量子力学A解答2010.doc
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(2010年)07级量子力学A卷答案与评分标准
一、选择题(每小题2分,共20分)
1.D,2.C,3.A,4.A,5.A,6.C,7.D,8.D,9.C,10.C
二、填空题(每空2分,共20分)
1.单值,连续,有限(平方可积);2.t时刻粒子出现在区间的概率;
2.对易(),;3.两个力学量对应的算符对易
4.0,,0:
,:
,
三、证明题(各5分,共15分)
1.证明对易关系
证明:
2.已知算符A、B是厄米的,证明算符也是厄米的。
证明:
已知,,(2分)
3.设、是不显含时间算符,并与、对应的力学量是守恒量,试证明对应的量也是守恒量。
证明:
因为、对应的量是守恒量,且、不显含时间t,且有
(2分)
因此有不显含时间。
并有
所以、是守恒量。
(3分)
四、方程求解题(每题10分,共20分)
1.粒子在一维无限深势阱
中运动,求粒子的能级和波函数。
解:
当x<0和x>a时,有y=0;
当0,(2分)
令,解出。
(2分)
X=0时,y=0,ÞA=0;x=a时,y=0,ÞBsinaa=0,\aa=np,
,,Þ(2分)
。
(2分)
由
\,(1分)
(1分)
2.厄米算符A与B满足A、B均无简并,求:
在A表象中A与B矩阵表示形式,并求A与B的本征函数表示式。
解:
因为,算符的本征值为,在A表中,的矩阵表示式为对角阵,对角元为其本征值=,(1分)
设的矩阵表示为,,(2分)
,又因为,故有,于是,有,
=(2分)
在表象中,的波函数为基矢量,所以有:
本征值为1的本征矢量为本征值为-1的本征矢量为(1分)
设的本证矢量为,,
所以:
,由归一化条件,有
相应的本征值为1,的本征函数为,(2分)
,,所以:
,
由归一化条件,有,相应的本征值为,,(2分)
五、求算符平均值题(每题6分,共12分)
1.氢原子处在基态,求动能平均值。
解:
(法1):
(3分)
,(2分)
(1分)
(法2):
(2分)
(2分)
(2分)
2.在本征态下,求
解:
因为,而
(2分)
(2分)
所以,(1分)
六.微扰计算题(13分)
设哈密顿在能量表象中的矩阵是,a,b是实数,且远小于
,用微扰论法求能量至二级修正。
解:
由(2分),
∴(6分);
同理(5分)。