数学建模 创意平板折叠桌文档格式.docx

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给折叠桌一个稳定安全因数，便可得到折叠桌的安全角度。

根据大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。

加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短，当桌高70cm，桌面直径80cm时，解得木板长a=167.416cm钢筋距边缘桌腿末端的距离为cm

针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发，给出软件设计的模型。

在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用SolidWorks设计新型的平板折叠桌，其中有菱形桌面和椭圆型桌面，见图6～图12。

关键字：

立体几何图形动态模拟自锁SolidWorks

一、问题的重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。

桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。

桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。

试建立数学模型讨论下列问题：

1.给定长方形平板尺寸为120cm×

50cm×

3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。

试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。

对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。

3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。

要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

（附件：

视频）

二、基本假设

1、假设折叠桌木条间没有空隙，且木条间的摩擦不计。

2、假设折叠桌木材质量可靠，在受力状态下不会形变。

3、假设桌子各部分间衔接良好。

4、假设折叠桌的木条的宽度和折叠桌平板的厚度不变。

三、符号说明

1、r表示圆桌的直径

2、圆桌上第i根木条的长度

3、第i根桌腿的长度

4、第i根桌腿的槽长

四、模型的建立与求解

问题一

1、问题的分析

问题一中给出了长方形平板的尺寸为120cm×

50cm×

3cm，并且给定了钢筋的位置（钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置），折叠后桌子的高度为53cm（看做桌子上表面与地面的距离），以及每根木条宽2.5cm。

因此我们首先依据该尺寸，应用Matlab和SolidWorks2008软件在计算机上模拟出该折叠桌的实物，并制作出了一小段动画如图1和动画演示视频（见附件）。

图1

在此基础上，我们根据折叠桌模型的制作，对该折叠桌进行数学图形的转化，对实物图进行抽象，如图2，在根据题目中所给的数据进行计算。

①将桌腿看做没有宽的线②根据实际将线设定宽度

③将木条折叠

图2

2、模型的建立（抽象立体图解模型）

图3

在图3中有，

①

其中i表示第i根木条。

根据勾股定理可以得到

②

所以可以得到桌子的每根腿的长度为

③

图4

在图4中，当折叠桌的桌腿运动变化时，折叠桌最外侧两条腿AG、DJ与钢筋BC，铰链A、D连线所形成的面始终是平面，且ABCD为矩形。

作如图辅助线有，MQHR在yOz面内，ANPU垂直于地面，MNPQ为地面（G、J在地面上），BS⊥MR交AN于K，FL⊥HQ交EL于L，,则有

④

在中，由勾股定理可得

，⑤

其中，

，，

从而我们可以得到h的值（钢筋在最外侧位置到yOz面的距离）。

，

即

⑥

从而我们可以得到的值（槽的靠近桌腿端与圆桌面边缘的距离EF）。

进而由上述式子，我们可以得到槽长

⑦

在图4中，建立如图所示坐标系，设第i根木条的中心线与圆桌边缘的交点E（）,则F点坐标为

，所以EF的方向向量

.

则EF上任意一点T的坐标

⑧

其中，t为参数，t表示该点T到圆桌边缘E点的距离。

当时，即可以得到桌面边缘线方程。

3、模型的求解

应用上述模型，我们代入数据：

长方形平板的尺寸为120cm×

3cm，并且给定了钢筋的位置（钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置），折叠后桌子的高度为53cm，以及每根木条宽2.5cm。

将a=1200mm，r=500mm,d=25mm代入式②和③可得：

当i=1,2,…，10时，AR长度，折叠桌的桌腿的值如表1：

表1

因为折叠桌的桌面的底面到地面的距离s=53-3=50mm，可由得：

折叠桌最外边缘木条与竖直面的夹角

同时联立⑤⑥⑦可得，折叠桌各木条的槽长，如表2所示：

表2折叠桌各木条的槽长（i=1表示桌腿在最外端，i=10表示桌腿在最内端）

令，可得折叠桌的桌脚边线的方程为：

（Ⅰ）

通过Matlab软件的plot语句，可得桌面边缘线图形，如图5：

图5

问题二

先对边缘桌脚进行受力分析:

假设桌子整体重力为mg，则=，桌腿保持稳定时，。

假设折叠桌放置木板地面上，经查资料可知，木头与木头之间的摩擦因数的取值范围在0.4—0.6之间，考虑到桌子的必须保持稳固，取，得到。

由此可知，当折叠桌保持稳定时，边缘桌腿与竖直方向的夹角取值范围是。

题中要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。

当较小时，在同一侧的边缘桌脚距离小，折叠桌不稳定，因此给出折叠桌的安全因数，，得到

2、模型的建立与求解

折叠桌的稳固性好，要求，加工方便，需要木条的槽长之和最短，用材最少，则材料面积小。

因此考虑多目标规划问题中的加权系数法。

为参变量，木条的槽长之和最短，材料长度最小（宽度为D，已知）a为优化目标，但是在赋权时，权值分别为0-0.7与1-0.3时，最优解不变，当权值为0.8和0.2时，最优解发生突变，因此，加权系数法无法解决折叠桌的设计问题。

因此我们转而考虑当，折叠桌最稳固时，求各个加工参数的值。

桌面高度已知，桌面直径已知，，加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到：

优化目标为：

Min

约束条件为：

（1）圆桌上第i根木条的长度与第i根桌腿的长度和为木板总长度的二分之一：

（2）边缘桌腿与竖直方向的夹角为：

（3）第i条桌腿的槽长等于折叠桌折叠成桌后钢筋的位置减去折叠桌平铺状态时钢筋时的位置：

（4）对在圆桌上第i根木条应用勾股定理得：

（5）由之前的条件可知：

（6）为了使折叠桌折叠成桌后美观，钢筋在桌面的投影所在直线要与圆形桌面相交：

（7）折叠桌在折叠过程中，钢筋的位置条件需满足：

（8）每根木条槽长需要满足的条件为：

即：

Min

考虑到木料切割加工的方便程度以及视觉上的美观性，我们令桌腿的宽度d=2.5cm。

又已知，当桌高70cm，桌面直径80cm，将H=70，D=80，d=2.5cm代入约束条件，用Lingo求解，得到的解如下：

木板长a=167.4156cm;

钢筋距边缘桌腿末端的距离为cm.

每个木条的槽长分别是：

（i=1表示桌腿在最外端，i=16表示桌腿在最内端）

表3

表4每根桌腿的长度分别是：

（i=1表示桌腿在最外端，i=10表示桌腿在最内端）

问题三

1、软件设计模型的建立

题目要根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。

我们可以类比与问题一中所建立的模型，将桌子的桌面变换为一般图形，并建立相同的坐标系和辅助线。

如将桌面变为椭圆，有：

（i=1,2,…,10）

其中，表示桌面上的木条长度的一半（即RA等半弦长），d表示木条宽度，i表示第i根木条（最外侧为第一根，然后依次向里侧放），表示沿坐标轴Oy方向的半径长度（即O点沿Oy方向到桌子边缘线的距离），R表示木条中线与桌面图形边缘线的交点到原点O的距离，

平板长，表示第i根木条的桌子腿长，

又有，

所以槽长：

当桌面边缘线的形状和大小给定后，可以知道：

、R，由d可以确定m，从而可以确定。

当给定高度后，可以确定s若确定桌脚边缘线的大致形状后，可以大致给出h的值，因此可以得到的值，同时由s和h可以确定大小进而得出桌子长度a的值。

2、自己设计的创意折叠桌

例如，当桌子面为时，高度s=563mm，桌脚边缘线致形状为图7时，可以确定,折叠桌平板的参数为，各个木条的桌腿长和对应的槽长如表5，设计的折叠桌为图6、图7、图8、图9。

表5

图6

图7

图8

图9

例如，当桌子面为时，高度s=170mm，桌脚边缘线大致形状为图13时，可以确定,折叠桌平板的参数为，各个木条的桌腿长和对应的槽长如表6，设计的折叠桌为图10、图11、图12、图13。

表6

图10

图11

图12

图13

具体创意设计见附件设计1和设计2。

五、模型的评价

在问题一中，建立空间直角坐标系，可以表达出任意一条曲线或者任一曲面的位置和方程，建模过程较为简单，求解结果较复杂

在问题二中，首要考虑折叠桌的稳固性，先受力分析，在考虑安全因数，求出了折叠后的的大小，保证了折叠桌的稳定。

没有找到既能保证稳固，又能减少耗材的最优解。

在问题三中，第二个设计的较为简单，并且应用SolidWorks进行设计比较复杂，但是能够很好的反映模型的各方面的形状和尺寸。

六、参考文献

[1]张秀林，数学建模与实验，化学工业出版社，2012。

[2]章栋恩，MATLAB高等数学实验，电子工业出版社，2008。

[3]袁小梅，刘林，李诚，直纹曲面形屋面的绘制方法.华南理工大学学报，30卷3期：

2002年3月

[4]零点工作室，SolidWorks机械设计一册通，电子工业出版社，2009。

[5]徐玖平，胡知能.运筹学，科学出版社，2009。