浅谈法曲率.doc

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浅谈法曲率

摘要：

在我们学习微分几何的法曲率时，一般是先给出法截面和法截线的概念，然后再直接由法截线的的曲率给出法曲率的定义，不易理解，存在另一种比较容易理解的法曲率的介绍方法，从考虑曲线的曲率向量在曲面该点处的单位法向量上的投影方面来考虑法曲率，并给出了法曲率如何刻画曲面的弯曲性以及相应的例子；在此，我们着重学习这两种方法及法曲率的性质

关键词：

曲率；法曲率；主方向；全曲率；主曲率

一．法曲率的学习方法

方法一.我们已经了解到曲面在已知点邻近的弯曲性可以由曲面离开它的切平面的快慢决定.但是曲面在不同的方向弯曲的程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面.因此，当我们想刻画曲面在已知邻近的弯曲性时，就需要用曲面上过该点的不同的曲线的曲率来进行研究。

给出类曲面：

过曲面上点的任一曲线为：

或

其中是自然参数。

我们以的和分别表示曲线的切向量和主法向量。

根据伏雷内公式有

其中是曲线在点的曲率。

若以表示曲线的主法向量和曲面法向量的夹角（图1），

图1

则，另一方面，由于

因此

（1）

（1）式中的右端与第一、二类基本量和有关。

且、、、、、都是参数的函数，并且在曲面上一个给定点都具有确定的值，为切方向，所以

（1）式右端都有确定的值。

因此若在曲面上一个给定点相切的两条曲面曲线，在该点它们的主法线有相同的方向，则它们的角度也相同，所以根据

（1），也相同。

对在曲面的任何曲线上一点，作通过在点的切线与主法线的平面（即密切平面），得到这个平面与曲面的截线，这条平面曲线与曲线具有相同的切线与主法线，所以曲率也相同。

则曲面曲线的曲率就可以转化为曲面上一条平面截线的曲率的讨论。

所以下面我们引入曲面上特殊的平面截线。

给出曲面上一点和点处一方向，设为曲面在点的法方向，于是和所确定的平面称为曲面在点的沿方向的法截面，这法截面和曲线的交线称为曲面在点的沿方向的法截线。

设方向所确定的法截线在点的曲率为。

对于法截线，主法向量或，所以由

（1）知它的曲率为

即

（2）

其中和的主法向量的方向相同时取正号，反之取负号（如图2），即法截线向的正侧弯曲时取正号；反之，向的反侧弯曲时取负号（图2）。

考虑曲面上一点在一方向上的弯曲程度仅由还不能完全确定，还要考虑曲面弯曲的方向才能全面刻画曲面上一点在方向上的弯曲性，因此我们再引入法曲率的概念。

定义曲面在给定点沿一方向的法曲率为

由公式

（2）可得（3）

设曲面上一曲线和法截线切于点，换言之，它们有相同的切方向，则从

（1）和（3）可得

根据这个关系式，所有关于曲面曲线的曲率都可以化为法曲率来讨论。

若设，称为曲线的曲率半径，称为曲线的曲率半径也称为法曲率半径。

则上式又能写成。

它的几何意义就是：

梅尼埃（Meusnier）定理曲面曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具有共同切线的法截线上同一个点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影。

方法二.

为了研究曲面在空间中的弯曲性，我们首先引进了和的两个二次微分形式，即和，且有第二基本形式近似的等于曲面与切平面的有向距离的两倍，因而刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，从直观上讲，它刻画了曲面在空间中的弯曲性。

但曲面在不同的方向弯曲程度不同，也就是说在不同的方向曲面以不同的速度离开切平面。

因此，为使对弯曲的刻画更加确切，并使问题尽可能简化，我们借助于曲面上曲线的曲率，又引进曲面上法曲率的概念。

法曲率的引入

第一基本形式是曲面上的切向量的长度平方，即

第二基本形式是，在本质上它是曲面上任意一点的邻近点到该点切平面的有向距离的两倍。

特别是，两个基本形式之比

是曲面上通过该点、以为方向的曲线的曲率向量在曲面该点处的单位法向量上的投影，它是仅依赖于曲面在该点的切方向的函数。

如果考虑曲面上由该点的切方向和单位法向量所张成的平面（法截面），并且用该平面在曲面上截出一条曲线（法截线），根据伏雷内公式，则这条平面曲线以为切向量，同时在该点的和是共线的，所以该曲线在该点的曲率正好是，我们把它称为曲面在该点沿切方向的法曲率，记为。

显然有

【注1】上式只是点和方向的函数,给定点处,其值仅由方向决定.因此,对于过点且具有相同切线的诸多曲线而言,尽管它们在点的曲率不同,对应的也不相同,但乘积却是个固定值。

【注2】含有反映曲线弯曲程度的曲率项,而有反映曲面弯曲程度的第二基本形式,因此,上式把曲线与曲面的弯曲性联系起来,为我们利用曲线来研究曲面的弯曲程度提供了方便。

法曲率的几何意义:

设，则（为曲线的曲率），由于是与曲线的曲率有关的向量，我们称为曲线的曲率向量，于是法曲率就是曲率向量在曲面的单位法向量上的投影，这就是法曲率的几何意义。

一般说来，曲面在每一点由两个彼此垂直的切方向，使得法曲率在这两个方向分别达到它的最大值和最小值，这两个切方向称为曲面在该点的主方向，相应的两个法曲率称为曲面在该点的主曲率。

特别的，如果曲面在某一点（脐点）处有第一、第二类基本量成比例，则每一个切方向都是主方向。

根据法曲率的Euler公式，主曲率是法曲率的最大值和最小值.因此，计算主方向和主曲率是了解曲面在该点的弯曲情况的重要手段.我们已经知道主方向和主曲率恰好是曲面在这一点的Weingarten映射的特征方向和特征值。

因此求曲面主方向和主曲率的问题归结为求Weingarten映射的特征方向和特征值。

现在把求主方向和主曲率的方法综述如下：

首先，按照公式和用曲面的第一基本量和第二基本量计算曲面的平均曲率和Gauss曲率，并解二次方程，得到曲面的主曲率，其次，分两种情形来处理：

在非脐点的情形时，，我们逐次将和分别代替线性方程组

中的，其相应的方程组系数矩阵的秩是1，

因此对应与的主方向是

对应于的主方向是

在脐点的情形，，将（或）代替线性方程组

中的，其相应的方程组系数矩阵是零矩阵，此时任意的非零数组都是方程组的解，即主方向是不定的。

法曲率的计算与弯曲性的刻画

下面我们用不同的方法来求球面的法曲率

例1：

求球面量的在一点的法曲率。

解：

方法一：

利用定义

图3

如图3，设法截线在球面上点的曲率为，则。

因为法截线向的反侧弯曲，由法曲率的定义可得：

方法二：

利用公式计算

设是球面上任一点，过此点的平面与球心的距离为，平面与球面的交线为，则为圆周，其曲率为如图2所示，假设，则圆周的主法向量与平面的法向量的夹角为从而，

方法三：

利用计算

对于球面有，所以球面上任意点沿任何方向的法曲率为

方法四：

利用欧拉公式

因为球面上的点都是脐点，从而主曲率由欧拉公式知其法曲率下面我们结合例子来说明法曲率刻画了曲面的弯曲性。

例2：

求平面、圆柱面和球面的法曲率，并说明它们的弯曲情况。

解：

先考虑平面:

设平面方程为，则有，故平面不弯曲，平面上的点都是平点，平面上每一个方向都是主方向。

下面考虑圆柱面：

设圆柱面的方程为：

，则有，

故。

若用表示切方向与-曲线（圆柱面的平行圆）切方向的夹角，则，所以。

因此，圆柱面在一点的法曲率在时取最小值；在时取最大值

故圆柱面在沿着圆柱面的直母线方向不弯曲，而沿着其垂直方向即平行圆方向弯曲程度最大。

最后看球面：

由例1知球面上任意点沿任何方向的法曲率为，所以球面上每一点处的弯曲程度都一样，且球面的半径越大，弯曲程度越小。

结合所给曲面的特点，可以采用不同方法求法曲率，然后我们利用法曲率的意义可以较为准确的刻画曲面的弯曲性。

我们知道法曲率可正可负，并且有其中，分别表示曲面的第一基本形式和第二基本形式，即

所有教材上对式子都没讨论它独特的含义，只是形式地运用罢了，我们首先对该公式的意义进行讨论，然后将其分子和分母独立的当成，的函数而得到主方向的一个性质。

为了看清式子的含义，我们先证明

定理1设平面曲线的方程为，是自然参数，曲面上自然参数的点Q到参数为的点的切线距离为，则曲线在点处的曲率为

图4

证：

如图4，由矢性积的几何意义，，利用泰勒公式有其中，

再由伏雷内公式，于是，，

从而，

所以有

设曲面上给定点的切平面为，单位法向量为，点处方向为的法截线的方程为，为自然参数，点对应的参数为，邻近点对应的参数为，在上的投射为，我们定义到的有向距离。

现在，我们有

定理2曲面上给定点沿方向的法曲率等于的邻近点到点的切平面的有向距离的2倍与到点弧长的平方之比的极限，即

证:

由于，，

所以，其中，，设为过点方向为的法截线的曲率，有伏雷内公式

于是，

当与同向时，即法截线向的正方向弯曲时，，当与反向时，即法截线朝的反向弯曲时，，因此，所以

现在，我们有连等式成立

如果把看作一个量，则就是有向距离的两倍关于这个量的微分，因此，后一等式的理解就象一样

由于球面的任意点以及旋转曲面与旋转轴的交点处的各个方向的法截线具有完全相同的邻近结构，由公式可知，各个方向的法曲率相等。

因此，我们有

推论1球面上的任意点为脐点。

、

推论2旋转椭球面的脐点是椭球面与旋转轴的交点。

推论3旋转抛物面的脐点是旋转抛物面的顶点。

由于平面上的任意点处的邻近都有，因而，对于直纹面上的直母线方向，我们也有。

于是，我们有

推论4平面上的任意方向都是渐进方向。

推论5直纹面上的直线一定是渐近线。

现在，我们把、分别看成在曲面给定点处的函数，我们断言，取极值的方向是在使得（无穷小定值）的条件下，取极值的方向。

定理3曲面在给定点处的主方向是使得（无穷小定值）时，取得极值的方向

证由知，，

由拉格朗日乘数法。

取极值应满足：

关于变量的偏导数等于零，其中是拉格朗日乘子，不等于零的常数，于是有

由于不为零，因此

这正是主方向应满足的方程。

二．法曲率的性质

性质一、正则参数曲面在任意一个固定点，其法曲率必定在两个彼此正交的切方向上分别取最大值和最小值。

性质二、引入Euler公式，设是曲面在点的两个彼此正交的主方向单位向量，对应的主曲率是，则在点沿任意一个单位向量的曲率是，从Euler公式不难看出，主方向正是法曲率极值的方向，而主曲率恰好是法曲率的极值，则我们可以得出：

推论如果，则曲面在该点沿任意一个切方向的法曲率满足不等式

证明：

由Euler公式得到

由于，故，且

参考文献:

[1]梅向明，黄敬之.微分几何.高等教育出版社.2003.12

[2]陈维桓.微分几何.北京大学出版社.2006.6

[3]张文贵.微分几何习题集.北京师大出版社.1981.3

[4]苏步青.微分几何.人民教育出版社.1984

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