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（9.1.5）
该随机过程平稳性条件也将在第二节中介绍。
二、平稳性检验的图示判断
给岀一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
一个平稳的时间序列（图9.1.1（a））在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程：
而非平稳序列（图9.1.1（b））则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。
图9・1平稳时间序列与非平稳时间序列图
然而，这种直观的图示也常岀现误导，因此需要进行进一步的判别。
通常的做法是检验样本自相关函数及其图形。
首先左义随机时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction,ACF）如下：
pk=仏（9.1.6）
Zo
分子是序列滞后k期的协方差，分母是方差，因此自相关函数是关于滞后期k的递减函数。
由于实际上我们对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，只能计算样本自相关函
数（Sampleautocorrelationfunction）。
一个时间序列的样本自相关函数怎义为：
为（X厂科X*-乂）
rk=—,k=l,2,3,..・（9.1.7）
r-1
易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。
但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。
图9.1.2给出了图9.1.1中平稳序列（a）与非平稳序列（b）的样本自相
图9.1.2平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
确左样本自相关函数某一数值几是否足够接近于0是非常有用的，因为它可检验对应的自相关函数的真值是否为0的假设。
巴特雷特（Bartlett）曾证明，如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的k>
0,样本自相关系数近似地服从以0为均值，1/n为方差的正态分布，其中n为样本容量。
也可检验对所有k>
0,自相关系数都为0的联合假设，这可通过如下0“统讣量进行：
（9.1.8）
该统计呈:
近似地服从自由度为m的才分布@为滞后期长度）。
因此，如果计算的Q值大于
显著性水平为Q的临界值，则有1-&
的把握拒绝所有（k>
0）同时为0的假设。
例9.1.3表9.1.1序列Randoml是通过一随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随机时间序列，容易验证该样本序列的均值为0,方差为0.0789。
从图形看（图9.1.3）,它在英样本均值0附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到0,随后在0附近波动且逐渐收敛于0。
由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。
根据Bartlett曾表明的，该序列的自相关系数应遵从以0为均值，以1/19为方差的正态分布，因此任一久（k>
0）的95%的置信区间都将是［-0.4497,0.4497］。
可以看出k>
时，耳的值确实落在了该区间内，因此可以接受<
k>
0）为0的假设。
同样地，从0“统计量的计算值看,滞后17期的计算值为26.38,未超过5%显著性水平的临界值27.58,因此可以接受所有的自相关系数/\（k>
0）都为0的假设。
因此，该随机过程是一个平稳过程。
序列Random2是以（9.1.2）式生成的一随机游走时间序列样本（图9.1.4）,英中第0项取值为0,随机项是由Randoml表示的白噪声。
图形表示出该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0,但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示，打二0.48,落在了区间［-0.4497,0.4497］之外，因此在概
的显著性水平上拒绝Q的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
表9.1.1一个纯随机序列与随机游走序列的检验
序号
Randoml
自相关系数
rk（k二0,1,...17）
Qm
Random2
rk（k二0,L...17）
為
1
-0.031
1.000
2
0.188
-0.051
0.059
0.157
0.480
5.116
3
0.108
-0.393
3.679
0.264
0.018
5.123
4
-0.455
-0.147
4.216
-0.191
-0.069
5.241
5
-0.426
0.280
6.300
-0.616
0.028
5.261
6
0.387
0.187
7.297
-0.229
-0・016
5.269
7
-0.156
-0.363
11.332
-0.385
-0.219
6.745
8
0.204
-0.148
12.058
-0.181
-0.063
6.876
9
-0.340
0.315
15.646
-0.521
0.126
7.454
10
0.194
17.153
-0.364
0.024
7.477
11
0.228
-0.139
18.010
-0.136
-0.249
10.229
12
-0.315
-0.297
22.414
-0.451
-0.404
18.389
13
-0.377
0.034
22.481
-0.828
-0.284
22.994
14
-0.056
0.165
24.288
-0.884
-0.088
23.514
15
0.478
-0.105
25.162
-0.406
-0.066
23.866
16
0.244
-0.094
26.036
-0.162
0.037
24.004
17
-0.215
0.039
26.240
0.105
25.483
18
0.141
0.027
26.381
-0.236
0.093
27.198
19
0.236
0.000
（a）（b）
图9.1.3纯随机序列Raondoml样本图及其样本自相关系数图
图9・1.4随机游走序列Raondom2样本图及其样本自相关系数图
例9.1.4检验中国支岀法GDP时间序列的平稳性。
表9.1.2是1978-2000年间中国支出法GDP时间序列。
其图形（图9.1.5）表现出了一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步判断是非平稳的。
而且从它们的样本自相关系数的变化看，也是缓慢下降的，再次表明它们的非平稳性。
从滞
后21期的0“统计量看，计算值为164.23,超过了显著性水平为5%时的临界值32.67。
因
此，进一步否泄了该时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设。
这样，我们得岀的结论是1978-2000年间中国GDP时间序列是非平稳序列，
表9.1.21978-2000年中国支出法GDP（单位：
亿元）
年份
GDP
1978
3605.6
1986
10132.8
1994
46690.7
1979
4073.9
1987
11784
1995
58510.5
1980
4551.3
1988
14704
1996
68330.4
1981
4901.4
1989
16466
1997
74894.2
1982
5489.2
1990
18319.5
1998
79003.3
1983
6076.3
1991
21280.4
1999
82673.1
1984
7164.4
1992
25863.6
2000
89112.5
1985
8792.1
1993
34500.6
图9.1.51978-2000年中国GDP时间序列及其样本自相关图
例9.1.5检验§
2.5中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。
在本章开始时已指岀，对时间序列运用传统的回归技术进行回归，是建立在时间序列平稳性这一基本假左基础之上的。
因此，任建立关于人均居民消费与人均国内生产总值的回归方程之前，应对该两序列的平稳性进行检验。
从图形（图9.1.6）上容易得出人均居民消费（C0NSP）与人均国内生产总值（GDPP）是非平稳的这一结论。
从滞后14期的0“统讣量看，该两序列的统计量计算值均为57.18,超过了显著性水平为5%时的临界值23.68,否立了它们的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设，再次表明它们的非平稳性。
就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。
不过，我们将在第三节中看到，如果两个非平稳时间序列是协整的,则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是协整的。
图9.1.61978^2000中国居民人均消费与人均GDP时间序列及其样本自相关图
四、平稳性的单位根检验
对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统讣量进行统讣检验则是更为准确与重要的。
单位根检验（unitroottest）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。
1、DF检验
我们已知道，随机游走序列
X,=X,_}+“（9.1.2）
是非平稳的，英中丛是白噪声。
而该序列可看成是随机模型
X,=pXT+//,（9.1.9）
中参数p=l时的情形。
也就是说，我们对（9.1.9）式做回归，如果确实发现p=l,则我们就说随机变量有一个单位根。
显然，一个有单位根的时间序列就是随机游走序列，而随机游疋序列是非平稳的。
因此，要判断某时间序列是否是平稳的，可通过（9.1.9）式判断它是否有单位根。
这就是时间序列平稳性的单根检验。
（9.1.9）式可变成差分形式
zXX,=（p-l）X,.+Li.
'
"
八（9.1.10）
检验（9.1.9）式是否存在单位根p=L也可通过（9.1.10）式判断是否有J=0o
一般地，检验一个时间序列的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型
Xt=a+pX,_x+//,（9.1.11）
中的参数。
是否小于1，或者说检验英等价变形式
AX,=a+^X,_{+//,（9.1.12）
中的参数d是否小于0来完成。
在第二节中我们将i正明，（9.1.11）式中的参数p大于或等于1时，时间序列是非平稳的，对应于（9.1.12）式，则是5大于或等于0。
因此，针对（9.1.12）式，是在备择假设
:
5<
0下检验零假设弘:
这可通过OLS法下的t检验完成。
然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下I统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t检验无法使用。
迪克（Dicky）和富勒（Fuller）于1976年提岀了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为!
•统计量）,即DF分布（见表9.1.3）。
因此,可通过OLS法估计（9.1.12）式，并计算t统汁量的值，与DF分布表中给左显著性水平下的临界值比较。
如果t统计量的值小于临界值（这意味着5足够地小），则拒绝零假设5=0,认为时间序列不存在单位根，是平稳的。
表9.1.3DF分布临界值表
样本容量
显著性水平
25
50
100
500
OC
t分布临界值
（n=*）
0.01
-3.75
-3.58
-3.51
-3.44
-3.43
-2・33
0.05
3.00
-2・93
-2.89
-2.87
-2.86
-1.65
0.10
2.63
-2・60
-2・58
-2・57
-2.57
-1.28
2、ADF检验
在上述使用（9.1.12）式对时间序列进行平稳性检验中，实际上假左了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程（AR
（1））生成的。
但在实际检验中，时间序列可能是由更髙阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现岀随机误差项岀现自相关（autocorrelation）,导致DF检验无效。
另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。
为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充,形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）检验，ADF检验是通过下面三个模型完成的：
模型1:
（9.1.13）
模型2：
/-I
（9.1.14）
模型3：
=a+pt+一+6
（9.1.15）
1-1
模型3中的（是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。
三个模型的虚拟假设都是Ho：
J=0,即存在一单位根。
模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。
实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。
何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时检验停止。
否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。
检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3进行检验时，有各自相应的临界值表。
表9.1.4给出了三个模型所使用的ADF分布临界值表。
表9丄4不同模型使用的ADF分布临界值表
模型
统计fit
样木容虽
10.01
0.025
]0.05
■2・66
-2.26
-1.95
-1.60
Q
-2.62
-2.25
-1.61
-2.60
-2.24
250
-2.58
-2.23
>
Tt
-3・75
-3・33
-3・00
-3・58
-3・22
-2.93
-3・17
-3・46
-3.14
-2.88
-3・44
-3・13
-3・43
-3・12
J
3.41
2.97
2.61
2.20
a
3.28
2.89
2.56
2.18
3.22
2.86
2.54
2.17
3.19
2.84
2.53
2.16
3.18
2.83
2.52
T.
-4.38
-3・95
-3.60
-3・24
-4.15
-3・80
-3・50
-3・18
-4.01
-3・73
-3・45
-3.15
-3.99
-3.69
-3・43
-3・98
-3.68
-3.42
-3.13
-3・96
-3・66
-3.41
-3.12
ta
4.05
3.59
3.20
2.77
3.87
3.47
3.14
2.75
3.78
3.42
3.11
2.73
3.74
3.39
3.09
2.73
3.72
3.38
3.08
2.72
3.71
2.72
T/j
3.25
2.85
2.39
P
3.60
2.81
2.38
3.53
2.79
3.49
3.12
3.48
2.78
3.46
一个简单的检验是同时估讣岀上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设J=0o只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的。
当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。
这里所谓模型适当的形式就是在每个模型中选取适当的滞后差分项，以使模型的残差项是一个白噪声（主要保证不存在自相关）。
例9丄6检验1978-2000年间中国支出法GDP时间序列的平稳性。
经过偿试，模型3取了2阶滞后：
△GDR=-1011.33+229.27T+0.0093GDPt_}+1.50△GDP--1.01△GDP—
（-1.26）（1.91）（0.31）（8.94）（-4.95）
通过拉格朗日乘数统il鱼对随机误差项的自相关性进行检验，LM（l）=0.92,LM
（2）=4.16,可见不存在自相关性，因此该模型的设立是正确的。
从GDP-的参数值看，英t统汁量的绝对值小于临界值，不能拒绝存在单位根的零假
设。
同时，由于时间T的t统计量也小于AFD分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设。
需进一步检验模型2。
经试验，模型2中滞后项取2阶：
AGDP,=357.45+0.057GDP-+1.65AGDP口一1」5AG£
）P,_2
（-0.90）（3.38）（10.40）（-5.63）
LM
（1）=0.57LM
（2）=2.85
由于模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。
从GDP（t-1）的参数值看，其t统讣量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。
同时，由于常数项的［统计量也小于ADF布表中的临界值，因此不能拒绝不存常数项的零假设。
需进一步检验模型1。
经试验，模型1中滞后项取2阶：
AGDP,=0.063GDP,_{+1.701^GDP,_X-1.194^GDP,_2
（4.15）（11.46）（-6.05）
LM
（1）=0」7LM
（2）=2.67
由于模型残差不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。
从GDPPC（t-1）的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。
至此，可断能中国支出法GDP时间序列是非平稳的。
例9丄7检验§
2.5中关于人均居民消费与人均国
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