年高考文科数学真题直线与圆锥曲线.doc
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【考点24】直线与圆锥曲线
1．（2007山东文9）设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则为（）
（A） （B）[来源:
学_科_网Z_X_X_K]
（C） （D）
2．（2007海南宁夏文21）（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆的圆心为Q，过点且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？
如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.
3．（2008天津文22）（14分）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是一条渐近线的方程是
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
4.（2009浙江21）已知椭圆的右顶点为A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设点P在抛物线上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N，当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值.
[来源:
学科网]
5.（2009天津21）以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且
（I）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）求直线AB的斜率；
（III）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点在的外接圆上，求的值
6.（2009山东22） 设椭圆过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？
若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由
7．（2009辽宁20）已知，椭圆C经过点
（I）求椭圆C的方程；
（II）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.
8.（2009安徽20）点在椭圆，．直线l2
与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为．
（Ⅰ）证明：
点P是椭圆与直线的唯一交点；
（Ⅱ）证明：
构成等比数列．
9.（2009上海文22）已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:
设过点A的直线l的方向向量。
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；
（3）证明：
当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.
10.（2009安徽文18）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P．求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．
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高考真题答案与解析
数学（文）
【考点24】直线与圆锥曲线
1．答案：
B
【解析】设则
又解得
故选B.
2.【解析】
（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为.过且斜率为k的直线方程为
，代入圆方程得
，
整理得. ①（3分）
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于
解得，即k的取值范围为.（6分）
（Ⅱ）设，则，
由方程①，
. ②
又. ③（8分）
而.
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得. （11分）
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k.（12分）
3.本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.满分14分.
（Ⅰ）解：
设双曲线C的方程为由题设得
解得
所以双曲线C的方程为
（Ⅱ）解：
设直线l方程为点M，N的坐标满足方程组
①
②
将①式代入②式，得整理得
此方程有两个不等实根，于是，且
整理得
. ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（）满足
从而线段MN的垂直平分线的方程为
[来源:
Zxxk.Com]
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为由题设可得
整理得
将上式代入③式得，
整理得
解得
所以k的取值范围是
4.【解析】（I）解：
由题意，得
从而
因此，所求的椭圆方程为
（Ⅱ）解：
如图，设
则抛物线C2在点P处的切线斜率为
直线MN的方程为：
将上式代入椭圆C1的方程中，得
即①
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，
所以①式中的
②
设线段MN的中点的横坐标是，则
设线段PA的中点的横坐标是，则
由题意，得
即
由③式中的
，得
当时，
则不等式②不成立，
所以
当时，代入方程③得
[来源:
Zxxk.Com]
将代入不等式②，检验成立。
所以，的最小值为1。
5.[解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识。
考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。
满分14分。
（I）解：
由且
得
从而
整理，得
故离心率
（Ⅱ）解：
由（I），得
所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为
即
由已知设，
则它们的坐标满足方程组
消去并整理，
得
依题意，
得
而①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以
③
联立①③解得
将代入②中，解得
（III）解法一：
由（Ⅱ）可知
当时，得
由已知得
线段AF1的垂直平分线的方程为
直线与x轴的交点是的外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为
直线F2B的方程为，
于是点的坐标满足方程组
由
故
当
解法二：
由（Ⅱ）可知
当时，得，
由已知得
由椭圆的对称性知B，F2，C三点共线。
因为点在的外接圆上，且
所以四边形AF1CH的等腰梯形。
由直线F2B的方程为
知点H的坐标为
因为
所以
解得（舍），或[来源:
Zxxk.Com]
则
所以
当时，同理可得
6.【解析】：
（Ⅰ）将的坐标代入椭圆E的方程得
解得
所以椭圆E的方程为
（Ⅱ）证明：
假设满足题意的圆存在，其方程为
，其中
设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
当直线AB的斜率存在时，
令直线AB的方程为，①
将其代入椭圆E的方程并整理得
由韦达定理得
②
因为，[来源:
学科网]
所以 ③
将①代入③并整理得
联立②得
④
因为直线AB和圆相切，
因此
由④得
所以存在圆满足题意.
当切线AB的斜率不存在时，
易得
由椭圆方程得
显然，
综上所述，存在圆满足题意.
解法一：
当切线AB的斜率存在时，由①②④得[来源:
学科网ZXXK]
令，则，
因此
所以
即.
当切线AB的斜率不存在时，易得，[来源:
学&科&网Z&X&X&K]
所以
综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，
且.[来源:
学科网ZXXK]
解法二：
过原点O作⊥，垂足为D，
则D为切点，
设∠，
且为锐角，且
，
所以
因为
所以[来源:
学科网]
令，易证：
当时， 单调递减
当时，单调递增.
所以
.
7.【解析】：
（I）由题意，c=1，可设椭圆方程为
因为A在椭圆上，所以（舍去）
所以椭圆方程为
（II）设直线AE方程为：
得
设因为点在椭圆上，所以
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以可得
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为
8.【解析】：
（Ⅰ）（方法一）由
得，
代入椭圆方程，
得
将代入上式，得
从而
因此，方程组，即l 1与椭圆有唯一交点P.
（方法二）显然P是椭圆与l1的交点，若，
是椭圆与l1的交点，代入l1的方程
，得，
即故P与Q重合.
（方法三）在第一象限内，由
可得，
椭圆在点P处切线的斜率，
切线方程为
因此，l1就是椭圆在点P处的切线
根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l2的唯一交点。
（Ⅱ）的斜率为
的斜率为，
由此得构成等比数列.
9．【解析】
（1）设双曲线C的方程为，
解得=2，双曲线C的方程为
（2）直线
直线l的点方向式方程为：
，即：
由题意，得，解得
（3）[证法一]设过原点且平行于l的直线
则直线l与b的距离
又双曲线C的渐近为
双曲线C右支在直线D的右下方
∴双曲线右支上的任意点到的距离大于
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为
[证法二]假设双曲线C右支上存在点到直线的距离为
则
由
（1）得
设
当时，
将代入
（2）得
（*）
方程（*）不存在正根，即假设不成立，
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线的距离为
10.【解析】
（I）由
又由原点到直线的距离等于圆的半径，得
（II）（方法一）由
设M（x，y），则P（1，y）
由
此轨迹是抛物线.
（方法二）因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以即M到F1的距离等于M到的距离.
此轨迹是以F1（-1，0）为焦点为准线的抛物线，轨迹方程为
[来源:
学_科_网]
[来源:
Zxxk.Com]
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