物理届一轮复习人教版第五章第3讲机械能守恒定律学案浙江专用Word格式.docx
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三、机械能守恒定律
1．内容：
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：
mgh1＋
mv12＝mgh2＋
mv22.
3．机械能守恒的条件
（1）系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
（2）系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
（3）系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
（4）系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
自测3
（多选）如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）
图1
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
答案 CD
自测4
（多选）如图2所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
图2
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为
mv02－mgh
D．物体在海平面上的机械能为
mv02
答案 AD
命题点一 机械能守恒的判断
1．只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化．如自由落体运动、抛体运动等．
2．只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
3．只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
4．除受重力（或系统内弹力）外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿固定斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，物体机械能守恒．
例1
（多选）（2017·
苏州市期中）下列情形中物体或系统机械能守恒的是（空气阻力均不计）（ ）
A．抛出的篮球在空中运动
B．物体沿粗糙斜面匀速下滑
C．细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动
D．系统只有重力或弹力做功的过程
答案 ACD
解析 空气阻力不计，故篮球在空中只受重力，机械能守恒，故A正确；
物体沿粗糙斜面匀速下滑时，摩擦阻力做负功，故机械能不守恒，故B错误；
细绳拴着小球在竖直平面内做圆周运动，绳子拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故C正确；
系统只有重力或弹力做功的过程，符合机械能守恒的条件，故机械能一定守恒，故D正确．
变式1
一轻质弹簧，固定于天花板上的O点处，原长为L，如图3所示，一个质量为m的物块从A点竖直向上抛出，以速度v与弹簧在B点相接触，然后向上压缩弹簧，到C点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是（ ）
图3
A．由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变
B．由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变
C．由A到C的过程中，物块m的机械能守恒
D．由B到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒
命题点二 单个物体的机械能守恒
1．表达式
2．一般步骤
3．选用技巧
（1）在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．
（2）在处理连接体问题时，通常应用转化观点和转移观点，都不用选取零势能面．
例2
如图4所示，在竖直平面内有由
圆弧AB和
圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为
.一小球在A点正上方与A相距
处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
图4
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
答案
（1）5∶1
（2）能，理由见解析
解析
（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得
EkA＝mg·
①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg·
②
由①②式得
＝5③
（2）若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足
FN≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有
FN＋mg＝m
⑤
由④⑤式得mg≤m
⑥
vC≥
⑦
全程应用机械能守恒定律得mg·
＝
mv
⑧
解得vC＝
，即小球恰好可以沿轨道运动到C点．
变式2
（2017·
南京外国语学校等四模）背越式跳高是一项跳跃垂直障碍的运动项目，包括助跑、起跳、过杆和落地四个阶段，如图5所示为从起跳到落地运动过程分解图，某同学身高1.80m，体重60kg，参加学校运动会成功地越过了1.90m的横杆，该同学跳起时刻的动能可能是下列哪个值（ ）
图5
A．500JB．600J
C．800JD．2000J
答案 C
命题点三 连接体的机械能守恒
1．多个物体组成的系统机械能守恒的判断一般从能量转化的角度：
判断是否只有动能与重力势能之间的相互转化，有无其它形式的能量参与．或判断：
有无摩擦、碰撞、绳子绷紧等现象．
2．绳、杆相连物体的速度往往不同，要注意各物体间的速度关系．
3．“链条”“液柱”等不能看作质点的物体，可分析重心位置的变化，也可分段处理，明确初末状态各部分的高度与速度．
4．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
例3
（2018·
铜山中学模拟）如图6所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连结在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4m，现从静止释放圆环．不计定滑轮和空气的阻力，取g＝10m/s2，求：
图6
（1）为使圆环能下降h＝3m，两个物体的质量应满足什么关系？
（2）若圆环下降h＝3m时的速度v＝5m/s，则两个物体的质量有何关系？
（3）不管两个物体的质量为多大，圆环下降h＝3m时的速度不可能超过多大？
答案
（1）M≤3m
（2）
（3）
m/s
解析
（1）若圆环恰好能下降h＝3m，由机械能守恒定律得：
mgh＝MghA
由几何关系可得：
h2＋l2＝（l＋hA）2，解得：
M＝3m.因此为使圆环能下降h＝3m，两个物体的质量应满足M≤3m；
（2）若圆环下降h＝3m时的速度v＝5m/s，由机械能守恒定律得：
mgh＝MghA＋
mv2＋
MvA2，如图所示，A、B的速度关系为vA＝vcosθ＝v·
，解得：
；
（3）B的质量比A的大得越多，圆环下降h＝3m时的速度越大，当m≫M时可认为B下落过程机械能守恒，有：
mgh＝
mvm2，解得圆环的最大速度：
vm＝
m/s；
即圆环下降h＝3m时的速度不可能超过
m/s.
命题点四 含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度（如绷紧的弹簧在光滑桌面上由静止释放）．
例4
江苏单科·
9）如图7所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L.B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°
变为120°
.A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g.则此下降过程中（ ）
图7
A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于
mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为
mgL
解析 对A进行受力分析和运动分析可知，A球先向下做加速运动，处于失重状态，对A、B、C整体分析可知，此过程地面的支持力小于3mg，则B受到地面的支持力小于
mg，A正确；
当A球所受的合力为零时，加速度为零，速度最大，B受到地面的支持力等于
mg，B正确；
当A球的速度为零时，弹簧的弹性势能最大，A的加速度方向竖直向上，C错误；
A球达到最大动能后向下做减速运动，到达最低点时三个小球的动能均为零，由机械能守恒定律得，弹簧的弹性势能为Ep＝mg（Lcos30°
－Lcos60°
）＝
mgL，D错误.
1．（2018·
常熟市模拟）半径分别为r和R（r<
R）的光滑半圆形槽，其圆心均在同一水平面上，如图8所示，质量相等的两物体分别自半圆形槽左边缘的最高点无初速度地释放，在下滑过程中两物体（ ）
图8
A．机械能均逐渐减小
B．经最低点时动能相等
C．机械能总是相等的
D．两物体在最低点时加速度大小不相等
2．（多选）（2017·
无锡市期中）如图9所示，一物体从光滑斜面AB底端A点以初速度v0上滑，沿斜面上升的最大高度为h.假设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0，则下列说法中正确的是（ ）
图9
A．若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后上升的最大高度仍为h
B．若把斜面弯成圆弧D，物体仍沿圆弧升高h
C．若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到达B点
D．若把斜面从C点以上部分弯成与C相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h
解析 若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后做斜抛运动，物体运动到最高点有水平分速度，速度不为零，由机械能守恒可知，物体不能到达h高处，故A错误；
若把斜面弯成圆弧D，如果能到圆弧最高点，根据机械能守恒定律得知：
到达h高处的速度应为零，而物体要到达最高点，必须由合力充当向心力，速度不为零，故知物体不可能到达h高处，故B错误；
若把斜面AB变成曲面AEB，物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿此曲面上升仍能到达B点，故C正确；
若把斜面从C点以上部分弯成与C相切的圆弧状，若圆弧的圆心位置低于h高度，则物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿斜面上升的最大高度仍然为h，故D正确．
3．（2017·
海州高级中学第五次检测）如图10所示，离水平地面一定高度处水平固定一内壁光滑的圆筒，筒内固定一轻质弹簧，弹簧处于自然长度．现将一小球从地面以某一初速度斜向上抛出，刚好能水平进入圆筒中，不计空气阻力．下列说法中错误的是（ ）
图10
A．弹簧获得的最大弹性势能小于小球抛出时的动能
B．小球斜上抛运动过程中处于失重状态
C．小球压缩弹簧的过程中，小球减小的动能等于弹簧增加的势能
D．若抛射点向右移动一小段距离，仍使小球水平进入圆筒中，可以增大抛射速度v0，同时增大抛射角θ
解析 小球斜向上抛运动过程中只受重力，加速度方向竖直向下，处于失重状态，B正确；
小球压缩弹簧的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，C正确；
运用逆向思维，小球从地面斜向上抛出水平进入圆筒的过程可视为平抛运动的逆过程，则小球到达圆筒时速度为v0cosθ，Ep＝
m（v0cosθ）2<
mv02，A正确；
若使小球仍能水平进入圆筒中，则小球上升高度不变，运动到圆筒的时间不变，因抛射点向右移动，则需增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ，D错误．
4．如图11甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径（C、D为圆轨道的最低点和最高点），已知∠BOC＝30°
.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出小滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，取g＝10m/s2.求：
图11
（1）滑块的质量和圆轨道的半径；
（2）是否存在某个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点？
若存在，请求出H值；
若不存在，请说明理由．
答案
（1）0.1kg 0.2m
（2）存在 0.6m
解析
（1）设小滑块的质量为m，圆轨道的半径为R
根据机械能守恒定律得
mg（H－2R）＝
mvD2，F＋mg＝
得：
F＝
－mg
取点（0.50m,0）和（1.00m,5.0N）代入上式得：
m＝0.1kg，R＝0.2m
（2）假设小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点（如图所示）
由几何关系可得OE＝
设小滑块经过最高点D时的速度为vD′
由题意可知，小滑块从D运动到E，水平方向的位移等于OE的长度，竖直方向上的位移等于R，则
OE＝vD′t
R＝
gt2
解得vD′＝2m/s
而小滑块过D点的临界速度vD0＝
由于vD′＞vD0，所以存在一个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点
mvD′2
解得H＝0.6m.
1．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．如果物体所受到的合力为零，则其机械能一定守恒
B．如果物体所受到的合力做的功为零，则其机械能一定守恒
C．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，其机械能一定守恒
D．做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒
解析 物体沿光滑曲面自由下落的过程中，只有重力做功，所以机械能守恒，选项C正确；
做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒，如自由落体运动，选项D正确．
2．（多选）一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
答案 ABC
解析 到达最低点前高度始终在降低，所以重力势能始终减小，故A正确．蹦极绳张紧后的下落过程，伸长量逐渐增大，弹力做负功，弹性势能增大，故B正确．在蹦极过程中，只有重力与系统内弹力做功，故系统机械能守恒，C正确．重力势能的改变与重力做功有关，重力做功只与始末位置高度差有关，与零势能面的选取无关，故D错误．
3．（2018·
阜宁中学调研）如图1所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，CD段为平滑的弯管．一小球从管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．则管口D距离地面的高度必须满足的条件是（ ）
A．等于2RB．大于2R
C．大于2R且小于
RD．大于
R
答案 B
解析 细管轨道可以提供支持力，所以小球到达A点的速度大于零即可，即mgH－mg·
2R>
0，解得H>
2R.故选B.
4．一物体从高h处自由下落，落至某一位置时其动能与重力势能恰好相等（取地面为零势能面），下列说法中错误的是（ ）
A．此时物体所处的高度为
B．此时物体的速度为
C．这段下落的时间为
D．此时机械能可能小于mgh
解析 物体自由下落过程中机械能守恒，D项错误；
由mgh＝mgh′＋
mv2＝2mgh′知h′＝
，A项正确；
由
mv2＝
mgh知v＝
，B项正确；
由t＝
知t＝
，C项正确．
5．（2017·
南通市第三次调研）如图2所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
6．（多选）（2017·
南通中学期中）如图3所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球．支架悬挂在O点，可绕O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是（ ）
A．A球到达最低时速度为零
B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动时的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
答案 BCD
解析 因为在整个过程中系统机械能守恒，故有：
假设A到达最低点时速度为0，则A减少的重力势能等于B增加的重力势能，又因A、B质量不变，则A减少的重力势能不等于B增加的重力势能，所以A到达最低点时速度不为0，故A错误；
因为系统机械能守恒，即A、B两球的机械能总量保持不变，故A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量，故B正确；
因为B球质量小于A球，故B上升高度h时增加的势能小于A球减少的势能，故当B和初始时刻的A球等高时，仍具有一定的速度，即B球继续升高，故C正确；
因为不计一切阻力，系统机械能守恒，故当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度，故D正确．
7．（多选）如图4所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<
∠OMN<
.在小球从M点运动到N点的过程中（ ）
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
解析 因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<
，知M处的弹簧处于压缩状态，N处的弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做正功再做负功，选项A错误；
当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，加速度为g；
当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为g，则有两个时刻的加速度大小等于g，选项B正确；
弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力与速度垂直，弹力对小球做功的功率为零，选项C正确；
由动能定理得，WF＋WG＝ΔEk，因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知WF＝0，即WG＝ΔEk，选项D正确．
8．（2017·
宿迁市上学期期末）如图5所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是（ ）
A．2RB.
C.
D.
解析 设B球质量为m，A球刚落地时两球速度大小为v，根据机械能守恒定律2mgR－mgR＝
（2m＋m）v2得v2＝
gR，B球继续上升的高度h＝
，B球上升的最大高度为h＋R＝
R，故选C.
9．（2018·
苏州市调研卷）如图6所示，在倾角θ＝30°
的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1m．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10m/s2.则下列说法中正确的是（ ）
A．整个下滑过程中A球机械能守恒
B．整个下滑过程中B球机械能守恒
C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为
J
D．整个下滑过程中B球机械能的增加量为
解析 在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A球沿斜面滑行时，杆的弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，故A、B错误；
根据系统机械能守恒得：
mAg（h＋Lsinθ）＋mBgh＝
（mA＋mB）v2，解得：
v＝
m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为
mBv2－mBgh＝
J，故D正确；
A球的机械能减少量为
J，C错误．
10．（多选）一球自由下落，与地面发生碰撞，原速率反弹，若从释放小球开始计时，不计小球与地面发生碰撞的时间及空气阻力．则下图中能正确描述小球位移x、速度v、动能Ek、机械能E与时间t关系的是（ ）
答案 BD
解析 小球自由下落，做初速度为零的匀加速运动；
与地面发生碰撞，原速率反弹，做竖直上抛运动，速度—时间图象B正确，位移—时间图象A错误；
小球下落时，速度与时间成正比，则动能与时间的二次方成正比，动能—时间图象C错误；
机械能保持不变，机械能—时间图象D正确．
11．如图7所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度．求：
（1）斜面倾角α；
（2）B的最大速度v.
答案
（1）30°
（2）2g
解析
（1）当物体A刚离开地面时，设弹簧的伸长量为xA，对A有kxA＝mg.
此时B受到重力mg、弹
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