《概率论与数理统计》习题三答案解析Word文件下载.docx
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【解】如图P{0cx<
-—cY<
—}公式（3.2）
463
F（n，n）-F（nn-F（o,n+F（o,n
434636
nnn—n厂n厂n
=sin—0n——sin—sin—-sin0sin—+sin比sin—
434"
636
出（屁1）.
4
⑶P{0<
X<
1,0<
丫<
2}
[k（6-X-y）,0cXc2,2cyc4,
（x，y）=（0,其他.
确定常数
求P{X<
1,Yv3};
求P{X<
1.5};
求P{X+YW4}.
【解】
（1）由性质有
-be-be24
fff（x,y）dxdy=rrk（6-x-y）dydx=8k=1,
・0・2
R=-
（2）P{X<
1,Yc3}
13
-UUf（x,y）dydx
1313
=0L8k（6_x-y）dydx=8
⑶P{Xv1.5}=JJf（x,y）dxdy如图aJJf（x,y）dxdy
x£
5D1
1.54127
=fdxf-（6—x-y）dy=——.
028、”y32
⑷P{X+Y<
4}=fff（x,y）dxdy如图bJJf（x,y）dxdy
X-Y<
D2
24_x12
=[dxf-（6-X-y）dy=-.
0」283
y,
1.52
fa）
求：
（1）X与丫的联合分布密度；
（2）P{Y^X}.
题6图
（1）因X在（0,0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
I1
I——,0ex<
0.2,fx（X）=\0.2
0,其他.
所以
fY（y）」5尹小
I0,
其他.
f（x,yXY独立fxxCfYy（）
25e^y,
b,
0<
x<
0.2且ya0,其他.
（2）P（Y<
X）=fff（x,y）dxdy如图仃25e'
ydxdy
y<
D
0.2x50.25
=f0dx025eydy=Jo（-5e+5）dx
-1
=e止0.3679.
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
「（1—e"
x）（1—e'
y）,xa0,y》。
F（x，y）=\
[0,其他.
求（X，Y）的联合分布密度.
8.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
『4.8y（2-x）,0<
1,0<
y<
x,f（x，y）科0,其他.
求边缘概率密度.
-be
【解】fx（x）=J*f（x,y）dy
fx「2
_IJ4.8y（2—x）dy_J2.4x2（2-X）,0<
1,
[0,[0,其他.
fY（yf（x,y）dx
厂1.2
_!
J4.8y（2-x）dx_l2.4y（3-4y+y2）,0<
y<
=[0,"
l0，其他.
题9图
Je二Ocxcy,f（x，y）[0,其他.
fY（yHff（x,y）dx
w
X
题10图
10.设二维随机变量（X,
Y）
的概率密度为
f（X，y）=fCx2y,
10,
兰y兰1,
（1）
试确定常数C；
求边缘概率密度.
JJf（x,y）dxdy如图JJf（x,y）dxdy
D
1124
Jdxjcxgy^-cR.
21
c=一.
fx（x）=，Lcf（x,y）dy
21x2ydy
「21
—x2（1-x4）,-1<
L0,
詔8
fY（yHJf（x,y）dx
11.设随机变量（X,丫）的概率密度为
求条件概率密度fylX（yIX）,fxlY（xIy）.
y=x
O
题11图
【解】fx（x）=Jf（x,y）dy
0vxc1,
厂x
If1cy=2x,
JJdx=1+y,
fY（y）=
ff（x,y）dx=«
j1dx=1-y,
Iy
0<
yv1,
fYix（y|x）
f（x,y）
fx（x）
『y|z'
fXY（x|y^f^-
fY（y）
-^,ycxv1,
1-y
-^,-ycx<
1+y
0,
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大
的号码为Y.
（1）求X与丫的联合概率分布；
（2）X与丫是否相互独立？
（1）X与丫的联合分布律如下表
5
P{X=Xi}
3_3
一10
cj—
10
£
一10
22
CT
于W
11
疋―10
P{Y
⑵因P{X=
=1}DP{Y=3}=—
丄
6丰
丄_
P{X=1Y=3},
100
故X与丫不独立
13.设二维随机变量
（X，Y）
的联合分布律为
.X
Y
、
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
（1）:
求关于
X和关于
Y的边缘分布；
（2）
X与Y是否相互独立？
X和Y的边缘分布如下表
P{Y=yi}
0.2
0.42
0.38
P{X
=Xi}
（2）因P{X=2}[p{Y=0.4}=0.2x0.8=0.16^0.15=P（X=2,Y=0.4）,
故X与丫不独立（
14.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，丫的概率密度为
y》0,
匕e"
fY（y）=<
（1）求X和丫的联合概率密度；
试求a有实根的概率.
（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,
题14图
⑵方程a2+2Xa+Y=0有实根的条件是
也=（2X）-4Y>
P{X2>
Y}=JJf（x,y）dxdy
x23
r1J1-y/2.
=fdx[—edy
-0〕02'
=1—厉[①⑴―①（0）]
=0.1445.
15.设X和丫分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和丫相互独立，且服
从同一分布，其概率密度为
f（x）=浮，x>
1000,
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数Fz⑵=P{Z<
z}=P{y<
z}
（1）当ZWO0寸，Fz（z）=0
（2）当0<
z<
1时，（这时当x=1000时,y=l000）（如图a）
z
yz
106-beyz106
Fz（z）=JJdxdy=电dy
於Xyz
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160,202）分布.随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi（i=1,2,3,4），则Xi~N（160,202）,从而
P{min（Xi,X2,X3,X4）>
180}Xi之间独立P{Xi>
180lp{X2>
180}
P{X3>
18O}LP{X4>
=[1-P{X,<
180}]X{<
j80}P[X<
d18P）}4X[1{
180}]
「不"
80—160=1―①
LI20.
=[1_①
（1）]4=（0.158）4=0.00063.
17.设X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
P{X=k}=P（k）,k=0,1,2,…，P{Y=r}=q（r）,r=0,1,2,….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
=[1-P{X1C180}]4
i
P{Z=i}=Sp（k）q（i—k）,i=0,1,2,….
k=0
【证明】因X和丫所有可能值都是非负整数,所以
{z=i}={X+Y=i}
={X=0,Y=i}U[X=1,Y=i—1}U…U{X=i,Y=0}
于是
ii
P{Z=i}=2P{X=k，丫二i—k}X,丫相互独立sP{X=k}[P{Y=i—k}
kz0
=送p（k）q（i-k）
18.设X,Y是相互独立的随机变量，
数为2n,P的二项分布.
【证明】方法一：
X+Y可能取值为
它们都服从参数为n,p的二项分布证明Z=X+Y服从参
0,1，2，…，2n.
k
P{X+Y=k}=2：
P{X=i,Y=k—i}
iz0
p（X=i）[P{Y=k-i}
（1）P{X=2|Y=2}=P{X=2,Y=2}
P{Y=2}
（2）P{V=i}=P{max（X,Y）=i}=P{X=i,Y<
i}+P{X<
i,Y=i}
i4i
=SP{X=i,Y=k}+2：
P{X=k，丫=i},i=0,123,4,5
kz0k=0
⑶P{U=i}=P{min（X,Y）=i}
12345678
0.020.060.130.190.240.190.120.05
【解】因（X,丫）的联合概率密度为
（1）P{Y>
0|Y>
X}=P"
AOIX}
P{Y>
X}
JJf（x,y）db
y^0
_y泮
JJf（x,y）db
y>
n_R1
fdOI"
—rdr_"
'
0tR
5nR1
r卯一rdr
3/83.
172=4;
⑵P{M》0}=P{max（X,Y）>
0}=1-P{max（X,Y）<
0}
=1-P{X<
0,Y<
0}=1-JJf（x,y）db=1-—=—.
44
y0
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，丫）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？
（X,Y）关于X的边缘密度函数为
【解】因P{Y=yj}=Pj=送P{X=人,Y=yj},
i#
故P{Y=yi}=P{X=xi,Y=yi}+P{X=X2,Y=yi},
而X与丫独立，故p{x=Xi}LP{Y=yj}=P{X
从而P{X-x^x-=P{X=n,Y=%}=—
624
111
即：
P{X=X1}=—/—=—.
2464
又P{X=为}=P{X=心丫=yd+P{X=捲,Y
=Xi，Y=yi},
=$2}+P{X=Xi,Y=ys},
丄+!
+p{x二为丫十},
248I，皿
_1
又2P{Y=yj}=1，故P{Y=ys}=1-一j土c
同理p{x=x2}=4.
从而
P{X=X2,Y=y3}=P{Y=y3}-P{X=X1,Y=y3}=3-12=-
y1
y2
y3
P{X=X}=P
X1
24
12
X2
八2
P{Y=yj}=Pj
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为XPO）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率
为P（0<
p<
1），且中途下车与否相互独立，以丫表示在中途下车的人数，求：
（1）在发
车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.
（1）P{Y=m|X=n}=cmpm（1-p）nq,O<
m<
n,n=0,1,2,川.
⑵P{X=n,Y=m}=P{X=n}LIP{Y=m|X=n}
=cmpm（1-pr』阳汀，n<
n,n=0,1,2,••・.n!
24.设随机变量X和丫独立，其中X的概率分布为X~
12］,而丫的概率密度为f（y）,
030.7丿
求随机变量U=X+Y的概率密度g（u）.
U=X+Y的分布函数为
【解】设F（y）是丫的分布函数，则由全概率公式，知
G（u）=P{X+Y<
u}=0.3P{X+丫<
u|X=1}+0.7P{X+丫<
u|X=2}
=0.3P{Y<
u-1|X=1}+0.7P{Y<
u—2|X=2}
由于X和丫独立，可见
G（u）=0.3P{Y<
u—1}+0.7P{Y<
u-2}
=0.3F（u—1）+0.7F（u—2）.
由此，得U的概率密度为
g（u）=G'
（u）=0.3F'
（u-1）+0.7F'
（u-2）
=0.3f（u-1）+0.7f（u-2）.
25.25.设随机变量X与丫相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，求P{max{X,Y}W1}.
解：
因为随即变量服从［0,3］上的均匀分布，于是有
I—,0<
3,0<
3,
f（x,y）=（9'
y
10,xc0,y<
0,x>
3,y>
3.
推得
P{max{X,Y}<
1}=[.
9
由E（X）=-0.2，可得
+c=-0.1.
得a+b=0.3.
解以上关于a,b,c的三个方程得
a=02b=0.1,c=0.1.
（2）Z的可能取值为-2,-1,0,1,2,
P{Z=—2}=P{X=—1,Y=-1}=0.2,
P{Z=—1}=P{X=—1,Y=0}+P{X=0,Y=-1}=0.1,
P{Z=0}=P{X=—1,Y=1}+P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=-1}=0.3,
P{Z=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.3,
P{Z=2}=P{X=1,Y=1}=0.1,
即Z的概率分布为
P{X=Z}=P{Y=0}=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.
20.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点（X,Y）在屏幕上服从均匀分布
（1）求P{Y>
0I丫>
X};
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