直线和圆弧的生成算法.docx
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直线和圆弧的生成算法
第3章直线和圆弧的生成算法
3.1 直线图形的生成算法
数学上的直线是没有宽度、由无数个点构成的集合，显然，光栅显示器只能近地似显示直线。
当我们对直线进行光栅化时，需要在显示器有限个像素中，确定最佳逼近该直线的一组像素，并且按扫描线顺序，对这些像素进行写操作，这个过程称为用显示器绘制直线或直线的扫描转换。
由于在一个图形中，可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能地快。
本节我们介绍一个像素宽直线绘制的三个常用算法：
数值微分法（DDA）、中点画线法和Bresenham算法。
3.1.1逐点比较法
3.1.2数值微分（DDA）法
设过端点P0（x0 ,y0）、P1（x1 ,y1）的直线段为L（P0 ,P1），则直线段L的斜率
L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1（个像素），用L的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取像素点（x,round（y））作为当前点的坐标。
因为：
yi+1 = kxi+1+b
= k1xi+b+k∆x
= yi+k∆x
所以，当∆x=1; yi+1 = yi+k。
也就是说，当x每递增1，y递增k（即直线斜率）。
根据这个原理，我们可以写出DDA（DigitalDifferentialAnalyzer）画线算法程序。
DDA画线算法程序：
voidDDALine（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）
{intx；
floatdx,dy,y,k；
dx=x1-x0；dy=y1-y0；
k=dy/dx,；y=y0；
for（x=x0；x {drawpixel（x,int（y+0.5）,color）;
y=y+k;
}
}
注意：
我们这里用整型变量color表示像素的颜色和灰度。
举例：
用DDA方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。
x
int（y+0.5）
y+0.5
0
0
0
1
0
0.4+0.5
2
1
0.8+0.5
3
1
1.2+0.5
4
2
1.6+0.5
图3.1.1直线段的扫描转换
注意：
上述分析的算法仅适用于|k| ≤1的情形。
在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。
当 |k| > 1时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加1/k。
在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对y进行四舍五入后取整，这使得它不利于硬件实现。
动画演示：
数值微分画线算法（DDA）
3.1.3中点画线法
假定直线斜率k在0~1之间，当前像素点为（xp,yp），则下一个像素点有两种可选择点P1（xp+1,yp）或P2（xp+1,yp+1）。
若P1与P2的中点（xp+1,yp+0.5）称为M，Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。
当M在Q的下方时，则取P2应为下一个像素点；当M在Q的上方时，则取P1为下一个像素点。
这就是中点画线法的基本原理。
图3.1.2中点画线法每步迭代涉及的像素和中点示意图
下面讨论中点画线法的实现。
过点（x0,y0）、（x1, y1）的直线段L的方程式为F（x, y）=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q点的上方还是下方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可。
为此，我们构造判别式：
d=F（M）=F（xp+1, yp+0.5）=a（xp+1）+b（yp+0.5）+c
当d<0时，M在L（Q点）下方，取P2为下一个像素；
当d>0时，M在L（Q点）上方，取P1为下一个像素；
当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个像素；
注意到d是xp, yp的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率。
若当前像素处于d≥0情况，则取正右方像素P1（xp+1,yp）,要判下一个像素位置，应计算 d1=F（xp+2, yp+0.5）=a（xp+2）+b（yp+0.5）=d+a，增量为a。
若d<0时，则取右上方像素P2（xp+1, yp+1）。
要判断再下一像素，则要计算d2= F（xp+2, yp+1.5）=a（xp+2）+b（yp+1.5）+c=d+a+b ，增量为a＋b。
画线从（x0, y0）开始，d的初值 d0=F（x0+1, y0+0.5）=F（x0, y0）+a+0.5b，因 F（x0, y0）=0，所以d0=a+0.5b。
由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。
因此，我们可以用2d代替d来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法程序。
中点画线算法程序：
voidMidpointLine（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）
{inta,b,d1,d2,d,x,y；
a=y0-y1；b=x1-x0；d=2*a+b；
d1=2*a；d2=2*（a+b）；
x=x0；y=y0；
drawpixel（x,y,color）;
while（x {if（d<0） {x++；y++；d+=d2;}
else {x++；d+=d1;}
drawpixel（x,y,color）;
}/*while*/
}/*midPointLine*/
举例：
用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。
a=y0-y1=-2;b=x1-x0=5;d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*（a+b）=6,
x
y
d
0
0
1
1
0
-3
2
1
3
3
1
-1
4
2
5
5
2
15
图3.1.3中点画线法
问题1：
若上述算法往下取二步（i=2），则算法和像素的取法将变成怎样？
问题2：
与DDA法相比，中点法的优点是什么？
动画演示：
中点画线算法
3.1.4Bresenham算法
Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。
仍然假定直线斜率在0~1之间，该方法类似于中点法，由一个误差项符号决定下一个像素点。
算法原理如下：
过各行各列像素中心构造一组虚拟网格线。
按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列像素中与此交点最近的像素。
该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求像素。
如图2.1.4所示，设直线方程为yi+1=yi+k（xi+1-xi）+k。
假设列坐标像素已经确定为xi，其行坐标为yi。
那么下一个像素的列坐标为xi＋1，而行坐标要么为yi，要么递增1为yi＋1。
是否增1取决于误差项d的值。
误差项d的初值d0＝0，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。
一旦 d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。
当d≥0.5时，直线与垂线x=xi＋1交点最接近于当前像素（xi，yi）的右上方像素（xi＋1，yi＋1）；而当d<0.5时，更接近于右方像素（xi＋1，yi）。
为方便计算，令e＝d－0.5，e的初值为－0.5，增量为k。
当e≥0时，取当前像素（xi，yi）的右上方像素（xi＋1，yi＋1）；而当e<0时，取（xi，yi）右方像素（xi＋1，yi）。
图3.1.4Bresenham算法所用误差项的几何含义
○Bresenham画线算法程序：
voidBresenhamline（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）
{intx,y,dx,dy；
floatk,e;
dx=x1-x0；dy=y1-y0；k=dy/dx；
e=-0.5；x=x0,；y=y0；
for（i=0；i {drawpixel（x,y,color）;
x=x+1；e=e+k;
if（e0）
{y++；e=e-1;}
}
}
举例：
用Bresenham方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。
x
y
e
0
0
-0.5
1
0
-0.1
2
1
-0.7
3
1
-0.3
4
2
-0.9
5
2
-0.5
图3.1.5Bresenham算法
上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。
可以改用整数以避免除法。
由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换：
2*e*dx。
改进的Bresenham画线算法程序：
voidInterBresenhamline（intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor）
{dx=x1-x0,；dy=y1-y0,；e=-dx;
x=x0；y=y0;
for（i=0;i {drawpixel（x,y,color）;
x++；e=e+2*dy;
if（e0）{y++;e=e-2*dx;}
}
}
动画演示：
Bresenham画线算法：
3.2 圆弧的扫描转换算法
这一节我们来讨论圆弧的扫描转换算法。
3.2.1圆的特征
圆被定义为到给定中心位置（xc,yc）距离为r的点集。
圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。
若已知圆弧上一点（x,y）,可以得到其关于四条对称轴的其它7个点，这种性质称为圆的八对称性。
因此，只要扫描转换八分之一圆弧，就可以求出整个圆弧的像素集。
显示圆弧上的八个对称点的算法：
voidCirclePoints（intx,inty,intcolor）
{drawpixel（x,y,color）;drawpixel（y,x,color）;
drawpixel（-x,y,color）;drawpixel（y,-x,color）;
drawpixel（x,-y,color）;drawpixel（-y,x,color）;
drawpixel（-x,-y,color）;drawpixel（-y,-x,color）;
}
3.2.2中点画圆法
如果我们构造函数 F（x,y）=x2+y2-R2，则对于圆上的点有F（x,y）=0，对于圆外的点有F（x,y）>0，对于圆内的点F（x,y）<0。
与中点画线法一样，构造判别式：
d=F（M）=F（xp+1,yp-0.5）=（xp+1）2+（yp-0.5）2-R2
若 d<0，则应取P1为下一像素，而且再下一像素的判别式为：
d=F（xp+2,yp-0.5）=（xp+2）2+（yp-0.5）2-R2=d+2xp+3
若d≥0，则应取P2为下一像素，而且下一像素的判别式为：
d=F（xp+2,yp-1.5）=（xp+2）2+（yp-1.5）2-R2=d+2（xp-yp）+5
我们这里讨论的第一个像素是（0,R），判别式d的初始值为：
d0=F（1,R-0.5）=1.25-R
图3.2.1当前像素与下一像素的候选者
中点画圆算法：
MidPointCircle（in
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