届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算精选教案理文档格式.docx
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记法
集合
间
的
基
本
关
系
子
集
集合A中任意一个兀素都是集合B中的元素
__A?
匚或__田A__
真
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A
__AB_^__BA__
相
等
集合A的每一个兀素都是集合B的兀素,集合B的每一个元素也都是集合A的元素
A?
B且B?
A
A=B
空集
空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集
B且Bm?
3•集合的基本运算
(1)三种基本运算的概念及表示
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图
形
w
4^3
符
号
AUB=
{x|x€A或
AHB=
{x|x€A且
uA={x|x€U且
__x?
A}__
x€B}
x€B}
(2)三种运算的常见性质
1AUB=A?
B?
A,AHB=A?
A?
B.
2AHA=A,AH?
=?
.
3AUA=A,AU?
=A.
4AH?
uA=__?
__,AU?
uA=U,?
u(?
uA=A.
5A?
AHB=A?
AUB=B?
uA?
?
uB?
AH(?
u0=?
对点检测j
1.思维辨析(在括号内打“V”或“x”).
(1)集合{X2+x,0}中,实数x可取任意值.(x)
(2)任何集合都至少有两个子集.(x)
⑶集合{x|y=・x—1}与集合{y|y=x-1}是同一个集合.(x)
⑷若A={0,1},B={(x,y)|y=x+1},则A?
B(x)
解析
(1)错误.由元素的互异性知x2+xm0,即卩XM0且xm—1.
(2)错误.?
只有一个子集.
⑶错误.{x|y=x—1}={x|x>
1},{y|y=x—1}={y|y>
0}.
⑷错误.集合A是数集,集合B是点集.
2.(2017•浙江卷)已知集合P={x|—1<
x<
1},Q={x|0<
2},那么PUQ=(A)
A.(—1,2)B.(0,1)
C.(—1,0)D.(1,2)
解析根据集合的并集的定义,得PUQ=(—1,2).
3.(2017•全国卷I)已知集合A={x|x<
1},B={x|3x<
1},则(A)
A.AnB={x|x<
0}B.AUB=R
C.AUB={x|x>
1}D.AnB=?
解析集合A={x|x<
1},B={x|x<
0},
AnB={x|x<
0},AUB={x|x<
1}.故选A.
4.(2017•全国卷川)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},贝UAnB
中元素的个数为
B.
D.
A.3
5.已知集合A={x|3wx<
7},
B={x|2<
10},则?
r(AUB)={x|xW2或x》10}
解析•/AUB={x|2<
x<
10},
•?
r(AUB)={x|x<
2或x>
10}.
2个元素.
有
C.1
板块二/考法林展-题型鮮码
孝迭精讲j
E一集合的基本概念
归纳总结
集合元素性质的应用警示
(1)确定集合的兀素是什么,即集合是数集还是点集.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)
根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.
B.3
D.9
A.1
C.5
⑵若集合A={x€R|ax2—3x+2=0}中只有一个元素,则a=(D)
解析
(1)TA={0,1,2},•••B={x—y|x€A,y€A}={0,—1,—2,1,2}.故集合B中有5个元素.
29
(2)当a=0时,显然成立;
当a^0时,△=(—3)—8a=0,即卩.
8
£
讥二集合的基本关系
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,
进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
【例2]
(1)设P={y|y=—x2+1,x€R},Q={y|y=2x,x€F},则(C)
A.P?
QB.Q?
P
C.?
rP?
QD.Q?
rP
(2)已知集合A={x|—2<
5},B={x|m^1<
2m—1},若B?
代则实数m的取值范围为__(—a,31.
解析
(1)因为P={y|y=—x2+1,x€R}={y|y<
1},Q={y|y=2x,x€R}={y|y>
0},所以?
4={y|y>
1},所以?
Q选C.
(2)tB?
A,.••①若B=?
,贝U2m-1<
m+1,此时m<
2.
2m-1>
1,
②若BM?
,贝Um+1>
—2,解得2<
3.
2m—1<
5,
由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(一a,3].
•三集合的基本运算
集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn图求解.
(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但是要注意端点值能否取到等号的情况.
(3)根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.
【例3】
(1)(2018•广东汕头期末)已知集合A={x|y=ln(1—2x)},B={x|x2wx},全集U=AUB,则?
u(AAB)=(C)
A.(-R,0)B.,11
C.(—R,0)U£
1ID.[—1,01
(2)设集合U=R,A={x|2x(x—2)<
1},B={x|y=ln(1—x)},则图中阴影部分表示的集合为(B)
A.{x|x>
1}B.{x|1wx<
2}
C.{x|0<
xw1}D.{x|xw1}
(3)已知集合A={1,3,n},B={1,m,AUB=A,贝Um=(B)
A.0或3B.0或3
C.1或3D.1或3
解析
(1)因为A={x|y=In(1—2x)}={x|1—2x>
0}=—R,*,B={x|x(x—1)w0}
;
n;
11
=[0,1],所以U=AUB=(—R,1],又AnB=|0,-,所以?
u(AnB)=(—R,0)U〔21'
故选C.
(2)...2x(x—2)<
1,.・.x(x—2)<
0,.・.0<
2,
即A={x|0<
2}.又.y=In(1—x),
/•1—x>
0,「.x<
1,
即B={x|x<
1},二AnB={x|0<
1}.
图中阴影部分表示?
MAnb,
•••?
A(AnB)={x|1wx<
2},故选B.
(3).AUB=A,「.B?
A,「.m€A,
m=3或m解得m=0或3,故选B.
才产四集合中的创新题
■解湮技巧
集合定义新情景的解决方法
解决集合的新情景问题,应从以下两点入手:
(1)正确理解创新定义,这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题,而是以集合为载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.
(2)合理利用集合性质.运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键,在解题时要
善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素,但关键之处还是合理利用
集合的运算与性质.
【例4】已知集合A={(x,y)|x2+y2w1,x,y€Z},B={(x,y)||x|<
2,|y|<
2,x,y€Z},定义集合A®
B={(Xi+X2,yi+y2)|(Xi,yi)€A(X2,y2)€B},则A®
B中元素的个
数为(C)
A.77B.49
C.45D.30
22
解析A={(x,y)|x+yw1,x,y€Z}={(—1,0),(0,0),(1,0),(0,1),(0,1)},B={(x,y)||x|w2,|y|w2,x,y€Z},A®
B表示点集.由X1=—1,0,1,X2=—2,—1,0,1,2,得X1+X2=—3,—2,—1,0,1,2,3,共7种取值可能.同理,由y1=—1,0,1,
y2=—2,—1,0,1,2,得屮+y2=—3,—2,—1,0,1,2,3,共7种取值可能.当X1+X2=—
3或3时,y1+y2可以为一2,—1,0,1,2中的一个值,分别构成5个不同的点.当X1+X2=—2,—1,0,1,2时,屮+学可以为一3,—2,—1,0,1,2,3中的一个值,分别构成7个不同的点.故A®
B共有2X5+5X7=45(个)元素.
递进题组』
2
1.(2017•全国卷H)设集合A={1,2,4},B={x|x—4x+m=0}.若AnB={1},则B=(C)
A.{1,—3}B.{1,0}
C.{1,3}D.{1,5}
解析因为AnB={1},所以1€B,即1是方程x—4X+m=0的根,所以1—4+m=0,m=3,方程为X—4x+3=0,解得x=1或x=3,所以B={1,3},故选C.
2.(2017•北京卷)若集合A={x|—2<
—1或x>
3},则AnB=(A)
A.{x|—2<
—1}B.{x|—2<
3}
C.{x|—1<
1}D.{x|1<
解析由集合交集的定义可得AnB={x|—2<
—1},故选A.
3.已知集合A={x|x2—3x+2=0,x€R},B={x|0<
5,x€N},则满足条件A?
C?
B
的集合C的个数为(D)
B.2
C.3
D.4
解析A={1,2},B={1,2,3,4},
•••A?
B,.••满足条件的集合C有{1,2},{1,2,3},
{1,2,4},{1,2,3,4}共4个,故选D.
4.设AB是非空集合,定义A?
B={x|x€AUB且x?
AAB}.已知集合A={x|0<
2},
B={y|y>
0},贝UA?
B=__{0}U[2,+^)__.
解析AUB={x|x>
0},AHB={x|0<
贝UA?
B={0}U[2,+s).
板块三/考慧送捡*易错警示
易错点1不注意检验集合元素的互异性
错因分析:
对于含字母参数的集合,根据条件求出字母的值后,容易忽略检验是否满足集合元素的互异性及其他条件.
解析•/A=嗖a2+5a,12,a—1人且一3€A,
•••①当2a+5a=—3时,2a+5a+3=0,
326
解得a=-1或a=-2,其中a=-1时,2a+5a=百=-3,
与集合元素的互异性矛盾,舍去;
3"
12、
a=—了时,A=—3,12,—百满足题意.
25
②当一;
=—3时,a=—1,由①知应舍去.a—1
3
综上,a的值为一^.
【跟踪训练1】已知集合A={a2,a+1,—3},B={a—3,a—2,a2+1},若AHB={—
3},求AUB
解析由AHB={—3}知,一3€B.
又a2+1>
1,故只有a—3,a—2可能等于—3.
1当a—3=—3时,a=0,此时A={0,1,—3},—3,—2,1),
AHB=(1,—3),故a=0舍去.
2当a—2=—3时,a=—1,
此时A={1,0,—3},B=(—4,—3,2),
满足AnB={—3},从而AUB={—4,-3,0,1,2}易错点2忽略空集
空集是个特殊集合.在以下四种条件中不要忽略B是空集的情形:
①B?
A;
②BA(A非空):
③BnA=B;
④BUA=A
【例2】设集合A={0,—4},B={x|x2+2(a+1)x+a2—1=0,x€R}.若B?
A,则实数a的取值范围是.
解析因为A={0,—4},所以B?
A分以下三种情况:
1当B=A时,B={0,—4},由此知0和一4是方程x2+2(a+1)x+a2—1=0的两个根,由根与系数的关系,得
rA=4(a+1)—4(a—1>
0,
—2a+1=—4,解得a=1;
a2—1=0,
2当BM?
且BA时,B={0}或B={—4},
并且A=4(a+1)—4(a—1)=0,
解得a=—1,此时B={0}满足题意;
3当b=?
时,a=4(a+1)—4(a—1)<
0,解得a<
—1.
综上所述,所求实数a的取值范围是{a|a<
—1或a=1}.
答案(一汽一1]U{1}
【跟踪训练2】
(2018•江西临川一中月考)已知集合A={x|3W3xw27},B=
{x|log2x>
(1)分别求AnB(?
rB)UA;
⑵已知集合C={x|1<
a},若C?
A,求实数a的取值集合.
解析
(1)•••3W32W27,即卩31W3xW33,「.1Wx<
3,
二A={x|1wxw3}.
■/log2x>
1,即卩log2X>
log22,「.x>
2,「.B={x|x>
2},
•••AnB={x|2<
xw3},?
rB={x|xw2},a(?
rB)UA={x|xw3}.
(2)由
(1)知A={x|1wxw3},
当C为空集时,aw1;
当C为非空集合时,可得1<
aw3.
综上所述,aw3.
课时达标第1讲
[解密考纲]本考点考查集合中元素的性质、集合之间的关系、集合的运算(一般以不等
式、函数、方程为载体),一般以选择题、填空题的形式呈现,排在靠前的位置,题目难度
不大.
一、选择题
1.(2018•河南郑州质量预测)设全集U={x€N*|xw4},集合A={1,4},B={2,4},则?
u(AnB)=(a)
A.{1,2,3}B.{1,2,4}
C.{1,3,4}D.{2,3,4}
解析因为U^{1,2,3,4},AnB={4},所以?
*AnB)={1,2,3},故选A.
2.(2017•天津卷)设集合A={1,2,6},B={2,4},O{x€R—1Wx<
5},则(AUB)nC=(B)
A.{2}B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}D.{x€R|—1Wxw5}
解析AUB={1,2,4,6},(AUB)nC={1,2,4},故选B.
3.设集合M={x|x=x},N={x|lgxw0},贝yMUN=(A)
A[0,1]B.(0,1]
C.[0,1)D.(—R,1]
解析tM={x|x2=x}={0,1},N={x|lgxw0}={x|0<
xw1},
•••MUN={x|0wxw1},故选A.
4.已知集合A={y|y=|x|—1,x€R},B={x|x>
2},则下列结论正确的是(A)
A.—3€AB.3?
B
C.AnB=BD.AUB=B
解析由题知A={y|y>
—1},因此AnB={x|x>
2}=B,故选C.
5.若集合A={—1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x€A,y€中的元素的个数为(C)
B.4
D.2
A.5
解析当x=—1,y=0时,z=—1;
当x=—1,y=2时,z=1;
当x=1,y=0时,z=1;
当x=1,y=2时,z=3,故集合{z|z=x+y,x€A,y€B}={—1,1,3}中的元素个数为3,故选C.
6.满足M{a1,a2,as,a。
},且MQ{a1,&
as}={a,a?
}的集合M的个数是(B)
A.1B.2
C.3D.4
解析由题意可知a1,a2€M且aa?
M所以M={a1,a:
}或M={a,a2,a4}.故选B.
二、填空题
Ii12-n
7.设集合M=欣一2<
2f,N={x|xwx},贝yMTN=|0,.
解析因为N=[0,1],所以MTN=|0,2)
2&
若{3,4,m—3m-1}T{2rq—3}={—3},贝Um=___1__.
用—3m—1=—3,
2rn^—3,
解析由集合中元素的互异性,可得
12rm^3,
.2m^4,
所以m=1.
9.已知集合A={x|x2+x—6<
0},B={x|y=Ig(x—a)},且A?
B,则实数a的取值范
围是__(—m,—3]__.
解析因为A=(—3,2),B=(a,+m),A?
B,所以aw—3.
三、解答题
10.(2018•湖北武汉模拟)设集合A={x|x2—x—6<
0},B={x|x—a>
0}.
(1)若ATB=?
,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得ATB={x|0wx<
3}成立?
若存在,求出a的值及对应的AuB;
若不存在,说明理由.
解析A={x|—2<
3},B={x|x>
a}.
(1)如图,若ATB=?
,贝Ua>
3,
-203fl*
所以a的取值范围是[3,+R).
(2)存在,如图,a=0时,ATB={x|0wx<
3},
此时AUB={x|x>
—2}.
11.已知集合A={x|—1<
xw3},B={x|mWx<
1+3n}.
(1)当n=1时,求AUB;
⑵若B?
ra,求实数m的取值范围.
解析
(1)n=1时,B={x|1wx<
4},
•••AUB={x|—1<
4}.
⑵?
ra={x|xw—1或x>
3}.
1
①当B=?
,即卩m>
1+3m时,得nw—?
满足B?
24
②当Bm?
时,要使B?
rA成立,
m<
1+3n,n<
1+3n,
则或解得n>
3.
卩+3m^—1,|m>
综上可知,实数m的取值范围是―汽―2u(3,+^).
「11
2Ix—122
12.已知集合A={x|x—2x—3<
0},B=叹|q<
2<
8爲C={x|2x+mx-m<
0}(mER).
(1)求AUB;
(2)若(AUE)?
C,求实数m的取值范围.
解析
(1)A={x|x—2x—3<
0}={x|—1<
xv3},
1x—1
E=^x|<
8={x|0vx<
4},则AUE=(—1,4).
⑵C={x|2x2+mx-m<
0}={x|(2x—n)(x+n)<
[-me—1,
由(AUE)?
C得m
解得m>
8;
①当m>
0时,c=—mm,
②当m=0时,C=?
,不合题意;
m>
4,
,由(AUE)?
C得m
12e—1
解得me-4;
综上所述,m€(—m,—4]U[8,+