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（A）5N（B）10N（C）17.3N（D）20N

2．如图所示，均匀杆AC长2m，重10N，在竖直平面内，A端有水平固定转动轴，C端挂一重70N的重物，水平细绳BD系在杆上B点，且AB＝3AC/4。

要使绳BD的拉力是100N，则∠ABD＝；

要使BD绳的拉力最小，且B点位置不变，改变BD的长度，则需BD与AC呈状态.。

3．一均匀木杆，每米重10N，支点位于离木杆左端点0.3ｍ处.现将一重为11N的物体挂在木杆左端点上，在木杆右端点施加一大小为5N的竖直向上的力，恰能使木杆平衡，则木杆的长L＝。

4.如图所示，均匀球重为Ｇ，置于倾角为30°

的斜面上，在球的最高点用水平力F拉住使球静止在斜面上，则F＝，为能使球静止在斜面上，又最省力可将F力施于处，方向，此时F＝。

5.如图所示，力矩盘重心在转轴O，半径0.4恰水平，OB上OA，在A、B处各挂一个相同的砝码，则力矩盘转过角度为时平衡。

若A处挂2个砝码，B处挂1个砝码，则力矩盘应转过角度为时平衡。

精练三（有固定转动轴物体的平衡3）

1．如图所示，力矩盘转轴在圆心，重心偏离圆心，当力矩盘平衡时，在盘的最低点P施一水平力，拉住盘使之缓慢转动，力始终水平，则直到OF呈水平以前，拉力F和它的力矩M将（）

（A）都变大（B）都变小

（C）F变大M变小（D）F变小M变大

2．如图所示，重为Ｇ的圆盘与一轻杆相连，杆与盘恰相切，支于O点。

现用力F竖直向下拉杆的另一端，使该端缓慢向下转动，则杆转到竖直之前，拉力F及其力矩M的变化情况是（）（）

（A）M变小，F不变（B）M、F均变小

（C）M先变大再变小，F始终变大（D）M变小，F变大

3．如图所示，重为Ｇ的均匀棒，可绕上端Ｏ在竖直平面内转动。

今在棒的下端用水平力F拉，使棒缓慢转动，直至转到水平方向为止，则拉力F和它的力矩M的变化情况（）（）

（A）都增大（B）都减小

（C）F增大，M减小（D）F减小，M增大

4.如图所示，足够长的均匀木棒AB的A端铰于墙上，悬线一端固定，另一端套在木棒上跟

棒垂直，并使棒保持水平。

如改变悬线的长度使套逐渐向右移动，但仍保持木棒水平，则悬线所受拉力大小将（）

（A）逐渐变小（B）先逐渐变大后又逐渐变小

（C）逐渐变大（D）先逐渐变小后又逐渐变大

5．如图所示，长为L、重为G的均匀横杆，A端铰于墙上，另一端用钢丝绳BC拉成水平状态.从开始时刻起，一个所受重力为G、可看作质点的物体匀速沿杆以速度v从A端滑向B端，则在小物体滑动的过程中，钢丝绳所受拉力T的大小与时间t的关系如图中的（）

精练四（有固定转动轴物体的平衡4）

1．如图所示，均匀棒AB重为G，A端铰于天花板上，B端搁在物体C上，桌面光滑，物体C对棒的支持力为N。

当用一水平向右的力F拉C，且C仍静止时，C对棒的支持力将。

当用一水平向左的力F拉C，且C仍静止时，C对棒的支持力将。

（填“增大”、“不变”或“减小”）

2．如图所示，长方体木块搁在光滑方形槽中，则长方体木块除重力外还受到（）

（A）一个弹力（B）两个弹力

（C）三个弹力（D）四个弹力

3．如图所示，均匀板一端搁在光滑墙上，另一端搁在粗糙地面上，人站在板上，人和板均静止，则（）

（A）人对板的总作用力就是人所受的重力

（B）除重力外板受到三个弹力和两个摩擦力作用

（C）人站得越高，墙对板的弹力就越大

（D）人站得越高，地面对板的弹力就越小

4．如图所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动，细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的墙壁上而保持平衡，已知杆与水平面的夹角为θ，AP长度是杆长的1/4，各处摩擦均不计，则墙壁对圆柱体的作用力等于。

5．如图所示，质量为m的运动员站在质量为m/2的均匀长板AB的中点，板位于水平地面上，可绕通过B点的水平轴转动，板的A端系有轻绳，绕过两个定滑轮后，握在运动员手中。

当运动员用力拉绳时，两侧绳均保持竖直方向，要使板的A端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是。

有固定转动轴物体的平衡综合导学

知识要点

1.用力矩平衡条件解题的步骤.

用力矩平衡条件解题的步骤与用共点力平衡条件解题的步骤相似:

①确定研究对象；

②对研究对象进行受力分析；

③找出各力的力臂，各力的力矩方向；

④列力矩平衡方程；

⑤解方程并判断解的合理性.

与应用共点力平衡条件解题相比，除多了第③步外，在受力分析时也有些区别，应用力矩平衡条件解题时，过转动轴的力不产生力矩，所以不用分析.

2.平衡条件的选择.

在用共点力平衡条件解决的问题时，总是可以把物体看成质点的，因为不涉及到力的作用点，所以往往不涉及到物体的形状和大小；

而用力矩平衡条件解的问题必须确定力臂，也就是必须确定各力的作用点，因而不能把物体看成质点了，在题中往往给出“均匀”、“力作用在物体的某处”等条件；

当然，对有固定转动轴物体的平衡问题就更明显了，因为研究对象有明显的固定转动轴.

疑难解析

例1如图所示，一均匀直角三角形木板abc，可绕垂直纸面通过c点的水平轴转动.现用一始终沿直角边ba的作用于a点的力F，使bc边缓慢地由水平位置转至竖直位置，在此过程中，力F的大小随α角变化的图线是图中的（）

解析三角形木板除转轴c处外，受到重力G和力F的作用，如图（a）所示.一开始力F是由b指向a的.当α增大时，重力G的力臂减小，其力矩也减小，但力F的力臂不变，因而力F也减小；

当转到图（b）所示位置时，重力恰好过转动轴c，此时力F为零，当a再增大时，重力G的力矩变为顺时针方向了，此时力F应由a指向b了，如图（c）所示；

当a再增大时，重力G的力臂增大，其力矩也增大，但力F的力臂不变，因而力F也增大.由此可见选项A、B都不对，而选项C和D的区分，只要看三角形板转到图（c）位置前的一段过程中的变化是否线性的就可以了.由力矩平衡方程FLF＝GLG“可知，G和LF是不变的，而L。

的变化显然不是线性的，故应选A.

注意:

本题的关键是力F的方向可以改变的，其买在题中给出”现用一始终猫直角边ba的作用于a点的力F”，而不是说沿ba方向的力F，已经给出了暗示.

例2：

如图所示，质量为m的匀质木杆，上端可绕固定水平光滑轴O转动，下端搁在木板上，木板置于光滑水平地面上，杆与竖直方向成45°

角，杆与木板间的滑动摩擦系数为0.5，为使木板向右作匀速运动，所加的水平拉力F等于（）

（A）mg∕2（B）mg∕3（C）mg∕4（D）mg∕6

解析本题中涉及两个物体，木板作平动，而木杆有固定转动轴，因而对木板应用共点力平衡条件解，而对木杆应用力矩平衡条件解，对它们分别进行受力分析，受力如图所示.则对板有:

F＝f＝μN.

而对杆有

.

可以解得

本题中对板只分析了水平方向的力，因为竖直方向的力与本题无关，而对杆上端转动轴处的力没有分析，因为它不产生力矩.

方法指导

1.用力的分解简化力矩计算.

例3如图所示，T字形架子ABO可绕过O点且垂直于纸面的转动轴自由转动.现在其A端与B端分别施以图示方向的力F1和F2，则关于F1和F2的力矩M1和M2，下列说法中正确的是（）

A.都是顺时针的.B.都是逆时针的.

C.M1是顺时针的，M2是逆时针的.D.M1是逆时针的，M2是顺时针的.

解析本题中力F1和F2的力矩方向较难判断，但如果把F1按图所示分解成两个分力F11和F12.F1的力矩与F11和F12共同产生的力矩是等效的，而F11的作用线过转动轴，所以没有力矩，于是只要看F12的力矩就行了，而F12的力矩很明显是逆时针的，所以F1的力矩应为逆时针的.同理可以得出F2的力矩也是逆时针的，故应选B.

这种方法在力矩计算时也可以用，有时可以避开较复杂的力臂的确定.

2.整体法和隔离法.

例4如图所示，重为G、半径为R的均匀球，用长为R的细线悬挂在I。

形直角支架的C点，L形支架的AB边是2R，BC边长为

，且竖直而光滑，支架重力不计，B处有固定转动轴.为使它们保持平衡，则在A点所加最小力为，方向，此时B轴受到的压力为

解析取小球、支架和细线整体为研究对象，除转轴B处外，只受到球的重力G和A端的作用力F，为使力F最小，则需竖直向下加力F就行了，由力矩平衡条件得

而要求B轴处受到的压力时，就不能用力矩平衡条件解了，因为整体就受到重力、作用力和B轴处的作用力N，由共点力平衡条件可知，N必竖直向上，且

本题现用整体法是很简便的，但如果采用隔离法，对球列共点力平衡方程，对杆列力矩平衡方程，那是很烦的，读者不妨试试看.

问题讨论

如图所示.指甲钳可视为由两个杠杆构成的。

第一个杠杆的支点是O，施加的外力是F，阻力是T’；

第二个杠杆的支点是Q，施加的动力是丁，阻力是R.试用学过的知识分析怎样可以使指甲钳较省力.

有固定转动轴物体的平衡A卷

一、填空题

1.如图所示，均匀杆OB长为l、重为G1，B端所挂物体重为G2，杆可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动。

B端用轻绳AB系于地面，杆与地面成60°

角，轻绳与地面成30°

角，则轻绳AB拉力对O点的力臂为，挂物体的轻绳对杆的拉力对O点的力矩大小为，轻绳AB的拉力大小为。

2.如图所示，在半径为R的轮边缘最高点A处用力F使轮滚上台阶，轮与台阶的接触点为P，要使力F最小，则力F的方向应是，在使轮滚动过程中，力F的力矩是（填“顺时针”或“逆时针”）的。

若轮的质量为M，台阶高为

，则F的大小至少为。

3.如图所示，OAB为均匀直角尺，重为2G，且OA＝AB，直角尺可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动。

为使杆的OA部分保持水平，则在B端施加的最小作用力应为；

若施力于A端，则最小作用力为。

答案：

4.如图所示，将粗细均匀直径相同的两根棒A和B粘合在一起，并在粘合处悬挂起来，恰好处于水平平衡。

如果A棒的密度是B棒的2倍，那么A棒的重力是B棒的重力的倍。

5.如图所示，等边的直角拐尺每边的质量均为m，拐角处用铰链铰于天花板上，左端用细绳与放在地面上的质量也为m的物体相连.平衡时绳子保持竖直，那么绳子拉力的大小为，物体对地面的压力大小为。

6.如图所示，是人手臂骨骼与肌肉的生理结构示意图，手上托着重为G的物体。

（1）在方框中画出前臂受力示意图（把手、手腕、尺骨和桡骨看成一个整体，它们所受重力不计，图中O点看作固定转动轴，O点受力可以不画）；

（2）根据图中标尺估算出手臂的二头肌此时的收缩力大小约为。

7.如图所示，杆CO长为0.5m，C端铰于墙上，O端用轻绳OE系于墙上，并在O端下面挂一个光滑轻滑轮，滑轮下用轻绳跨过滑轮悬挂两个物体，物体A重2N，物体B重5N，物体B放在地面上，两绳都恰竖直，整个装置处于静止状态，则绳OD对杆的拉力对E点的力矩为。

8.如图所示，力矩盘转轴在其圆心O点，重心在G点（恰在O点的正下方），半径OA恰水平.现在A点加一竖直向下的拉力使盘缓慢转动，直到A点到达最低点前，在此过程中，竖直向下的拉力的大小将，该拉力的力矩大小将。

二、选择题

9.如图所示，T字形轻质支架abO可绕过O点的水平轴在竖直平面内自由转动，支架受到图示方向的F1、F2和F3的作用，则关于O点（）

（A）F1和F3的力矩同方向

（B）F2和F3的力矩同方向

（C）若三个力矩不平衡，为使它平衡，在a点施力可使力最小

（D）为使加在a点的2N的力产生最大力矩可使此力方向与ab杆垂直

10.如图所示，一均匀杆AB，能绕过A端的水平轴在竖直平面内转动.在杆的另一端B用一始终竖直向上的力拉杆，当杆沿逆时针缓慢转过一个小角度时，拉力F的大小及拉力的力矩M的大小与原来相比是（）

（A）F变大，M变大（B）F变大，M不变

（C）F不变，M变大（D）F不变，M不变

11.如图所示，均匀直杆AB的A端装有垂直于纸面的水平转动轴，B端搁在小车上，杆与车的水平上表面间动摩擦因数为μ，小车静止时，杆对车的压力大小为N1.当小车水平向左运动时，杆对车的压力大小为N2，则（）

（A）N1＝N2（B）N1＜N2（C）N1＞N2（D）无法确定

12.如图所示，长为lm的轻杆OA可绕过O点的水平轴自由转动，在A端挂一个质量为M的物体.现将长也为lm的轻绳系在杆上的某点B，另一端系于墙上。

为使杆保持水平，选取适当的B点位置，能使绳子拉力最小，此时绳子拉力的大小与B点到O点的距离分别是（）

（A）Mg，

（B）Mg，

（C）2Mg，

（D）2Mg，

13.如图所示，密度为ρ、边长为L的均匀立方体，表面光滑，静止在水平面上，并抵住一个小木桩.有风与水平方向成45°

角斜向上地吹到立方体的一个面上，产生压强为p，则使立方体刚要翻动的p户值为（）

（B）

（C）

（D）

14.如图所示为一根均匀的杆秤，O为其零点，A为一提纽，若将秤杆尾部截去一小段，在称某一物体时读数为m，设该物体的实际质量为M，则（）

（A）M＜m（B）M＞m（C）M＝m（D）无法确定

15.如图所示，用单位长度质量为P的材料制成的长方形框架ABCD，已知AB＝a，BC＝b，可绕过AB边的水平轴自由转动.现在CD边的中点施加一个水平力F，为使框架静止时与竖直方向成α角，则力F的大小应为（）

（A）ρ（a＋b）tgα（B）ρg（a＋b）ctgα

（C）

（D）ρg（a＋2b）ctgα

16.如图所示是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，b是摩擦制动片，c是杠杆，O是其固定转动轴，手在A点施加一个作用力F时，b将压紧轮子，使轮子制动.若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是（）

（A）轮a逆时针转动时，所需的力F较小

（B）轮a顺时针转动时，所需的力F较小

（C）无论a逆时针还是顺时针转动，所需的力F相同

（D）无法比较F的大小

三、计算题

17.如图所示，力矩盘因偏心，在距轴心水平距离6cm的A处挂10g钩码后盘转过30°

静止在如图位置。

若在A点处挂30g钩码，则圆盘与最初相比要转过多大角度才能平衡？

18.如图所示，ABO为直角轻杆，O为水平转轴，在B点用细绳吊一个重为G＝12N的小球并靠在BO杆上.已知AB＝30cm，BO＝40cm，细绳BC长L＝20cm，小球半径R＝10cm，在杆的A端加外力F，使OB杆在竖直方向保持静止。

问:

（1）力F竖直向下时大小为多少？

（2）力F的最小值是多少？

19.如图所示，重200N的均匀杆OA，可绕过O点的水平轴自由转动，杆斜靠在竖直墙上，杆与水平面间的夹角θ＝60°

，墙与杆间夹有一张纸，纸的重及纸与墙间的摩擦力不计，纸与杆间的滑动摩擦系数μ＝0.2。

问要多大的竖直向上的力才能将纸向上匀速抽出？

有固定转动轴物体的平衡B卷

一．填空题

1.如图所示，用两块长都为L的砖块叠放在桌面边缘，为使砖块突出桌面边缘的距离最大且不翻倒，则上面的第一块砖突出下面的第二块砖的距离为，下面第二块砖突出桌面边缘的距离为。

2.如图所示，半径为R的轮放在台阶边上，现在轮的边缘处施加力F使轮缓慢地滚上台阶，轮与台阶的接触点为P，要使力F最小，则力F的方向应是，在使轮滚动过程中F的力矩的方向是（填“顺时针”或“逆时针”）的。

若轮的质量为M，台阶的高

，则力F的大小至少应为。

3.如图所示，质量不计的杆O1B和O2A，长度均为l，O1和O2为光滑固定转轴，A处有一凸起物搁在O1B的中点，B处用细绳系于O2A的中点，此时两短杆组合成一根长杆。

今在O1B杆上的C点（C为AB的中点）悬挂一重为G的物体，则A处受到的支撑力大小为，B处细绳的拉力大小为。

4.如图所示，一个半径为R、重为G的匀质半球体，放在地面上，其重心位置在球心O下的C点，

.现在半球体上表面的平面上放一重为

的小物体P，已知小物体与半球体的平面问的滑动摩擦系数μ＝0.2，则要保证半球体倾斜后小物体不滑下，小物体的位置离开半球体球心的最大距离为。

5.一根粗细不均匀的木棒，长为4m，当支点在距其粗端1.4m时，木棒恰好水平平衡。

如果在其细端挂一个重为80N的物体，就必须将支点向其细端移动0.4m，木棒才能平衡。

则棒重为。

6.如图所示，一支杆秤有两个提纽，已知OA＝7cm，OB＝5cm，秤锤质量为2kg，秤杆重不计。

使用O处提纽时，秤的最大称量为10kg，则可知使用B处提纽时，秤的最大称量为。

40kg

7.如图所示，均匀杆重为G，通过图示滑轮装置用力F将杆拉成水平.若保持与杆相连的绳子均垂直于杆，拉力F与竖直方向成60°

角，滑轮重与摩擦均不计，B为杆的中点，则拉力的大小F＝。

（提示:

先找出B处绳子拉力和A处绳子拉力的关系，

）

8.如图所示，均匀棒AB的A端铰于地面，B端靠在长方体物体C上，C被压在光滑竖直墙面上.若在C上再放一物体，整个装置仍平衡，则B端与C物体间的弹力大小将比原来（填“大”、“不变”或“小”）。

9.图所示为四种悬挂镜框的方案，设墙壁光滑，镜框重心位置在镜框的正中间，指出图中可能实现的方案是（）

B（提示:

用共点力平衡和力矩平衡讨论）

10.如图所示，一质量为m的金属球与一细杆连接在一起，细杆的另一端用铰链铰于墙上较低位置，球下面垫一木板，木板放在光滑水平地面上，球与板间的滑动摩擦系数为μ，下面说法中正确的有（）

（A）用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力F＝μmg.

（B）用水平力将木板向右匀速拉出时，拉力F＜μmg.

（C）用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力F＞μmg.

（D）用水平力将木板向左匀速拉出时，拉力F＜μmg.

11．如图所示，均匀光滑直棒一端铰于地面，另一端搁在一个立方体上，杆与水平面间的夹角α为30°

左右.现将立方体缓慢向左推，则棒对立方体的压力大小将（）

（A）逐渐增大（B）逐渐减小

（C）先增大后减小（D）先减小后增大

12．如图所示，物体放在粗糙平板上，平板一端铰接于地上，另一端加一竖直向上的力，使板的倾角θ缓慢增大，但物体与木板间仍无相对滑动，则下列量中逐渐增大的有（）

（A）板对物体的静摩擦力（B）物体对板的正压力

（C）拉力F（D）拉力F的力矩

13．如图所示，两根均匀直棒AB、BC，用光滑的铰链铰于B处，两杆的另外一端都用光滑铰链铰于墙上，棒BC呈水平状态，a、b、c、d等箭头表示力的方向，则BC棒对AB棒的作用力的方向可能是（）

（A）a（B）b（C）c（D）d

14．如图所示，直杆OA可绕过O点的水平轴自由转动，图中虚线与杆平行，杆的另一端A点受到四个力F1、F2、F3、F4的作用，力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的力矩分别为M1、M2、M3、M44，则它们间的大小关系是（）

A.M1＝M2＞M3＝M4.B.M2＞M1＝M3＞M4.

C.M4＞M2＞M3＞M1.D.M2＞M1＞M3＞M4.

将各力分解成沿杆方向和垂直于杆方向的两个力，只比较后者的力矩即可）

15．如图所示，用长为

的细直杆连结的两个小球A、B，它们的质量分别为m和2m，置于光滑的、半径为R的半球面碗内.达到平衡时，半球面的球心与B球的连线和竖直方向间的夹角的正切为（）

A.1.B.

.C.

.D.

把两球与杆看成整体，用力矩平衡解）

16.如图所示，在静止的小车上固定一个天平杆架，当杆的一端用细线挂一个物体时，杆的另一端用一轻绳系于小车底板上，轻绳恰竖直，杆恰水平.在小车向右作匀加速直线运动的过程中，轻绳的拉力与原来相比将（）

A.增大.B.不变.C.变小.D.无法判断.

悬挂物体的细线拉力对杆的力矩不变）

17.如图所示，均匀长板AB重300N、长为12m，可绕过O点的水平轴转动，O点距A点为4m，B端用轻绳系于天花板上的C点，BC与杆成θ＝30°

角，板恰水平.绳子能承受的最大拉力为200N，有一重为500N的人在板上行走，求人能安全行走的范围.

从O点以左1.2m到O点以右2.8m

18.如图所示，球重为G，半径为R，由轻杆BC支持并斜靠在墙上.轻杆长为L，C端铰于墙上，B端用水平绳拉住，系于墙上，求:

当杆与墙的夹角α为多大时水平绳所受拉力最小，最值为多少.

60°

，

{提示:

球共点力平衡而杆力矩平衡，

当

时有极小值]

19．如图所示，AOB为三角支架，质量M＝19.2kg，A端搁在铁块上，支架可绕过O点的水平轴自由转动，支架重心在C点，C点距O点的水平距离d＝0.2m，AO＝L＝0.8m，支架的斜面AD的倾角θ＝37°

。

质量m＝10kg的物体放在支架底端A处，物体在平行于AD方向的力F作用下由静止开始运动，F＝85N，物体与AD间的滑动摩擦系数μ＝0.25，求:

（1）物体运动多长时间，运动到何处时支架开始翻倒？

（2）如果这个物体在AD上某点由静止开始向下滑动，为使支架不翻倒，物体距A端的最大距离为多少？

（g取10m/s2）