∴sinA+cosA=sin(A+45°)∈(1,].
答案:
D
4.(2006山东潍坊检测)在△ABC中,cos2=(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则△ABC的形状为()
A.正三角形B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
解析:
∵cos2=,∴=,即cosA=.
又∵cosA=,∴=,即a2+b2=c2.∴△ABC为直角三角形.故选B.
答案:
B
5.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_________________________.
解析:
由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴=.∴∠A=.
答案:
训练思维
6、△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:
A=2B.
剖析:
研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角,二是角化边.
证明:
用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+c)中,得
sin2A=sinB(sinB+sinC)sin2A-sin2B=sinBsinC
-=sinBsin(A+B)
(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)
sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B).
因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B.
讲评:
利用正弦定理,将命题中边的关系转化为角间关系,从而全部利用三角公式变换求解.
链接·聚焦
7、
(1)该题若用余弦定理如何解决?
解:
利用余弦定理,由a2=b(b+c),得cosA==
=,cos2B=2cos2B-1=2()2-1=-1=.
所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角,所以A=2B.
(2)该题根据命题特征,能否构造一个符合条件的三角形,利用几何知识解决?
解:
由题设a2=b(b+c),得=,①
做出△ABC,延长CA到D,使AD=AB=c,连结BD.①式表示的即是=,所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.
又AB=AD,可知∠2=∠D,所以∠1=∠2.
因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1,
所以A=2B.
讲评:
近几年的高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.
8、(2004全国高考卷Ⅱ)已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.
(1)求证:
tanA=2tanB;
(2)设AB=3,求AB边上的高.
剖析:
有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式,结合图形,以
(1)为铺垫,解决
(2).
(1)证明:
∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,
∴=2.
∴tanA=2tanB.
(2)解:
<A+B<π,∴sin(A+B)=.
∴tan(A+B)=-,
即=-.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=(负值舍去).得tanB=,∴tanA=2tanB=2+.
设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=.
由AB=3得CD=2+,∴AB边上的高为2+.
讲评:
本题主要考查三角函数概念,两角和与差的公式以及应用,分析和计算能力.
9、如图,有两条相交成60°角的直路EF、MN,交点是O.起初,阿福在OE上距O点3千米的点A处;阿田在OM上距O点1千米的点B处.现在他们同时以4千米/时的速度行走,阿福沿EF的方向,阿田沿NM的方向.
(1)求起初两人的距离;
(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离;
(3)什么时候他们两人的距离最短?
解:
(1)∵AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=7,
∴起初他们两人的距离是7千米.
(2)设他们t小时后的位置分别是P、Q,则AP=4t,BQ=4t.
下面分两种情况讨论:
当0≤t≤时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°.①
当t>时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°.②
由①②综合得PQ2=48t2-24t+7,即PQ=.
(3)∵PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,
∴当t=时,即在第15分钟时他们两人的距离最短.
链接·拓展
本题还可以转化为坐标运算,从而避免分类讨论.
提示:
以O为坐标原点,OE所在直线为x轴建立坐标系,则t时刻P(3-4t,0),Q((1+4t),(1+4t)).
状元训练
复习篇
10.在△ABC中,下列三式·>0,·>0,·>0中能够成立的不等式个数()
A.至多1个B.有且仅有1个C.至多2个D.至少2个
解析:
原条件可转化为cosA>0,cosB>0,cosC>0.而A、B、C是三角形的内角,∴A+B+C=π最多一个钝角.
答案:
D
11.在△ABC中,a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是()
A.一解B.两解C.一解或两解D.无解
解析:
∵bsinA=50,∴a>bsinA.
答案:
B
12(理)在△ABC中,若A=60°,b=1,S△ABC=,则的值为()
A.B.C.D.
解析:
∵S△ABC=bcsinA,∴bcsinA=.
∴c=4.∴a2=b2+c2-2bccosA=13.∴a=.
∴===.
答案:
B
13、(文)(2004浙江高考)在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
在△ABC中,A>30°0<sinA<1sinA>;sinA>30°<A<150°A>30°.
答案:
B
14.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=(a2+b2-c2),则∠C的度数是_______________________.
解析:
由S=(a2+b2-c2)得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=45°.
答案:
45°
15.在△ABC中,若∠C=60°,则+=____________________.
解析:
+=
=.(*)
∵∠C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.
代入(*)式得=1.
答案:
1
16.在△ABC中,c=2,a>b,∠C=,且有tanA·tanB=6,试求a、b以及此三角形的面积.
思路分析:
由已知可求出tanA+tanB,这样便可求得tanA和tanB的值,只要求出sinA、sinB利用正弦定理可求得a、b.
解:
∵tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
=-tanC(1-tanAtanB)
=-tan(1-6)=5,
又∵tanA·tanB=6且a>b,则tanA>tanB.∴tanA=3,tanB=2.
而0∴sinA=,sinB=.