特征值与特征向量的特点及应用.docx

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特征值与特征向量的特点及应用

特征值与特征向量的特点及应用

特征值与特征向量的特点及应用

郑州大学毕业设计（论文）

题目：

特征值与特征向量的特点及应用

指导老师：

陈铁生职称：

副教授

学生姓名：

洪天麟学号20112100311

专业：

数学与应用数学

院系：

数学与统计学院

完成时间：

2015年5月10日

摘要...........................................1

§1线性变换的特征值与特征向量，特征多项式和特征子空间的定义..........................................2

§2特征值与特征向量的计算以及不变子空间的问题.............................................10

§3矩阵的公共特征向量与同时三角化........................14

§4特征值与特征向量的运用........................................20

参考文献..............................................................................23

致谢......................................................................................24

特征值与特征向量的特点及应用

摘要：

这篇文章阐述了特征值与特征向量的特点及应用，给出了特征值与特征向量、特征多项式、特征子空间等的概念和性质定理。

并且给出了特征值与特征向量在物理学当中的应用，提供了一些经典习题的解答方法。

还给出了特征值与特征向量在实际生产生活当中的应用。

关键词:

特征值，特征向量，特征多项式，不变子空间，特征子空间

Abstract:

thisarticleexpoundsthecharacteristicsoftheeigenvalueandeigenvectorandapplicationsofeigenvalueandeigenvectorisgiven,andcharacteristicpolynomial,suchasfeaturesubspaceconceptandnatureofthetheorem.Andeigenvalueandeigenvectoraregivenintheapplicationofphysics,providessomeclassicalproblemsolutionmethod.Eigenvaluesandeigenvectorsarealsointheactualapplicationofproductionandliving.

Keywords:

eigenvalues,eigenvectorsandcharacteristicpolynomial,invariantsubspace,featuresubspace

矩阵的特征值和特征向量在现实实际拥有广泛的应用，矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、信息科学、天文物理学、生命科学和环境保护等领域都有联系。

结合数学模型来研究等一系列问题，我们主要从三方面着手：

线性变换的特征值与特征向量，特征多项式和特征子空间的定义；矩阵的公共特征向量与同时三角化；特征值与特征向量的运用。

§1线性变换的特征值与特征向量，特征多项式和特征子空间的定义

若存在非零向量ξV,使得对于某个λ∈K,有Aξ=λξ,则称ξ是A的属于特征值λ的特征向量。

从数学的直观解析几何角度来看，特征向量的方向线性变换后，还是在一条直线，要么方向不变（大于0）要么方向相反（小于0），在等于0时，特征向量被线性变换变成0.ξ是线性变换的属于特征值的特征向量，那么ξ的任意一个非零背书kξ也是A的属于的特征向量。

因为由Aξ=ξ推出A（kξ）=（kξ）特征向量不是被特征值所唯一决定的。

相反，特征值确是被特征向量唯一决定，一个特征值向量只能属于一个特征值。

数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。

该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。

特征空间是相同特征值的特征向量的集合。

这些概念在纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用—在线性代数，泛函分析，甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重要性。

“特征”一词来自德语的eigen。

1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。

eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。

空间上的变换—如平移（移动原点），旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些变换的组合；以及其它变换—可以通过它们在向量上的作用来显示。

向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。

例子

随着地球的自转，每个从地心往外指的箭头都在旋转，除了在转轴上的那些箭头。

考虑地球在一小时自转后的变换：

地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量，但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一个特征向量。

因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，它的特征值是1。

另一个例子是，薄金属板关于一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。

这个伸展是一个有特征值2的变换。

从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。

但是，三维几何空间不是唯一的向量空间。

例如，考虑两端固定的拉紧的绳子，就像弦乐器的振动弦那样（图2.）。

振动弦的原子到它们在弦静止时的位置之间的带符号那些距离视为一个空间中的一个向量的分量，那个空间的维数就是弦上原子的个数。

如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。

驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。

和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。

驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。

因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。

设A是数域P上的一个n级矩阵，是一个数字。

矩阵的行列式

||=

称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式。

上面的分析说明，如果是线性变换Д的特征值，那么

一定是矩阵A的特征多项式的一个根；反过来，如果

是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根，即|E-A|=0.

命题线性空间V中属于确定的特征值λ的特征向量（添加上零向量）构成子空间。

证明设,是属于的特征向量，任意k,lK,则A（k+k）=kA（）+lA（）=kλ+lλ=λ（k+k）.证毕。

定义线性空间V中属于确定的特征值λ的特征向量（添加上零向量）构成子空间称为属于特征值λ的特征子空间，记为.

不变子空间：

空间中的任何元素经过映射映射后，新的元素仍在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变空间

关于特征值，特征向量，特征向量与特征子空间的一些性质

定理相似的矩阵有相同特征多项式

证明设A∽B,那么可逆矩阵X，有B=.于是||=||=||

=||||||=||.

此定理说明，线性变换的矩阵特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换所确定的。

命题线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。

证明设为上的线性变换，是两两不同的特征值，是属于特征子空间的特征向量，设，使得，两边用作用（），于是得到方程组

，

其中的方幂组成的矩阵为

，

两两不同，于是此矩阵的行列式非零，矩阵非退化，于是方程组只有零解，即

，

又由于特征向量非零，则，则线性无关。

证毕。

推论维空间的具有个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵.

证明取每个特征值的一个特征向量作为基即可。

推论设为的两两不同的特征值，则为直和。

证明只要证明零向量的表示法唯一即可。

设，假若某个，则线性相关，与上述命题矛盾。

证毕。

定理维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子空间的直和。

证明必要性设上的线性变换在一组基下成对角形，即

，

将中的不同的值分别记为，相应的基向量记为，记，易见，，只要证明，即可。

易见，“”成立；任取，

（1），

其中，两边用作用，得到

（2），

用

（1）乘以与

（2）相减，得到

，

两两不同，又属于不同特征值的特征向量线性无关，得，即有。

“”得证。

于是，必要性证毕。

充分性若上的线性空间可以分解成为特征子空间的直和，记号同上，则

，

分别取个个特征子空间的基合并为的一组基，则在此组基下，的矩阵成对角形。

证毕。

这里加入代数重数与几何重数的概念：

1）代数重数：

若||=

其中互不相同，并且那么称为特征值的代数重数.

2）几何重数：

x=0的基础解系所含的向量个数为特征值的几何重数并且

几何重数=n-秩.

3）为A的任意一个特征值，那么几何重数代数重数

特征值与特征向量的计算以及不变子空间的问题

例1：

（中国科学院）求矩阵

的本征值，本征矢量,这些矢量（i=1,2,3）是否为正交的？

解：

本征值就是特征值，本征矢量就是特征矢量。

||==

B的三个特征值是.

当时，由得基础解系（是属于特征2的特征向量）为

（1）

当，由得到属于特征值1的特征向量为

（2）

当，由得到属于特征值4的特征向量为

（3）

由

（1）

（2）（3）可以得到是相互正交的（实际上不同特征值之间一定是相互正交的）

例2：

（数学三，1993年）n阶方阵A具有n个不同特征值是A与对角矩阵相似的（）

（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件

（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件

答案B

用排除法。

比如令A=E，其中E是n阶单位阵，则A相似于对角阵。

但它的n个特征值全相同。

所以不是必要条件，从而否定（A）,（C）.

再者，当A有n个不同特征值时，它们相应的特征向量一定是线性无关，令P=（）,那么

，

那么A相似于对角阵，所以是充分条件，选择（B）

例3：

（中国人民大学，1992年）设A,B都是n阶矩阵，E为n阶单位阵，则下面的结论正确的是（）。

一若E-AB可逆，必有E-BA可逆

例3：

（南开大学，2004年）设V是数域P上的3维线性空间，线性变换f:

VV在V的基下的矩阵为

（2）求线性变换f的特征值和特征向量：

（3）线性变换f可否在V的某组基下的矩阵为对角形，为什么？

解

（2）计算得到

那么A有3个相同的特值代入特征方程，有

所以A的属于特征值1的线性无关特征向量为所以属于1的所有特征向量为k,k.

（3）线性变换f在V的任一组基下都不可能有对角阵，因为它只有一个线性无关的特征向量。

例4：

（华中科技大学）设T是线性空间V上的线性变换，Z是V的非零向量。

若向量组Z,TZ,.....线性无关，而线性相关。

证明：

子空间W=L（Z,TZ,.....）是T的不变子空间，并求在该组基下的矩阵。

证因为Z,TZ,.....线性无关，而Z,TZ,.....，线性相关，那么可由Z,TZ,.....线性表出，是

=

那么证明W是T的不变子空间。

矩阵的公共特征向量与同时三角化

引理1[2]若，则至少有一个公共特征向量

定理1　设分别是复数域维线性空间上的线性变换，至少有一个公共特征向量充分必要条件是，其中．

证：

必要性　若至少有一个公共特征向量，不妨设对应于特征