全国校级联考浙江省衢州市五校联盟届高三上学期联考数学试题.docx
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全国校级联考浙江省衢州市五校联盟届高三上学期联考数学试题
【全国校级联考】浙江省衢州市五校联盟2019届高三上学期联考数学试题
衢州五校联盟高三联考
数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷(共40分)
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,,则()
A.B.C.D.
2.双曲线的渐近线方程是()
A.B.C.D.
3.已知复数满足(为虚数单位),则复数的模数为()
A.2B.C.5D.
4.函数()的图象大致为()
A.B.C.
为终边,若,则所在的圆弧是()
A.B.C.D.
9.如图,在中,,,为的中点,将沿着翻折至,使得,则的取值不可能为()
A.B.C.D.
10.已知数列的前项和为,则下列选项正确的是()
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
11.(,)的最大值为.
12.若,满足,的最小值为;的最大值为.
13.若,则,.
14.元宵节灯展后,如图悬挂有6盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,共有种不同取法.(用数字作答)
15.在锐角中,内角,,的对边分别为,,且,则.
16.在中,,,且,则的取值范围是.
17.已知函数(),若存在三个互不相等的实数,,使得成立,则实数的取值范围是.
三、解答题:
本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)
已知函数(,,)的部分图象如图所示,其中,分别为函数图象相邻的一个最高点和最低点,,两点的横坐标分别为1和4,且.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;
(2)当时,求函数的值域.
19.(本题满分15分)
如图,的外接圆的半径为,圆所在的平面,,,,且,.
(1)证明:
平面平面;
(2)试问线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?
若存在,确定点的位置,若不存在,请说明理由.
20.(本题满分15分)
已知等比数列满足条件,,,数列满足,(,)
(1)求数列,的通项公式;
(2)若数列满足,,求的前项和.
21.(本题满分15分)
如图,过抛物线()上一点,作两条直线分别交抛物线于点,,若与的斜率满足.
(1)证明:
直线的斜率为定值,并求出该定值;
(2)若直线在轴上的截距,求面积的最大值.
22.(本题满分15分)
已知函数有两个极值点,().
(1)求的取值范围;
(2)证明:
.
衢州五校联盟高三联考
数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
C
B
D
C
A
B
10.因为,
令,在,
∴,故.
设,,则,
∴在上单调递增,
∴,即,.
令,则,
∴,故.
综上,选B.
11.,-2
12.4,3
13.15,32
14.90
15.,
16.
17.
17.解:
若存在三个互不相等的实数,,使得成立,
等价为方程存在三个不相等的实根,
当时,,
所以,解得,
所以当时,,只有一个根;
所以当时,方程存在两个不相等的实根,
即,,
设,,
所以,
令,解得,
当时,解得,在上单调递增;
当时,解得,在上单调递减.
又,,
因为存在两个不相等的实根,
所以.
故答案为.
18.解:
(1)由图可知,所以,
又因为,,所以,
又因为(),因为,所以.
所以函数,令,,
解得,,
所以函数的单调递增区间Wie()
(2)因为,
,
所以
.
又因为,
所以.
所以.
19.
(1)证明:
∵平面,,
∴平面,∴.
∵,,∴.
∵的半径为,∴是直径,
∴.
又∵平面,∴,故平面,
∵平面,∴平面平面.
(2)解:
方法1:
假设点存在,过点作于,连结作于,连结,
∵平面平面,
∴平面,∴为与平面所成的角.
设,计算易得,,
故.
由,解得(舍去),,
故,从而满足条件的点存在,且.
方法2:
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
则,
易知平面的法向量为,假设点存在,设,则,
再设,,
∴,
即,从而.
设直线与平面所成的角为,则
,
解得或,其中应舍去,而,
故满足条件的点存在,且点的坐标为.
20.解:
(1)设的通项公式为,,
由已知,,得,
由已知,即,解得,,
所以的通项公式为.
因为,(,),
累加可得.
(2)当时,,,
当时,①,
②,
由①-②得到,,,
综上,,.
③,
④,
由③-④得到,
所以.
21.
(1)证明:
由抛物线()过点,得,即.
设,,因为,所以.
因为,,代入上式得到,
通分整理得,
设直线的斜率为,由,,
得().
由于,将其代入上式得.
(2)解:
设直线的方程为,
由,
得,
因为,所以,且,,
所以.
又点到直线的距离为,
所以.
令,其中,
则由,
当时,,所以单调递减;当,,所以单调递增,故的最大值为,
故的面积的最大值为.
22.解:
(1),设,则.
当时,,所以在上单调递减,
当时,,所以在上单调递增,
所以当时,取得最小值.
因为函数有两个极值点,所以函数有两个零点,
所以,所以,此时,
.
设,则.
因为当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以,即.
所以,即.
综上,的取值范围是.
(2)证明:
由
(1)知,是方程的两个根,所以,,
且当时,,所以是上的减函数,
所以
.
因为,所以,即,
所以.