高数考研习题及答案.doc
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第一章函数·极限·连续
一.填空题
1.已知定义域为___________.
解.,
2．设,则a=________.
解.可得=,所以a=2.
3.=________.
解.
<<
所以<<
（n®¥）
（n®¥）
所以=
4.已知函数,则f[f（x）]_______.
解.f[f（x）]=1.
5.=_______.
解.
=
6.设当的3阶无穷小,则
解.
（1）
（2）
由
（1）:
由
（2）:
7.=______.
解.
8.已知（¹0¹¥）,则A=______,k=_______.
解.
所以k－1=1990,k=1991;
二.选择题
1.设f（x）和j（x）在（－¥,+¥）内有定义,f（x）为连续函数,且f（x）¹0,j（x）有间断点,则
（a）j[f（x）]必有间断点（b）[j（x）]2必有间断点（c）f[j（x）]必有间断点（d）必有间断点
解.（a）反例,f（x）=1,则j[f（x）]=1
（b）反例,[j（x）]2=1
（c）反例,f（x）=1,则f[j（x）]=1
（d）反设g（x）=在（－¥,+¥）内连续,则j（x）=g（x）f（x）在（－¥,+¥）内连续,矛盾.所以（d）是答案.
2.设函数,则f（x）是
（a）偶函数（b）无界函数（c）周期函数（d）单调函数
解.（b）是答案.
3.函数在下列哪个区间内有界
（a）（－1,0）（b）（0,1）（c）（1,2）（d）（2,3）
解.
所以在（－1,0）中有界,（a）为答案.
4.当的极限
（a）等于2（b）等于0（c）为（d）不存在,但不为
解..（d）为答案.
5.极限的值是
（a）0（b）1（c）2（d）不存在
解.
=,所以（b）为答案.
6.设,则a的值为
（a）1（b）2（c）（d）均不对
解.8==
=,,所以（c）为答案.
7.设,则a,b的数值为
（a）a=1,b=（b）a=5,b=（c）a=5,b=（d）均不对
解.（c）为答案.
8.设,则当x®0时
（a）f（x）是x的等价无穷小（b）f（x）是x的同阶但非等价无穷小
（c）f（x）比x较低价无穷小（d）f（x）比x较高价无穷小
解.=,所以（b）为答案.
9.设,则a的值为
（a）－1（b）1（c）2（d）3
解.,1+a=0,a=－1,所以（a）为答案.
10.设,则必有
（a）b=4d（b）b=－4d（c）a=4c（d）a=－4c
解.2==,所以a=－4c,所以（d）为答案.
三.计算题
1.求下列极限
（1）
解.
（2）
解.令
=
（3）
解.
=
==.
2.求下列极限
（1）
解.当x®1时,,.按照等价无穷小代换
（2）
解.方法1：
==
==
=
=
=
=
方法2：
==
==
=
=
=
3.求下列极限
（1）
解.
（2）
解.
（3）,其中a>0,b>0
解.
=
4.设
试讨论在处的连续性与可导性.
解.
所以,在处连续可导.
5.求下列函数的间断点并判别类型
（1）
解.,
所以x=0为第一类间断点.
（2）
解.f（+0）=－sin1,f（－0）=0.所以x=0为第一类跳跃间断点;
不存在.所以x=1为第二类间断点;
不存在,而,所以x=0为第一类可去间断点;
（k=1,2,…）所以x=为第二类无穷间断点.
6.讨论函数在x=0处的连续性.
解.当时不存在,所以x=0为第二类间断点;
当,,所以
时,在x=0连续,时,x=0为第一类跳跃间断点.
7.设f（x）在[a,b]上连续,且a则在（a,b）内至少存在一个x,使.
证明:
令M=,m=
所以m££M
所以存在x（a8.设f（x）在[a,b]上连续,且f（a）b,试证在（a,b）内至少存在一个x,使f（x）=x.
证明:
假设F（x）=f（x）－x,则F（a）=f（a）－a<0,F（b）=f（b）－b>0
于是由介值定理在（a,b）内至少存在一个x,使f（x）=x.
9.设f（x）在[0,1]上连续,且0£f（x）£1,试证在[0,1]内至少存在一个x,使f（x）=x.
证明:
（反证法）反设.所以恒大于0或恒小于0.不妨设.令,则.
因此.于是,矛盾.所以在[0,1]内至少存在一个x,使f（x）=x.
10.设f（x）,g（x）在[a,b]上连续,且f（a）g（b）,试证在（a,b）内至少存在一个x,使
f（x）=g（x）.
证明:
假设F（x）=f（x）－g（x）,则F（a）=f（a）－g（a）<0,F（b）=f（b）－g（b）>0
于是由介值定理在（a,b）内至少存在一个x,使f（x）=x.
11.证明方程x5－3x－2=0在（1,2）内至少有一个实根.
证明:
令F（x）=x5－3x－2,则F
（1）=－4<0,F
（2）=24>0
所以在（1,2）内至少有一个x,满足F（x）=0.
12.设f（x）在x=0的某领域内二阶可导,且,求及.
解..所以
.f（x）在x=0的某领域内二阶可导,所以在x=0连续.所以f（0）=－3.因为
所以,所以
=
由,将f（x）台劳展开,得
所以,于是
.
（本题为2005年教材中的习题,2008年教材中没有选入.笔者认为该题很好,故在题解中加入此题）
第二章导数与微分
一.填空题
1.设,则k=________.
解.,所以
所以
2.设函数y=y（x）由方程确定,则______.
解.,所以
3.已知f（－x）=－f（x）,且,则______.
解.由f（－x）=－f（x）得,所以
所以
4.设f（x）可导,则_______.
解.
=+=
5.,则=_______.
解.,假设,则
所以
6.已知,则_______.
解.,所以.令x2=2,所以
7.设f为可导函数,,则_______.
解.
8.设y=f（x）由方程所确定,则曲线y=f（x）在点（0,1）处的法线方程为_______.
解.上式二边求导.所以切线斜率
.法线斜率为,法线方程为
即x－2y+2=0.
二.选择题
1.已知函数f（x）具有任意阶导数,且,则当n为大于2的正整数时,f（x）的n阶导数是
（a）（b）（c）（d）
解.,假设=,所以
=,按数学归纳法
=对一切正整数成立.（a）是答案.
2.设函数对任意x均满足f（1+x）=af（x）,且b,其中a,b为非零常数,则
（a）f（x）在x=1处不可导（b）f（x）在x=1处可导,且a
（c）f（x）在x=1处可导,且b（d）f（x）在x=1处可导,且ab
解.b==,所以ab.（d）是答案
注:
因为没有假设可导,不能对于二边求导.
3.设,则使存在的最高阶导数n为
（a）0（b）1（c）2（d）3
解..
所以n=2,（c）是答案.
4.设函数y=f（x）在点x0处可导,当自变量x由x0增加到x0+Dx时,记Dy为f（x）的增量,dy为f（x）的微分,等于
（a）－1（b）0（c）1（d）¥
解.由微分定义Dy=dy+o（Dx）,所以.（b）是答案.
5.设在x=0处可导,则
（a）a=1,b=0（b）a=0,b为任意常数（c）a=0,b=0（d）a=1,b为任意常数
解.在x=0处可导一定在x=0处连续,所以
所以b=0.
,所以0=a.（c）是答案.
三.计算题
1.
解.
2.已知f（u）可导,
解.
=
3.已知,求.
解.
4.设y为x的函数是由方程确定的,求.
解.
所以
四.已知当x£0时,f（x）有定义且二阶可导,问a,b,c为何值时
二阶可导.
解.F（x）连续,所以,所以c=f（－0）=f（0）;
因为F（x）二阶可导,所以连续,所以b=,且
存在,所以,所以
所以
五.已知.
解.
k=0,1,2,…
k=0,1,2,…
六.设,求.
解.使用莱布尼兹高阶导数公式
=
所以
第三章一元函数积分学（不定积分）
一.求下列不定积分:
1.
解.
2.
3.
解.
4.
解.方法一:
令,
=
方法二:
==
5．
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