高中数学 131《正弦函数的图像与性质》教案6 新人教B版必修4文档格式.docx

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为学生认识正弦型函数奠定基础

概念形成及应用举例

通过观察、考虑观缆车，引出振幅、周期、频率、初相的概念。

在函数中，点P旋转一周所需要的时间，叫做点P的转动周期。

在1秒内，点P转动的周数，叫做转动的频率。

与轴正方向的夹角叫做初相。

例1画出函数y=2sinxx∈R；

y=sinxx∈R的图象（简图）

解：

画简图，我们用“五点法”

∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π

∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表：

x

0

π

2π

sinx

1

-1

2sinx

2

-2

-

作图：

利用这类函数的周期性，我们把上面的简图向左、向右连续平移就可以得出y＝2sinx，x∈R，及y＝sinx，x∈R。

的简图

（1）y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］

图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得（横坐标不变）

（2）y＝sinx，x∈R的值域是［－，］

图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得（横坐标不变）

一般地，函数的值域是最大值是，最小值是，由此可知，的大小，反映曲线波动幅度的大小。

因此也称为振幅。

引导,观察,启发：

与y=sinx的图象作比较，结论：

1．y=Asinx，x∈R（A>

0且A≠1）的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长（A>

1）或缩短（0<

A<

1）到原来的A倍得到的

2．它的值域[－A,A]，最大值是A,最小值是－A

3．若A<

0可先作y=－Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折

称为振幅，这一变换称为振幅变换

例2画出函数

y＝sin（x＋），x∈R，y＝sin（x－），x∈R的简图

列表

x+

2

sin（x+）

1

–1

描点画图：

X

x－

sin（x–）

（1）函数y＝sin（x＋），x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到

（2）函数y＝sin（x－），x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到

一般地，函数y＝sin（x＋），x∈R（其中≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平行移动｜｜个单位长度而得到（用平移法注意讲清方向：

“加左”“减右”）

y＝sin（x＋）与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换

例3画出函数y=sin2xx∈R；

解：

函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝＝π

我们先画在［0，π］上的简图,在[0,π]上作图,列表：

2x

y=sin2x

-1

函数y＝sinx，x∈R的周期T＝

＝4π

我们画［0，4π］上的简图，列表：

3π

4π

sin

（1）函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到的

（2）函数y＝sin，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到

引导,观察启发:

与y=sinx的图象作比较

1．函数y=sinωx,x∈R（ω>

0且ω≠1）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（ω>

1）或伸长（0<

ω<

1）到原来的倍（纵坐标不变）

2．若ω<

0则可用诱导公式将符号“提出”再作图

ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换

例4画出函数y＝3sin（2x＋），x∈R的简图

（五点法）由T＝，得T＝π列表：

–

2x+

3sin（2x+

3

–3

这种曲线也可由图象变换得到：

即：

y＝sinxy＝sin（x＋）

y＝sin（2x＋）

一般地，函数y＝Asin（ωx＋），x∈R（其中A＞0，ω＞0）的图象，可以看作用下面的方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左（当＞0时）或向右（当＜0时）平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）

另外，注意一些物理量的概念:

A：

称为振幅；

T＝：

称为周期；

f＝：

称为频率；

ωx＋：

称为相位x＝0时的相位，称为初相

评述：

由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换

途径一：

先平移变换再周期变换（伸缩变换）

先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0）平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得y＝sin（ωx＋）的图象

途径二：

先周期变换（伸缩变换）再平移变换

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0）,再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0）平移个单位，便得y＝sin（ωx＋）的图象

课堂练习：

1若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin（x＋），则原来的函数表达式为（）

Ay＝sin（x＋）By＝sin（x＋）

Cy＝sin（x－）Dy＝sin（x＋）－

答案：

A

2函数y＝3sin（2x＋）的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到（）答案：

B

A向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍

B向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍

C向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍

D向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍

3.已知函数y＝Asin（ωx＋），在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为（）

Ay＝2sin（3x－）By＝2sin（3x＋）

Cy＝2sin（＋）Dy＝2sin（－）

解析：

由题设可知，所求函数的图象如图所示，点（，2）和点（，－2）都是图象上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以应有：

解得

答案：

由y＝Asin（ωx＋）的图象求其函数式：

一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、不加限制（如A、ω的正负，角的范围等），那么所求的函数式应有无数多个不同的形式（这是由于所求函数是周期函数所致），因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中

小结平移法过程：

1.教师演示观缆车旋转过程，指导学生认识和感受。

2.教师提问：

通过分析，对观缆车的旋转有什么影响？

3.学生回答。

4.教师引导归纳。

函数y＝Asin（ωx＋φ），其中表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；

往复一次所需的时间，称为这个振动的周期；

单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；

称为相位；

时的相位φ称为初相。

5.学生在黑板上利用“五点法”画图。

教师提问：

y=2sinxx∈R和y=sinxx∈R的图象与的图象间的关系怎样？

学生回答：

一般地

y=Asinx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？

y=Asinx，x∈R（A>

学生在黑板上利用“五点法”画图。

y＝sin（x＋），和y＝sin（x－）的图象与的图象间的关系怎样？

y＝sin（x＋）的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？

y=sin2x和y=sinx的图象与的图象间的关系怎样？

（1）函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到的

y=sinωx的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？

函数y=sinωx,x∈R（ω>

y＝3sin（2x＋），的图象与的图象间的关系怎样？

由y＝sinx左移个单位，得到y＝sin（x＋）的图象，纵坐标不变，横坐标变为倍，得到y＝sin（2x＋）的图象，纵坐标变为3倍，横坐标不变，得到的图象。

一般地y＝Asin（ωx＋）的图象与y＝sinx的图象间具有怎样的关系呢？

学生讨论并回答

学生自己完成。

1.要求学生通过实例，将问题转化为数学问题，引出数学概念，培养学生数学来源于实践又指导实践的辨证唯物主义观点及勇于探索的创新精神。

2.通过作图，使学生加强对“五点”法的理解。

3.观察图象间的关系，通过对比，探求有关性质以及图象间的变换。

4.鼓励学生大胆猜想，使学生将直观问题抽象化，揭示本质，培养学生思维的深刻性。

5.培养学生由特殊到一般的解决问题方法，以及归纳概括的能力。

巩固本节课所学习内容

布置作业

作业：

P.49.练习A1.2.3.4.P50.练习B.1.2.3.4.5

复习回顾

2019-2020年高中数学1.3.1《正弦函数的图像与性质》

（1）教案新人教A版必修4

一、教学目标：

1．知识目标：

正弦函数的图象

2．能力目标：

（1）会用单位圆中的正弦线准确地画出正弦函数的图象

（2）会用五点法画出正弦函数的简图

3．情感目标：

发展学生的数形结合思想，使学生感受动与静的辩证关系

二、教学重点、难点：

重点：

用五点法画正弦曲线

难点：

利用单位圆中的正弦线画正弦曲线

三、教学方法：

借助较先进的教学手段引导学生理解利用单位圆中的有向线段表示三角函数值的办法，画出正弦曲线。

以讲授法为主。

四、教学过程：

复

习

引

入

复习前面所学的正弦函数的对应法则、定义域、正弦线，诱导公式一等内容。

正弦函数的对应法则、定义域、正弦线，诱导公式一分别是什么？

正弦函数的对应法则是；

定义域是R；

正弦线即把正弦值几何化；

诱导公式一是

教师点评：

只有明白以上的基本知识，才能为后续的学习提供条件。

温故知新

图

象

的

形

成

1．如何画出正弦函数的图象

2．学生比较所画图象

3．用正弦线作图象

4．用五点法画正弦函数的简图

1．教师提问：

初中学习过的画函数的基本方法是什么？

你能否使用该方法画出图象

学生作图：

教师在此过程中引导学生在列表的过程中比较以度为单位和以弧度为单位哪一种更简洁，进而描点、连线。

该过程中要适时的指点学生并加强学生与学生之间的和讨论和交流。

2．学生相互比较所画的图象，因各自所画图象不尽相同，故产生疑问

教师提出问题：

谁画的图象最准确？

怎样才能使所画图象更准确？

有没有更好的方法？

3．第一步：

列表，首先在单位圆中画出正弦线．在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成12等份，过圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于角，，,…，2π的正弦线（这等价于描点法中的列表）．

第二步：

描点。

我们把x轴上从0到2π这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点．

第三步：

连线。

用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．

因为所以正弦函数在，，时的图象与的形状完全一样，只是位置不同，因此我们把y=sinx，x∈[0，2π]的图象沿x轴平移，就可以得到y=sinx，的图象。

4．教师提问：

观察图象，你认为在x∈[0，2π]这一区间上，其关键作用的点有几个，分别是什么？

这五个点分别是

你以后再画正弦函数图象会采取什么办法？

画出以上的五点，在用光滑的曲线连结即可。

教师总结：

以上方法称为“五点法”，是最常用的画正弦函数图象的方法。

1．复习初中所学的描点作图法，进而引出如何才能更准确地画出正弦函数图象的问题。

2．交流、置疑

3．准确地画出正弦函数在上的图象，但是此方法比较耗时，不太实用。

4．让学生在体验、比较各种方法之后，得出“五点法”

是常见、易用的方法，发展学生归纳概括的能力

应

用

举

例

例1．用“五点法”作函数，在上的简图

学生板演，教师对学生在解题思路和规范性方面进行指导。

让学生巩固“五点法”，记住五点的坐标。

归

纳

小

结

知识：

正弦函数图象的画法

方法：

“五点法”作图

让学生谈一谈本节课的收获并进行反思

教师归纳

关注学生自主体验，反思和发表本节课的体验和收获

布

置

作

业

层次一：

练习A的1、2

层次二：

练习B的1、2

作业分两个层次：

层次一要求所有的学生都要完成；

层次二要求学有余力的学生完成

通过分层作业要求学生巩固本节课所学内容