3）过点（1,0），即x＝1时，y＝0

（4）当x＞1时，y＞0；

当0＜x＜1时，y＜0

（4）当x＞1时，y＜0；

当0＜x＜1时，y＞0

（5）是（0，＋∞）上的增函数

（5）是（0，＋∞）上的减函数

思路1

例1求下列函数的定义域：

（1）y＝logax2；

（2）y＝loga（4－x）．

解：

（1）要使函数有意义，必须x2＞0，即x≠0，所以函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}，或记为（－∞，0）∪（0，＋∞）．

（2）要使函数有意义，必须4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga（4－x）的定义域是（－∞，4）．

点评：

该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.

变式训练

　求下列函数的定义域：

（1）y＝log3（2x＋2）；

（2）y＝log（x－2）（x－1）．

答案：

（1）（－1，＋∞）；

（2）（2,3）∪（3，＋∞）.

例2

（1）比较log23与log23.5的大小；

（2）已知log0.7（2m）＜log0.7（m－1），求m的取值范围．

（1）考察函数y＝log2x，它在区间（0，＋∞）上是增函数．

因为3＜3.5，所以log23＜log23.5；

（2）考察函数y＝log0.7x，它在（0，＋∞）上是减函数．

因为log0.7（2m）＜log0.7（m－1），所以2m＞m－1＞0.

由

得m＞1.

对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.

　比较下列各组数中的两个值的大小：

（1）log25.3，log24.7；

（2）log0.27，log0.29；

（3）log3π，logπ3；

（4）loga3.1，loga5.2（a＞0，a≠1）．

（1）解法一：

用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图象，如下图．

在图象上，横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方，

所以log24.7＜log25.3.

解法二：

由函数y＝log2x在（0，＋∞）上是单调增函数，且4.7＜5.3，

（2）因为0.2＜1，函数y＝log0.2x是减函数，7＜9，所以log0.27＞log0.29.

（3）解法一：

因为函数y＝log3x和函数y＝logπx都是定义域上的增函数，所以logπ3＜logππ＝1＝log33＜log3π.所以logπ3＜log3π.

直接利用对数的性质，logπ3＜1，而log3π＞1，因此logπ3＜log3π.

（4）当a＞1时，y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2.

当0＜a＜1时，y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，且3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.

思路2

例1已知f（x）＝1＋logx3，g（x）＝2logx2，试比较f（x）与g（x）的大小．

学生先思考讨论，再交流回答，教师要求学生展示自己的思维过程，教师根据实际，可以提示引导．学生回忆数的大小的比较方法，选择合适的．要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较；

作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小．因为本题中的f（x）与g（x）的正负不确定，所以采取作差比较法．

f（x），g（x）的定义域都是（0,1）∪（1，＋∞）．

f（x）－g（x）＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx3－logx4＝logx

x.

（1）当0＜x＜1时，若0＜

x＜1，即0＜x＜

，此时logx

x＞0，即0＜x＜1时，f（x）＞g（x）；

若

x≥1，即x≥

，这与0＜x＜1相矛盾．

（2）当x＞1时，若

x＞1，即x＞

x＞0，即x＞

时，f（x）＞g（x）；

x＝1，即x＝

x＝0，即x＝

时，f（x）＝g（x）；

若0＜

x＜0，即1＜x＜

时，f（x）＜g（x）．

综上所述，当x∈（0,1）∪（

，＋∞）时，f（x）＞g（x）；

当x＝

当x∈（1，

）时，f（x）＜g（x）．

对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系．而已知条件并未指明时，需要对底数和真数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握，注意体会和运用.

　已知logm5＜logn5，比较m、n的大小．

学生观察思考，交流探讨，教师提示，并评价学生的思维过程．已知对数式的大小关系，要求我们确定底数的大小关系，若变量在真数位置上，我们就可以解决这个问题了，我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上，我们知道log5m和logm5的关系是倒数关系，有了这个关系，题中已知条件就变为

＜

，由已知条件知道m、n都大于0，且都不等于1，据此确定m、n的大小关系．

因为logm5＜logn5，所以

.

①当m＞1，n＞1时，得0＜

，

所以log5n＜log5m.所以m＞n＞1.

②当0＜m＜1,0＜n＜1时，得

＜0，

所以log5n＜log5m.所以0＜n＜m＜1.

③当0＜m＜1，n＞1时，得log5m＜0，log5n＞0，

所以0＜m＜1，n＞1.所以0＜m＜1＜n.

综上所述，m、n的大小关系为m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.

例2求函数y＝log2（x2－x－6）的单调区间，并证明．

学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．求函数的单调区间一般用定义法，有时也利用复合函数的单调性．定义法求函数的单调区间，其步骤是：

①确定函数的定义域，在定义域内任取两个变量x1和x2，通常令x1＜x2；

②通过作差比较f（x1）和f（x2）的大小，来确定函数的单调递增区间和单调递减区间（注意保持变量x1和x2的“任意性”）；

③再归纳结论．

解法一：

由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，不妨设x1＜x2＜－2，

则f（x1）－f（x2）＝log2（x

－x1－6）－log2（x

－x2－6）＝log2

＝log2

因为x1＜x2＜－2，所以x1－3＜x2－3＜0，x1＋2＜x2＋2＜0.所以

＞1.

所以log2

＞0，

即f（x1）－f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）．

所以函数f（x）＝log2（x2－x－6）在区间（－∞，－2）上是减函数．

同理，函数f（x）＝log2（x2－x－6）在区间（3，＋∞）上是增函数．

令u＝x2－x－6，则y＝log2u.

因为y＝log2u为u的增函数，所以当u为x的增函数时，y为x的增函数；

当u为x的减函数时，y为x的减函数．

由x2－x－6＞0，得x＜－2或x＞3，借助于二次函数的图象，可知

当x∈（－∞，－2）时，u是x的减函数，

当x∈（3，＋∞）时，u是x的增函数．

所以原函数的单调减区间是（－∞，－2），单调增区间是（3，＋∞）．

本题考查复合函数单调性的判定方法．一般地，设函数y＝f（u），u＝g（x）都是给定区间上的单调函数．若y＝f（u），u＝g（x）在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g（x）]是增函数；

若y＝f（u），u＝g（x）在给定区间上的单调性相反，则函数y＝f[g（x）]是减函数．

1．函数y＝

的定义域是（　　）

A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）

C．（4，＋∞）D．[4，＋∞）

2．求y＝log0.3（x2－2x）的单调递减区间．

3．求函数y＝log2（x2－4x）的单调递增区间．

4．已知y＝loga（2－ax）在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．

1.D　要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，因此函数的定义域是[4，＋∞）．

2．先求定义域：

由x2－2x＞0，得x（x－2）＞0，所以x＜0或x＞2.

因为函数y＝log0.3t是减函数，故所求单调减区间即为t＝x2－2x在定义域内的增区间．

又t＝x2－2x的对称轴为x＝1，所以所求单调递减区间为（2，＋∞）．

3．先求定义域：

由x2－4x＞0得x（x－4）＞0，所以x＜0或x＞4.

又函数y＝log2t是增函数，故所求单调递增区间即为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间．

因为t＝x2－4x的对称轴为x＝2，

所以所求单调递增区间为（4，＋∞）．

4．解：

因为a＞0且a≠1，

（1）当a＞1时，函数t＝2－ax＞0是减函数；

由y＝loga（2－ax）在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是增函数，所以a＞1；

由x∈[0,1]时，2－ax≥2－a＞0，得a＜2，所以1＜a＜2.

（2）当0＜a＜1时，函数t＝2－ax＞0是增函数；

由y＝loga（2－ax）在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是减函数，

所以0＜a＜1.

由x∈[0,1]时，2－ax≥2－1＞0，所以0＜a＜1.

综上所述，0＜a＜1或1＜a＜2.

探究y＝logax的图象随a的变化而变化的情况．

用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，y＝log

x，y＝log

x的图象，如下图．

通过观察图象可总结如下规律：

当a＞1时，a值越大，y＝logax的图象越靠近x轴；

当0＜a＜1时，a值越大，y＝logax的图象越远离x轴．

1．对数函数的概念．

2．对数函数的图象与性质．

课本习题3—2A　4、5.

本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容，对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广，容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．

2019-2020年高中数学第三章基本初等函数（Ⅰ）3.3幂函数教案新人教B版必修1

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝等函数的性质和图象，让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：

当幂指数α＞0时，幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1），且在第一象限内函数单调递增；

当幂指数α＜0时，幂函数的图象都经过点（1,1），且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．

将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了y＝x，y＝x2，y＝x－1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：

指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．

学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．

1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象．

2．通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．

3．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质．

4．通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．

5．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力．

6．了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．

从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．

根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小．

思路1.

（1）如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？

根据函数的定义可知，这里p是w的函数．

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．

（3）如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．

（4）如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝，这里a是S的函数．

（5）如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v＝t－1km/s，这里v是t的函数．

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？

（右边指数式，且底数都是变量）．

（适当引导：

从自变量所处的位置这个角度）（引入新课，书写课题：

幂函数）．

思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数：

二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书课题：

幂函数．

问题①：

给出下列函数：

y＝x，y＝x

，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？

问题②：

根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？

请给出一个一般性的结论．

问题③：

我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？

研究幂函数的性质呢？

问题④：

画出y＝x，y＝x

，y＝x2，y＝x－1，y＝x3五个函数图象，完成下列表格．

问题⑤：

通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？

哪个象限一定没有幂函数的图象？

哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？

问题⑥：

通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？

考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．

①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数．

②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：

一般地，形如y＝xα（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．

如y＝x2，y＝，y＝x3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都