线代(证明题).doc

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线性代数复习之二　　证明题

一、（8分）设方阵A满足,证明可逆，并求的逆阵。

证明：

（3分）

所以，得（6分）

故可逆，且的逆阵为（8分）

二、（5分）已知，证明：

证明：

因为（1分）

（3分）

又因为得证（5分）

三、（8分）设A为n阶矩阵，、、是A的不同特征值，、、依次是属于、、的特征向量，试证明不是A的特征向量.

证明：

假设是A的特征向量。

即存在使得。

（2分）

故，

即。

（4分）

因为、、线性无关，所以（6分）

即，与题设矛盾，故不是A的特征向量。

（8分）

四、（5分）设三阶实对称矩阵的特征值为；，分别是矩阵属于特征值的特征向量，求属于特征值3的特征向量。

解：

设属于特征值3的特征向量为，则有

（2分）　　化简得：

解此齐次线性方程组的基础解系，（4分）

因此属于特征值3的特征向量为，为任意非零常数。

（5分）

五、（15分）求向量组，，，

的一个极大无关组，并用这个极大无关组表示其它向量。

解：

（3分）（6分）（9分）

故为一个极大无关组，（12分）

且（15分）

六、（6分）设A、B均是对称阵，B和E+AB都可逆，求证：

是对称阵

证明：

由B和E+AB都可逆，得

（2分）

又，所以

（4分）

（6分）

故是对称阵

七、（11分）已知向量组线性无关，试证向量组线性无关。

证明一：

设存在数，使，即

整理得

已知向量组线性无关，故，求解该方程组得，

所以向量组线性无关。

（这是我们书上证明的方法）

证明二：

由条件可得（5分）

记，，，即

因，知可逆，故（8分）

由线性无关，所以线性无关（11分）

八、（6分）设为奇数阶可逆矩阵，且，，求

解：

设为（奇数）阶可逆矩阵，由得于是

（2分）

再由（4分）

得，所以（6分）

九、（15分）已知向量组线性相关，求k

解：

（3分）（7分）（11分）

当k-2=0时，即k=2，（13分）

秩A=2<3，此时向量组线性相关（15分）

十、（6分）设为阶非零矩阵，当时，证明

证明：

，

（1分）

假设，则，（3分）

设的行向量，

则，矛盾，（5分）

故.（6分）

十一、（15分）求向量组的一个极大无关组，并用这个极大无关组表示其余向量

解：

（3分）（6分）（9分）

所求的一个极大无关组为，（12分）且（15分）

十二、（6分）设为阶非零矩阵，，证明可逆

证明：

设，由，故（2分）

而，不妨设，于是（4分）

（5分）