数值分析考试复习总结.doc
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第一章
1误差
相对误差和绝对误差得概念
例题:
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时,一般要经历哪几个阶段?
在哪些阶段将有哪些误差产生?
答:
实际问题-数学模型-数值方法-计算结果
在这个过程中存在一下几种误差:
建立数学模型过程中产生:
模型误差参数误差
选用数值方法产生:
截断误差
计算过程产生:
舍入误差传播误差
6．设关于精确数有3位有效数字，估计的相对误差.对于，估计对于的误差和相对误差.
解的相对误差：
由于
.,
.（）
对于的误差和相对误差.
==
.□
2有效数字
基本原则:
1两个很接近的数字不做减法:
2:
不用很小得数做分母（不用很大的数做分子）
例题:
4．改变下列表达式使计算结果比较精确：
（1）
（2）
（3）.
解
（1）.
（2）.
（3）.□
第二章
拉格朗日插值公式（即公式
（1））
插值基函数（因子）可简洁表示为
其中:
.
例1n=1时，线性插值公式，
例2n=2时，抛物插值公式
牛顿（Newton）插值公式
由差商的引入，知
（1）过点的一次插值多项式为
其中
（2）过点的二次插值多项式为
其中
重点是分段插值:
例题:
1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：
（1）
-1
0
1/2
1
-3
-1/2
0
1
（2）
-1
0
1/2
1
-3/2
0
0
1/2
解
（2）：
方法一.由Lagrange插值公式
可得：
方法二.令
由，，定A，B（称之为待定系数法）□
15.设，求在区间上的分段线性插值函数，并估计误差，取等距节点，且.
解，，，
设，则：
误差估计：
.□
第三章
最佳一致逼近:
（了解）
最佳平方逼近
主要分两种情形：
1.连续意义下
在空间中讨论
2.离散意义下
在维欧氏空间中讨论，只要求提供的样本值
1.最佳逼近多项式的法方程组
设的维子空间=span,
其中是的线性无关多项式系.
对，设其最佳逼近多项式可表示为:
由
即（*2）
其中
称（*2）式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.
由的线性无关性，可证明正定，即
上述法方程组的解存在且唯一.
11、求，的一次和二次最佳平方逼近多项式.
解：
设，
分别为的一次、二次最佳平方逼近多项式。
内积
计算如下内积：
,
,
,
建立法方程组：
（1），得：
，
于是
（2）
解得：
，，,于是：
.□
第四章
1为什么要进行数值积分?
常用哪些公式,方法?
答:
梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.
2:
方法好坏的判断:
代数精度
l误差分析
1.代数精度的概念
定义若求积公式（*）对所有次数的多项式是精确的，但对次多项式不精确，则称（*）具有次代数精度。
等价定义
若求积公式（*）对是精确的，但对不精确，则（*）具有次代数精度。
3:
误差
1等距剖分下的数值求积公式：
公式特点：
节点预先给定，均匀分布,系数待定
利用插值多项式近似代替，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式
2给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：
Gauss求积公式公式特点：
系数和节点均待定
3分段插值多项式近似代替（分段求积）复化求积公式
复化求积公式
通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值
分而治之：
分段＋低次求积公式----------称为复化求积法
两类低次（）求积公式：
1.Newton－Cotes型：
矩形、梯形、Simpson、Cotes公式
分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
2.Gauss型：
一点、两点、三点Gauss求积公式
称为复化一点、两点、三点Gauss公式
复化梯形公式（）
复化辛甫生公式:
（每个上用辛甫生公式求积）
，为的中点
复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。
常采用其等价形式：
复化柯特斯公式
其中，，为的中点，
，为的四等分的分点
l自适应复化求积法
计算时，要预先给定或步长，在实际中难以把握
因为，取得太大则精度难以保证，太小则增加计算工作量.
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
步1
步2
步3判断？
若是，则转步5；
步4，转步2；
步5输出.
第五章
1:
常用方法:
（1）.直接解法：
逐步（顺序）消去法、
主元素法、矩阵分解法等；
（2）.迭代解法：
构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解
①.经典迭代法
迭代法、迭代法、
逐次超松弛（SOR）迭代法等；
②.Krolov子空间的迭代法
根据的对称性，又分为：
对称正定-------共轭梯度法
非对称---------BICG、GMRes（最小残量法）
③.解一类特定背景问题的迭代法
多重网格法
2:
几类迭代法优缺点比较:
3:
迭代方法
目标：
求解 其中，非奇异。
基本思想：
把线性方程组的解，化为一个迭代序列极限解
关键：
构造迭代序列所满足的公式：
迭代格式。
构造迭代格式基本步骤：
1．将分裂：
，其中，非奇异
2．构造迭代格式
其中，称之为迭代矩阵,
其中，为的残余向量
此时，
常用的迭代方法
将分裂为
其中
，,
lJacobi迭代方法
若，迭代格式
①
其中Jacobi迭代矩阵：
①式可写为分量形式
.（*1）
方法（*1）或①称为Jacobi迭代方法.
Gauss—Seidle迭代方法
若，迭代格式
②
其中，
Gauss-Seidel迭代矩阵：
其分量形式
.（*2）
即，
在计算新分量时，利用新值，。
迭代法（*2）或②称为Gauss—Seidel迭代方法。
l超松弛方法（SOR）方法
定义SOR方法的迭代格式如下：
（*3）
称为松弛因子，即为方法.
其矩阵形式
其中，
SOR法的迭代矩阵：
.
第七章
1:
解非线性方程与方程组的方法:
1.准确方法
如：
用求根公式对次的代数多项式求根。
但：
绝大多数的方程并无准确方法可用。
如：
次的代数多项式并无求根公式。
2.数值方法（实际中大多采用）
基本思想：
设法找到一个能收敛到方程的解的序列。
（1）.区间套法——二分法。
（2）.迭代法：
①.简单迭代法；②.Newton迭代法;
.割线法;.加速算法。
2:
收敛条件:
二分法无条件
简单迭代法条件:
定理1如果满足以下条件:
1）,;
2）常数:
使得对任意两点,都有
则:
方程（*）在上的解存在唯一,且对任给的初值,由迭代过程（**）所产生的序列收敛到.
例题:
2.为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1），迭代公式
（2），迭代公式，
（3），迭代公式，
试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？
解：
取的邻域来考察
（1），，故迭代公式
（1）收敛.
（2）,
，
故迭代公式
（2）也收敛。
（3）,
故迭代公式（3）发散.
由于越小，越快地收敛于根，故
（2）式收敛最快。
□
第八章
解一阶常微分方程的常用方法:
Euler方法Runge-Kutta方法
2阶常微分方程边值问题的差分方法
1．三类边值问题
1）第一类边值问题：
，（3.1）
。
（3.2）
2）第二类边值问题：
，（3.3）
。
（3.4）
3）第三类边值问题：
，（3.5）
，（3.6）
其中，。
2．差分格式的建立
针对方程（3.1）而言.
Step1取的离散节点:
第步步长,一般可取等
步长:
Step2将用二阶差商、用一阶差商近似：
，
.
理由：
由Taylor展开，有
两式相加得
，
其中，.
两式相减得
，
其中，.
Step3略去项,并记则由方程（3.1）有:
………………………………（3.7）
所以得到第一边值问题（3.1）-（3.2）的差分格式:
…（3.8）
.…………………………（3.9）
对第二边值条件（3.3）,由于
其中，,,
已及
所以可得到第二类边值问题（3.3）-（3.4）的差分格式:
…（3.10）
.………（3.11）
类似可得第三类边值问题（3.5）-（3.6）的差分格式（略）.
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