信号与系统试题库.doc

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例5．2-10

求函数f（t）=t2e-ate（t）的象函数

令f1（t）=e-ate（t），

则

f（t）=t2e-ate（t）=t2f1（t），

则

已知H（s）的零、极点分布图如示，并且h（0+）=2。

求H（s）和h（t）的表达式。

解：

由分布图可得

根据初值定理，有

=

已知H（s）的零、极点分布图如示，并且h（0+）=2。

求H（s）和h（t）的表达式。

解：

由分布图可得

根据初值定理，有

设

由得：

1=1

2=-4

3=5

即

二、写出下列系统框图的系统方程，并求其冲激响应。

（15分）

解：

x”（t）+4x’（t）+3x（t）=f（t）

y（t）=4x’（t）+x（t）

则：

y”（t）+4y’（t）+3y（t）=4f’（t）+f（t）

根据h（t）的定义有

h”（t）+4h’（t）+3h（t）=δ（t）

h’（0-）=h（0-）=0

先求h’（0+）和h（0+）。

因方程右端有δ（t），故利用系数平衡法。

h”（t）中含δ（t），h’（t）含ε（t），h’（0+）≠h’（0-），h（t）在t=0连续，即h（0+）=h（0-）。

积分得

[h’（0+）-h’（0-）]+4[h（0+）-h（0-）]+3=1

考虑h（0+）=h（0-），由上式可得

h（0+）=h（0-）=0

h’（0+）=1+h’（0-）=1

对t>0时，有h”（t）+4h’（t）+3h（t）=0

故系统的冲激响应为一齐次解。

微分方程的特征根为-1，-3。

故系统的冲激响应为

h（t）=（C1e-t+C2e-3t）ε（t）

代入初始条件求得C1=0.5,C2=-0.5,所以

h（t）=（0.5e-t–0.5e-3t）ε（t）

三、描述某系统的微分方程为y”（t）+5y’（t）+6y（t）=f（t）

求当f（t）=2e-t，t≥0；y（0）=2，y’（0）=-1时的解；（15分）

解:

（1）特征方程为λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。

齐次解为

yh（t）=C1e-2t+C2e-3t

当f（t）=2e–t时，其特解可设为

yp（t）=Pe-t

将其代入微分方程得

Pe-t+5（–Pe-t）+6Pe-t=2e-t

解得P=1

于是特解为yp（t）=e-t

全解为：

y（t）=yh（t）+yp（t）=C1e-2t+C2e-3t+e-t

其中待定常数C1,C2由初始条件确定。

y（0）=C1+C2+1=2，

y’（0）=–2C1–3C2–1=–1

解得C1=3，C2=–2

最后得全解y（t）=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥0

四、如图信号f（t）的拉氏变换F（s）=，试观

A卷【第2页共3页】

察y（t）与f（t）的关系，并求y（t）的拉氏变换Y（s）（10分）

解y（t）=4f（0.5t）

Y（s）=4×2F（2s）

六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲，其周期为8ms，如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。

（10分）

解：

付里叶变换为

Fn为实数，可直接画成一个频谱图。

六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的方波，其周期为4ms，如图所示,求频谱并画出频谱图。

（10分）

解：

=2*1000/4=500

付里叶变换为

Fn为实数，可直接画成一个频谱图。

或幅频图如上，相频图如下：

如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系统是稳定的？

其中子系统的系统函数G（s）=1/[（s+1）（s+2）]

解：

设加法器的输出信号X（s）

X（s）=KY（s）+F（s）

Y（s）=G（s）X（s）=KG（s）Y（s）+G（s）F（s）

H（s）=Y（s）/F（s）=G（s）/[1-KG（s）]=1/（s2+3s+2-k）

H（s）的极点为

为使极点在左半平面，必须（3/2）2-2+k<（3/2）2,

k<2，即当k<2，系统稳定。

如图离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围

解：

设加法器输出信号X（z）

X（z）=F（z）+a/Z*X（z）

Y（z）=（2+1/z）X（z）=（2+1/z）/（1-a/z）F（z）

H（z）=（2+1/z）/（1-a/z）=（2z+1）/（z-a）

为使系统稳定，H（z）的极点必须在单位园内，

故|a|<1

周期信号f（t）=

试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f（t）的平均功率。

解首先应用三角公式改写f（t）的表达式，即

显然1是该信号的直流分量。

的周期T1=8的周期T2=6

所以f（t）的周期T=24，基波角频率Ω=2π/T=π/12，根据帕斯瓦尔等式，其功率为

P=

是f（t）的[π/4]/[π/12]=3次谐波分量；

是f（t）的[π/3]/[π/12]=4次谐波分量；

画出f（t）的单边振幅频谱图、相位频谱图如图

二、计算题（共15分）已知信号

1、分别画出、、和的波形,其中。

（5分）

2、指出、、和这4个信号中，哪个是信号的延时后的波形。

并指出哪些信号的拉普拉斯变换表达式一样。

（4分）

3、求和分别对应的拉普拉斯变换和。

（6分）

1、（4分）

2、信号的延时后的波形。

（2分）

3、（2分）

。

（2分）

三、计算题（共10分）如下图所示的周期为秒、幅值为1伏的方波作用于RL电路，已知，。

1、写出以回路电路为输出的电路的微分方程。

2、求出电流的前3次谐波。

解“

1、。

（2分）

2、

（3分）

3、（2分）

4、（3分）

四、计算题（共10分）已知有一个信号处理系统，输入信号的最高频率为，抽样信号为幅值为1，脉宽为，周期为（）的矩形脉冲序列，经过抽样后的信号为，抽样信号经过一个理想低通滤波器后的输出信号为。

和的波形分别如图所示。

1、试画出采样信号的波形；（4分）

2、若要使系统的输出不失真地还原输入信号，问该理想滤波器的截止频率和抽样信号的频率，分别应该满足什么条件？

（6分）

解：

1、（4分）

2、理想滤波器的截止频率,抽样信号的频率。

（6分）

五、计算题（共15分）某LTI系统的微分方程为：

。

已知，，。

求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应、和。

解：

1、。

（2分）

2、（3分）

3、

（5分）

4、

（5分）

六、计算题（共10分）如下图所示的RC低通滤波器网络。

已知电容C的初始电压为。

（共10分）

1、写出该电路的s域电路方程，并画出对应的电路图。

（2分）

2、写出以电容电压为输出的电路的系统函数的表达式。

（2分）

3、求出的极点，判断该RC网络的稳定性。

（2分）

4、求出该RC网络的频率特性。

（2分）

5、求出该RC网络的幅频特性和相频特性的表达式，并画出频率特性图。

（2分）

解：

1、或

（2分）

2、（2分）

3、的极点，该RC网络是稳定的。

（2分）

已知象函数求逆z变换。

其收敛域分别为：

（1）÷z÷>2

（2）÷z÷<1（3）1<÷z÷<2

解：

部分分式展开为

（1）当÷z÷>2，故f（k）为因果序列

（2）当÷z÷<1，故f（k）为反因果序列

（3）当1<÷z÷<2，

已知象函数求逆z变换。

其收敛域分别为：

（1）÷z÷>3

（2）1<÷z÷<2

解：

（1）÷z÷>3由收敛域可知，上式四项的收敛域满足÷z÷>3，

（2）1<÷z÷<2由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足÷z÷>1，后两项满足÷z÷<2。

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