数值分析参考答案第二章Word下载.docx

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90°

的函数表,步长/?

=r=（l/60）\若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos兀近似值时的总误差界。

求解COSX近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，X是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播：

另一方面，利用插值法求函数COSX的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。

因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

当0<

90c时，

令f（x）=cosx

令xi=xQ+ih.i=0丄…,5400

则a'

54oo=y=90’

当］时，线性插值多项式为

厶⑴=fg匸竺+/（X,+1）-^忑一％Xku-A

插值余项为

7?

（x）=|cosx

-厶W|=+/"

（§

）（x-忑）（X-Xk+l）

又•・•在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosxe[0,l],故计算中有误差传播过程。

•••^（/*（^））=|x10_5

凡（兀）=巩广（耳））上二沁+心鮎G）=±

L

忑+】一母

"

（广（母））（上二+上二亘）

-\+i母+】一耳

=£

（/"

（£

））+（xk+l-x+x-xk）

="

（“））

总误差界为

R=R\x）+R2（x）

=i（-cos^）（x-xJ（x-xA+1）+£

（f\xk））<

|x（x-xj（xA+1-x）+5（/*（切）弓x（扣+打（忑））

=1.06x10-'

+-xlO-5

=0.50106x107

4.设为互异节点，求证：

n

（1）工£

/丿（兀）=Xk伙=0丄…,77）；

丿=0

（2）工（©

-x）k/y（x）=0伙=0丄…,77）；

证明

（1）令/（X）=xk

若插值节点为®

J=0丄…屮，则函数/（x）的“次插值多项式为乙⑴=£

。

7=0

插值余项为Rn（x）=/⑴-Ln（x）=-———⑴

（〃+1）!

又•:

k<

n,

•••/叫）=0

•••R”（x）=0

f£

/j（x）=Xk伙=0,1,•••/）;

冃

（2）

；

=0

y=o/=o

=£

c；

（—旷（土现⑴）

1=0；

又由上题结论可知

丈巩（x）"

尸0

•••原式=£

c；

（一兀尸左

1=0

=（x-M

得证。

5设f（x）eC2[a.b]且f（a）=f（b）=0,求证：

S|/（x）|<

l（^-n）™|r（x）|.

令x0=ci,Xl=b,以此为插值节点，则线性插值多项式为

AW=/（xo）

x-xY

o—A

+/U1）

a-b

Mb）

x-a

又•••/（«

）=f（切=0

厶（x）=0

插值余项为R（x）=/⑴一厶（x）=+/"

（x）（x-x°

）（x—xj•••/⑴=*/"

（X）（X-X。

）（X一XJ乂•••|（兀-兀）（—兀）|

=^U1-V

•••喇/⑴炖酣厂（绷.

6.在-4<

4上给出/（x）=的等距节点函数表，若用二次插值求e'

的近似值，要使截断误差不超过10-%问使用函数表的步长h应取多少?

若插值节点为兀十兀和兀+▼则分段二次插值多项式的插值余项为

R©

）=£

厂@）（X-r）（X-兀）（x-兀+J

\R2（x）\<

-（x-x^Xx-x.Xx-o

若截断误差不超过1（T\则

|^W|<

io-6

逅刊乜ICT5

27

/.h<

0.0065.

7.若片=2”,私4儿及戸儿.，

根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

V..=2”

a\=（e-i）4Zi

4⑷

=工（一1）丿儿

丿=0J

4（4、

=工（-1）'

•儿心

丿=0\JJ

4$4、

=工（-1）丿2f儿丿=0\JJ

=（2-1）4儿

=儿

=2"

气）》

=（E_h4（£

-l）4儿

=矿心

=y>

-2

=2‘l2

8.如果/（x）是m次多项式，记纣0）=/（兀+/0—/（紛，证明/（X）的k阶差分

Akf（x）（0<

k<

m）^m-k^多项式，并且△"

出/（Q=0（/为正整数）。

函数/（x）的Taylor展式为

其中^G（x,x+h）

又•••/⑴是次数为加的多项式•••广叫）=0

・•・A/G）=/（X+/7）—/（Q

:

.VW为加-1阶多项式

A2/W=A（A/-（x））

/.A7（x）为加一2阶多项式

依此过程递推，得&

/（x）是m—k次多项式

是常数

当/为正整数时,

A^7（x）=0

9.证明△（/；

gQ=fk\gk+弘皿

△（偽）=£

+&

+厂血

—fk+lSk+1~fkSk+LfkSk+1~fkSk

=gk+i（fk^i~fk）+fk（Sk+i-Sk）

=gM+fAsk

=fk^Sk+gk+Afk

得证

10•证明"

皿=fngn一foSo-口3

i=0k=0

证明：

由上题结论可知

fQg严Mf&

）-gk+Afk

•••丈伽

*=0

n-1=》（△（//』-&

如红I）

n-1n-1

=工'

皿）-口M

k=0k=0

*•*△（£

&

•）=fk-t-lSk+1~~fkSk

=（£

一Z>

g°

）+（厶&

2—/；

gJ+…+（£

g”-h）-foSo

rr-1"

T

••送人％=fnSn一Ago-工g阳M

k=Qk=0

ii.证明£

△‘）}=△儿-帆

n-1/r-1

证明工△'

兀=工（△）»

】-△丹）

=5-帆）+（△儿-△）'

）+…+（△儿-Gl）

=Ay;

j-Ay0

12.若f（x）=aQ+alx+--++anxn有“个不同实根…心,

0,05k<

n-2;

[n~l,k=n-l

•••/（X）有个不同实根心CE且/（X）=0。

+厲/+・•*an^X^+anX，i

・•・/（X）=alt（x-xj（x_丕）・•・（x_兀J

令©

（x）=（x_xJO_xJ・•・（X_£

）

ny*nJ

则工7六=工一7^

=1f（^）冃①©

（®

而0（x）=（x—xJ（x—xJ・・・（x—£

）+（x-xJ（x—xJ・・・（x-£

+•••+（X—xj（x—xj••・（x_兀LJ

・•・砒（®

）=（®

—不）（®

—丕）…（①一®

-J（®

—形十J…（①一兀）

乩g…川再希

打x

则…心]=工页讥

;

=1叫IV”

”X[

又迄7右；

=捫"

'

…川

0,0<

^<

/z-2;

xs、

・•・得证。

13•证明〃阶均差有下列性质：

⑴若F（x）=cf（x）,则尸氏眄,…，兀］［兀眄，…,暫］;

（2）若F（x）=/（x）+^（x）,则尸［兀心…，兀］=/［兀心…，兀］+g［x°

心…,兀］

（1）竝）…（竹-丄以-耳）…％-兀）

治宀…总卫一「牡））（—；

=0（Xj一兀）•••（©

-©

tX®

一®

+J…（9一xn）

=ySf（^）

令（®

_兀）…（形_）（®

_®

+J…（①_£

）

=C（亍）

=0（®

一兀）…（厂一®

-形+1）…（形一兀）

=<

/卜0,不,…，兀」

.•.得证。

⑵•••尸（x）=/（x）+g（x）

2）

（©

一竝）…（①-®

t）（®

-®

+J…（①-兀）

/X）+gX）

（形一X。

）…（①-®

T）（®

+J…（形

=y）

台（®

_X。

）・•・（®

—®

+i）…（①-兀）

+y）

=o（Xj一X。

）…（®

-K®

-X/+l）…（形-xn）

=/［x。

…，兀］+g［x°

…，兀］

14./（x）=x7+x4+3x+1,求尸［2。

21,…,2*及珥2。

2,...,2打。

解:

•••/（X）=X7+X4+3x+1

若齐=2字=0丄…,8

・•・/[x0,Xp--SX7]=

Hg=/（母）虫；

（母）=f\xk）

HgJ=JWH；

（xQ=fg）

0（母）=0

0（3=°

由罗尔定理可知，存在和使

0©

）=0,0©

）=0

即0（x）在［母•，无+J上有四个互异零点。

根据罗尔定理，0X0在0（。

的两个零点间至少有一个零点,

故0⑴在（x,.x,+1）内至少有三个互异零点，

依此类推，0⑴（/）在（忑,兀+J内至少有一个零点。

记为^e（xA,xA+1）使

严（勺=严（）—弘⑴⑷―4!

g（x）=0

又・・•//『（0=0

其中§

依赖于x

Rg=」（X—无）'

（x—x,+1）2

分段三次埃尔米特插值时，若节点为忑伙=0」,・・・/），设步长为即

xk=Xo+kh,k=O丄…/在小区间［xk.xk^］上f⑴（£

r（x）=—（x~xk）（x~xk^y

4!

•••|R（x）|=|/t4）«

）|U-）2（X-xk+l）2

<

£

（X7）（Xk+l-x）2|/t4）（x）|

誌[（匕子心）讦國严⑴I=护和餾严5

=_Lmax|严（x）|

384広4I

16.求一个次数不高于4次的多项式P（x）,使它满足

P（0）=P'

（0）=0,P（l）=P'

（l）=0/

（2）=0

利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

=°

，X]=1

儿=0,开=1

叫=0,“=1

11

H©

）=工兀勺（x）+工竹0丿⑴

丿=0丿=0

务⑴=（1一2丄二^）（心一兀兀0—人

=（l+2x）（x-l）2希=（1一2=）（j

=（3-2x）x2

0o（x）=x（x-l）‘

A（x）=（x-1）F

H3（x）=（3—2x）x~+（x—l）.v~=—+2x~

设P（x）=（x）+A（x-x0）2（x-）2

其中，A为待定常数

•・•P

（2）=1

P（x）=-x3+2x2+Ax2（x-1）2

.A=-

4从而P（x）=ix2（x-3）2

4

17.设/（x）=l/（l+x2），在—5<

x<

5上取"

=10,按等距节点求分段线性插值函数厶（x）,

计算各节点间中点处的厶（X）与/（X）值，并估计误差。

若xq=—5,xl0=5

则步长/?

=1,

x.=兀+仏丿=0,10

/W=—

1+X"

在小区间［兀，兀+J上，分段线性插值函数为

肛7心二也）

=（兀+1—X）

]

1+兀+「

各节点间中点处的厶（x）与f（x）的值为当x=±

4.5时,f（x）=0.0471JJx）=0.0486

当x=±

3.5时，f（x）=0.0755,厶（x）=0.0794

2.5时，f（x）=0.1379,人（x）=0.1500

1.5时，f（x）=0.3077,/,t（x）=03500

当兀=±

0.5时,f（x）=0.8000,厶⑴=0.7500

误差

niax|/W-//1W|<

Tn^x|r（^）|

-2x

（1+x2）2

24x-24疋

（1+亍『

令f"

（x）=O

得f\x）的驻点为礼=±

1和5=0

18.求/（x）=x2在［⑦切上分段线性插值函数厶（X）,并估计误差。

在区间xQ=a,xn=b、h=兀出_齐」=0丄…屮_1,

h=max/?

.

•••/W=F

・・・函数/（x）在小区间［xrxM］上分段线性插值函数为

厶（X）=-―/a）+―/Uhi）

兀一兀+】X田一兀

=+［V（忑H—X）+兀+j（X-兀）］

误差为

遷卩⑴_佃|呂喇厂（如：

f\x）=2xj\x）=2

/.max|/（x）-//r（x）|<

—

a^x<

b4

19.求f（x）=X4在S，切上分段埃尔米特插值，并估计误差。

在［a上］区间上,xQ=a,xn=b、扎=兀出一齐』=0丄…屮_1,

令力=maxh.

v/（x）=x4,/（x）=4x3

函数/（x）在区间［xrxi+l］上的分段埃尔米特插值函数为

厶⑴=（匚吗（1+2上亠他）

+（二丹+2亠）/（和）g_Xi忑一兀+】

+—叽-兀）广（兀）

忑-和

+（A~v）2^-xi+l）f\xi+l）

g-Xi

Y

=jjy（x_兀+J-（/?

4-2x-2xr.）

X4

+昔（X—\）2（4_2x+2兀+J

4x..、•>

#、

AX'

+节一（乳_兀）'

（兀_石】）

|/（x）-厶⑴I

嗚喇严5少

又-f（x）=x4

•••严）（X）=4!

=24

li4h4max——<

—obsli1616

20.给定数据表如下:

Xj

0.25

0.30

0.39

0.45

0.53

Yj

0.5000

0.5477

0.6245

0.6708

0.7280

试求三次样条插值，并满足条件：

（1）5X0.25）=1.0000,Sf（0.53）=0.6868;

（2）S"

（0.25）=S"

（0.53）=0.

/?

0=xt-xQ=0.05

=x2-xk=0.09h2=xz-x2=0.06/?

3=x4-x5=0.08

•4产兀可/产兀可

•••角=晋，〃2=|，“3=弭=1

/["

]=372=0.9540

兀一竝

/*U=0.8533

/[x2,x3]=0.7717

/[x3,x4]=0.7150

（l）S'

（x°

）=1.0000,S'

（xJ=0.6868

=—5.5200

d严6皿UL—4.3157九+代

d、=6小沁]7["

]—3.2640'

K+h2

心=6・/比宀]-丿[\小]=_2.43oo

h2+lh

dq=匸V-/卜3，兀]）=一2.1150

1

5

9

14

3

Z

?

7

由此得矩阵形式的方程组为

求解此方程组得

Mo

=5.520（?

Mi

-4.3157

M：

—

-3.2640

m3

-2.4300

k.丿

-2.1150

3丿

Mo=-2.027&

M】=—1.4643

=-1.0313,M3=—0.8070,=—0.6539

•••三次样条表达式为

MJi：

2x...-xA/..J7.2x-x.

+（兀十十+（畑十）十g,l,…

・••将代入得

-6.7593（0.30-x）3-4.8810（x-0.25）3+10.0169（0.30-+10.9662（x-0.25）

xg[0.25,0.30]-2.7117（039-x）3-1.9098（x-030）3+6.1075（039-x）+6.9544（%-0.30）

S（x）=<

XG[0.30,0.39]

-2.8647（0.45-x）3-2.2422（x-0.39）'

+10.4186（0.45-x）+10.9662（x-039）

xe[039,0.45]

-1.6817（0.53一X）'

-1.3623（x-0.45）3+&

3958（0.53-x）+9.1087（x-0.45）xg[0.45,0.53]

⑵Sg=0,Sg=0

d（）=2/f=0,=-4.3157,=-3.2640

£

=-2.4300,£

=2f：

=0

血=/打=0

由此得矩阵开工的方程组为

=M4=0

9

2—

网1

—.3157、

3宀

-2

=

\3/

、—2.4300,

0-

17

求解此方程组，得

Mo=0M=_1.8809

-0.8616,M3=-1.0304,M4=0

又•••三次样条表达式为

（A-X.）3+7+16九

M屮；

S-xM詁/x-x.心亍〒5_f）〒

将代入得

-6.2697（x-0.25）3+10（03-x）+10・9697（x—0.25）xg[0.25,0.30]

—3・4831（0・39—x）‘—l・5956（x—0・3）'

+6.1138（0.39-对+6・9518（兀一0・30）

xe[0.30.0.39]

-2.3933（0.45-x）3-2・8622（x—0.39）'

+10.4186（0.45—x）+11・1903（x—0.39）

xe[0.39,0.45]

一2・1467（0.53-x）3+&

3987（0.53-x）+9.1（x-0.45）xg[0.45,0.53]

21・若/（x）eC2[^Z?

],5Cr）是三次样条函数，证明：

O）£

[/"

W]2dx-f[S"

（兀）『dx

=[[广⑴-S"

（对dx+2（S\x）[f\x）-S\x）]2dx

（2）若于（齐）=5（齐）（/=0丄…,力）,式中片为插值节点,Ra=xQ<

xl<

--*<

xn=bt则

r（x）[rw-sww]^

=S\b）[f\b）-S@）]-S\a）[f\a）~S3]

（1）[：

[厂⑴-S"

（x）『dx

=f[/"

（x）『dx+f[S"

（x）『dx-7.^f\x）S\x）dx

（x）『dx_dx-2^S\x）[f\x）-S\x）]dx

从而有

f[厂⑴]认-f[S"

⑴]认

=f[厂⑴-SWdx+2^S\x）[fXx）-S\x）]dx

（2）fs"

（x）[厂⑴—S”（x）]dx

=fsu）d[/3-S3]

=S"

⑴[.厂（x）-SQ）]J：

[广（x）-SQ）]d[S”（x）]

（b）[/@）-S\b）]-S\a）[f\a）-S@）卜J：

S”（x）[f\x）-S\x）]dx

=S\b）[fXb）-S\b）]-S\a）[f\a）-S@）]-•广[/©

）-S\x）]dx

k=0LXk

=S@）『（b）-s\b）]-S\a）[r（a）-S3]-工S气如导）•[厂⑴-S©

）]'

曲k=0LXk

=S\b）[f\b）-S@）]_S\a）[f（a）-S'

⑷]