算法分析与设计课程设计报告Word文件下载.docx
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根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
给定金额n以及1，2,5分硬币，求找n的最少硬币数。
对于大于1分的找零理所当然可以找零1分，大于2分和5分的找零与此类似，那么找零时就有三种选择，即找零后剩余金额为n-1，n-2，n-5，这三种选择总的找零数最少的方案即为所求解的方案。
显然，最终的找零方案与执行当前选择后剩余的金额的找零相关，即金额n的最优找零方案包含了金额n-1，n-2，n-5的最优找零方案，于是可得如下状态转移方程：
具体的求解过程：
初始化F
（1）=1,F
（2）,F（5）=1
F
（1）
1
F
（2）
F（3）
min{F
（2）+1,F
（1）+1}=2
F（4）
min{F
（2）+1,F（3）+1}=2
F（5）
F（6）
min{F
（1）+1,F（4）+1,F
（1）+1}=2
…
F（n）
min{F（n-1）+1,F（n-2）+1,F（n-5）+1}
算法设计思路及求解过程
思路：
题目所描述的整个过程是“并行的”，而且所有人到达各自楼层的用时只与最晚到达的人有关。
由于去各个楼层的具体数目对结果没有影响，所以可以将“电梯还剩i个人”表述成“电梯里面的乘客还要去i个楼层”。
电梯从第1层开始向上运行，任意时刻的状态都可以由“电梯当前所处楼层”和“电梯里面都有哪些乘客确定”，初始状态为“电梯在1楼”和“所有乘客都在电梯上”。
在电梯运行的每一个阶段都需要作出相应的决策，哪些乘客乘坐电梯到目的层，哪些乘客选择爬楼梯到达目的地。
决策后，电梯里面的乘客被分成两部分：
乘客留在电梯里面继续上升；
乘客离开电梯走楼梯到达。
求当前状态下电梯里面的乘客所有人到达目的所需要的最短时间，只需要找到一个最优决策，使得下电梯的乘客和留在电梯中的乘客最晚到达时间越短越好，这个最短时间就是当前状态下的最优解。
如果假设决策后留在电梯里面的乘客到达各自楼层所需要的时间为T1，离开电梯的各自到达目的地所需时间为T2，则min{max（T1,T2）}就是当前状态的最优解，其中T1可以由“当前层数+1”和“决策后剩下的人”确定的状态得到；
T2则为下电梯走楼梯到达目的走楼梯最多的那一位乘客所花时间。
如果去第k层的乘客选择在当前楼层下电梯，那么第1，2…k-1层的乘客也应该选择在此时下电梯（如图1所示），这样就可以得到当前决策下的一个最优解。
为了进一步处理停靠请求，对楼层按从高到低进行排序，并以此进行编号，如此可以避免在求解过层中处理不连续的请求，如：
图1解题结论
4，5，10。
使用i,j两个参数表示电梯当前的状态，即电梯在第i层，电梯中有j位乘客。
综上所述，可得如下状态转移方程：
f（i,j）表示电梯在第i层楼时，电梯中j个人都到达目的地所需要的最短时间。
具体求解过程：
第一步：
计算初始状态f（topFloor,1）,f（topFloor,2）,…,f（topFloor,n）;
第二步：
根据状态转移方程计算f（i,j）;
第三步：
根据计算最优值时记录的信息求解最优解。
1.3算法程序流程
图2Input函数流程图
图3solve函数流程图
图4main函数流程图
图5calculate函数流程图
图6tStay函数流程图
图7tLeave函数流程图
1.4算法的程序实现代码
#include<
iostream>
cstring>
algorithm>
#include<
cmath>
limits>
vector>
usingnamespacestd;
constintmaxN=30,maxF=31;
//电梯上一层楼所需时间，电梯每次停靠时长，人走一层楼所需时间
constintve=4,st=10,vw=20;
intn,f[maxN+1];
//数据读取
boolinput（）{
cin>
>
n;
if（n==0）returnfalse;
//注意：
f[1...n]中楼层数从高到低排列
for（inti=n;
i>
=1;
i--）
f[i];
returntrue;
}
intdp[maxF+1][maxN+1],nextJ[maxF+1][maxN+1];
//目前电梯在第currF层,第L层到第R层乘客离开电梯
//函数返回这些离开电梯的乘客中最晚到达目的层所需时间
inttLeave（intcurrF,intl,intr）{
if（l>
r）return0;
//仅需考虑两端,无论此刻电梯在何处,第l-r层花时间最多的
//一定是离电梯当前所在楼层最远的乘客
returnmax（abs（currF-f[l]）,abs（currF-f[r]））*vw;
//现在电梯在第i层,电梯里面本来有j位乘客,离开电梯的乘客剩下jj位
inttStay（inti,intj,intjj）{
//没有乘客离开,电梯不停
if（j==jj||i==1）
returndp[i+1][jj]+ve;
//所有人都离开电梯
elseif（jj==0）
return0;
//一般情况，电梯在第i层停靠
else
returndp[i+1][jj]+ve+st;
//
voidcalculate（）{
//边界：
电梯在顶楼时所有人都必须下电梯
inttopFloor=f[1];
for（intj=1;
j<
=n;
j++）{
//1,j表示停靠请求的编号,编号越小表示编号停靠楼层越高
dp[topFloor][j]=tLeave（topFloor,1,j）;
}
for（inti=topFloor-1;
i--）{
//i表示电梯此刻所在位置
dp[i][j]=numeric_limits<
int>
:
max（）;
for（intjj=0;
jj<
=j;
jj++）{
//计算离开电梯的人和留在电梯里面的人中到达目的地最晚的
inttmp=max（tStay（i,j,jj）,tLeave（i,jj+1,j））;
//在此求解花费时间最短的乘客
if（dp[i][j]>
tmp）{
dp[i][j]=tmp;
//jj以前的乘客均离开电梯
nextJ[i][j]=jj;
cout<
<
dp[1][n]<
endl;
//重构最优解
voidrebuildSolution（）{
vector<
stops;
intj=nextJ[1][n],topFloor=f[1];
for（inti=2;
i<
=topFloor;
i++）{
if（nextJ[i][j]!
=j）{
stops.push_back（i）;
j=nextJ[i][j];
if（j==0）break;
stops.size（）;
for（inti=0;
"
"
stops[i];
voidsolve（）{
memset（dp,0,sizeof（dp））;
memset（nextJ,0,sizeof（nextJ））;
calculate（）;
rebuildSolution（）;
题目2切割木材
2.1题目描述
一个木匠从木材公司买了一批木材，每块木材的长度均相同，但由于制作家具时所需的木块长度各不相同，因此需要把这些木材切割成长度不同的木块。
同时每次切割时由于锯子本身有一定的宽度，因此每切割一次就会浪费掉一些木料。
请设计一个程序使木匠能够用最少的木材切割出所需的木块。
输入描述：
输入有若干个测试样例，每个测试样例占一行。
每行由若干个整数构成，第一个整数为所购买的木块的长度L（0<
L<
=30000）,第二个整数为锯子的宽度W（0<
W<
=1000）,其后的若干个整数分别表示制作家具时需要的木块的长度。
输出描述：
每个测试样例输出一行，为一个整数N，表示制作家具时需要购买的木块的数量。
样例输入：
10001002502505006501000
100050200250250500650970
样例输出：
3
4
2.2算法文字描述
此题目是装载问题的一个变种，与装载问题不同的是此问题没有给出“船”数量，但是给出了船的载重量，因此仍旧可以借鉴解装载问题的思路，即让每一根原材料可以切出更多符合要求的木料，类似于装载问题中“将第一艘轮船尽可能地装满”，即保证切割以后剩余的原材料是最少的。
算法具体描述如下：
Step1：
声明求解结果变量res=0，剩余未切割木料数量count=n，当前已切割木料长度和cw=0，目前最大切割长度bestW=0，求解标记数组visited[n]，当前最优求解数组nVisited[n]，问题求解状态记录数组res_arr[n]，锯口宽度sw；
Step2：
当剩余未切割木料数量count大于0时，利用回溯法进行最大子集和求解。
当i<
n-1时，搜索左子树的条件：
当前节点未被访问且cw+data[i]<
=w+sw，访问左子树时第i层相应节点时将相应访问标记visited[i]置为true，递归搜索该节点的左子树；
递归搜索右子树时，将当前节点访问标记visited[i]置为false；
Step3：
当i>
n-1时，获得一种切割方案，若此次求解结果优于已得求解结果，即bestW<
cw，使用nVisited数组记录当前求解状态，同时更新bestW的值；
Step4：
利用回溯法完成1次木料切割后，更当前问题求解状态res_arr数组，根据最新的求解状态更新未切割木料数量count，同时res++，若count=0则求解结束，否则重复2,3,4直至count=0。
2.3算法程序流程
图8main函数流程图
图9input函数流程图
图10solve函数流程图
图11backtrack函数流程图
2.4算法的程序实现代码
stdio.h>
malloc.h>
#defineMAX_SAMPLE_LENGTH50
/*回溯法求解*/
int*in=（int*）malloc（MAX_SAMPLE_LENGTH*sizeof（int））;
int*data=（int*）malloc（MAX_SAMPLE_LENGTH*sizeof（int））;
bool*visited=（bool*）malloc（MAX_SAMPLE_LENGTH*sizeof（bool））;
bool*nVisited=（bool*）malloc（MAX_SAMPLE_LENGTH*sizeof（bool））;
bool*res_arr=（bool*）malloc（MAX_SAMPLE_LENGTH*sizeof（bool））;
intw;
//原材料长度
intn;
//数据元素个数
intsw;
//锯口宽度
intcw;
//当前已锯木头长度和
intres;
//求解结果
intbestW;
//当前求解最大值
boolflag=true;
//初始化数据保存数组
memset（in,0,MAX_SAMPLE_LENGTH*sizeof（int））;
memset（visited,false,MAX_SAMPLE_LENGTH*sizeof（bool））;
memset（res_arr,false,MAX_SAMPLE_LENGTH*sizeof（bool））;
memset（nVisited,false,MAX_SAMPLE_LENGTH*sizeof（bool））;
//记录输入数据个数
n=0;
//读取数据-原材料（木头）长度
scanf（"
%d"
&
w）;
if（0==w）flag=false;
sw）;
while（flag）{
data+n）;
n++;
charch=getchar（）;
if（ch=='
\n'
）break;
returnflag;
voidbacktrack（inti,intk）{
if（i>
n-1）{
if（bestW<
cw）{
//记录最优值
bestW=cw;
//记录当前最优解
nVisited[i]=visited[i];
return;
//进入右子树条件
if（!
res_arr[i]&
&
cw+data[i]+k*sw<
=w）{
//记录当前已锯木头数量
k++;
//进入右子树实际操作
cw+=data[i];
//访问标记
visited[i]=true;
backtrack（i+1,k）;
cw-=data[i];
k--;
visited[i]=false;
intsolve（int*data,intn）{
res=0;
//求解结果初始化
intcount=n;
while（count>
0）{
//初始化,cw当前已锯木头长度和,
//count剩余未锯木头数量,bestW本次求解最大长度和
cw=0,count=0,bestW=0;
backtrack（0,0）;
//更新待解决问题状态
res_arr[i]）
res_arr[i]=nVisited[i];
//剩余未求解元素个数
res_arr[i]）count++;
//记录求解结果
res++;
returnres;
intmain（）{
while（input（））{
solve（data,n）;
printf（"
\n%d\n"
res）;
题目3设计题
3.1题目描述
给定一个数塔，如图12所示。
在此数塔中，从顶部出发，在每一节点可以选择向左走还是向右走，一直走到底层。
请找出一条路径，使路径上的数值和最大。
图12数塔
3.2输入要求
第一行输入一个整数n，n表示数塔的层数，第2，…，n+1行为数塔对应节点的数值。
3.3输出要求
第一行输出路径数值和，第二行输出具体路径。
3.4样例输入
5
13
1112
40716
614158
127132411
3.5样例输出
91
（1,1）->
（2,1）->
（3,1）->
（4,2）->
（5,3）
3.6测试样例输入
7
11
98
12107
4152319
178211216
322524283127
85910111315
3.7测试样例输出
113
（3,2）->
（4,3）->
（5,3）->
（6,4）->
（7,5）
3.8算法实现的文字描述
动态规划采用自底向上逐层分阶段决策
1）第1次决策，针对第4层
如果最优路径经过6，则从第4层到第5层应该经过12，则第4+第5层的最大路径为6+12=18
如果最优路径经过14，则从第4层到第5层应该经过13，则第4+第5层的最大路径为13+14=27
……
这样实际上将5阶数塔变为4阶数塔问题了。
2）逐层向上递推，最后得到问题的最优解
根据题意，待处理的数据规模同数塔的层数有关，同时数据节点的个数与层数相同，所以可以使用二维数组data存储待处理节点数值，只有一半的节点有数值，实际上是一个下三角矩阵。
可以较为容易地得到问题状态转移方程：
声明变量数塔层数n，待处理数据节点数值数组data[n][n],结果（状态）数组d[n][n];
输入数塔层数n，维数组data和d分配存空间；
初始化第n层结果（状态）数组值；
根据状态转移方程求解d（i,j），其中i从n-1到1，j从1到i；
Step5：
输出d（1,1）；
Step6：
根据数组d求解具体路径并输出。
3.9算法程序流程
图13main函数流程图
图14tower_walk函数流程图
3.10算法的程序实现代码
math.h>
int*data=NULL;
//存储数塔原始数据
int*dp=NULL;
//状态值记录
//塔的层数
/*动态规划实现数塔求解*/
voidtower_walk（）
{
intindex1=0,index2=0;
//dp初始化
for（inti=0;
i<
n;
++i）
{
index1=（n-1）*n+i;
dp[index1]=data[index1];
inttemp_max;
for（inti=n-2;
i>
=0;
--i）
for（intj=0;
j<
=i;
++j）
//使用递推公式计算dp的值
index1=（i+1）*n+j;
index2=i*n+j;
temp_max=（dp[index1]>
dp[index1+1]）?
dp[index1]:
dp[index1+1];
dp[index2]=temp_max+data[index2];
/*打印最终结果*/
voidprint_result（）
intindex=0;
%d\n"
dp[index]）;
intnode_value;
//首先输出塔顶元素
intj=0,i=0;
（%d,%d）"
i+1,j+1）;
for（i=1;
index=（i-1）*n+j;
node_value=dp[index]-data[index];
//如果node_value==dp[i][j]则说明下一步应该是data[i][j];
//如果node_value==dp[i][j+1]则说明下一步应该是data[i][j+1].
index=i*n+j+1;
if（node_value==dp[index]）++j;
->
\n"
）;
intmain（）
n）;
data=（int*）malloc（n*n*sizeof（int））;
memset（data,0,n*n*sizeof（int））;
dp=（int*）malloc（n*n*sizeof（int））;
memset（dp,0,n*n*sizeof（int））;
index=i*n+j;
data+index）;
tower_walk（）;
print_result（）;
算法分析与设计课程总结
通过本课程各个专题模块的学习，回顾和巩固了曾经学习过的知识，并且有了新的感受和收获。
老师的教学具有很强的启发性，在整个学习过程中，通过具体的示例详细地讲解了穷举法、动态规划、贪心算法、回溯法和分支限界法等
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