定义证明二重极限Word文档下载推荐.docx
《定义证明二重极限Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定义证明二重极限Word文档下载推荐.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§
2函数极限的性质（3学时）
教学目的：
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：
掌握函数极限的基本性质：
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：
函数极限的性质及其计算。
教学难点：
函数极限性质证明及其应用。
教学方法：
讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
（一）函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性（不等式性质）:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
（只证“+”和“”）
（二）利用极限性质求极限：
已证明过以下几个极限：
（注意前四个极限中极限就是函数值）
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1（利用极限和）
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第二篇：
证明二重极限不存在
如何判断二重极限（即二元函数极限）不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f（x,y）不存在,通常的方法是:
找几条通过（或趋于）定点（x0,y0）的特殊曲线,如果动点（x,y）沿这些曲线趋于（x0,y0）时,f（x,y）趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f（x,y）不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过（x0,y0）,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f（x,y）g（x,y）的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f（x,y）-g（x,y）=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-（x2+y2）=0→（0,0）时,所得的结论就不同（这时f（x,y）→1）。
为什么会出现这种情况呢?
仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线，（，y）一g（，y）=0趋近于（，y0）来讨论，一0g，y。
可能会出现错误，只有证明了（，）不是孤立点后才不会出错。
o13a1673-3878（XX）0l__0l02__02如何判断二重极限（即二元函数极限）不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf（x，y）不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：
找几条通过（或趋于）定点（xo，yo）的特殊曲线，如果动点（x，y）沿这些曲线趋于（xo，y。
）时，f（x，y）趋于不同的值，则可判定二重极限limf（x，y）不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过（xo，y。
），并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·
y0断其不存在时，不少人找的曲线是f（x，y）一g（x，y）：
0，这样做就很容易出错。
3
当沿曲线y=-x+x^2趋于（00）时，极限为lim（-x^2+x^3）/x^2=-1;
当沿直线y=x趋于（00）时，极限为limx^2/2x=0。
故极限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
f（x,y）=————————
x+y
它的累次极限存在：
limlim————————=-1
y->
0x->
0x+y
limlim————————=1
x->
0y->
当沿斜率不同的直线y=mx,（x,y）->
（0,0）时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
第三篇：
用极限定义证明极限
例1、用数列极限定义证明：
limn?
2?
0n?
?
n2?
7
n?
2时n?
2
（1）2n
（2）2nn?
22（3）24（4）|2?
0|?
nn?
7n?
nn?
1n?
n
上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号
（1）、
（2）、（3）均成立方可。
第一个等号成立的条件是n>
2；
不等号
（1）成立的条件是2<
n；
不等号
（2）成立的条件是7<
n4，即n>
不等号（4）成立的条件是n?
[]，故取n=max{7,2?
44[]}。
这样当n>
n时，有n>
7，n?
[]。
?
4因为n>
7,所以等号第一个等号、不等式
（1）、
（2）、（3）能成立；
因为n?
[]，所以不等号（3）成立的条件是1?
|不等式（4）能成立，因此当n>
n时，上述系列不等式均成立，亦即当n>
n时，
在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?
n2?
7n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．2
可把它放大为（k为大于零的常数）的形式．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．
4?
1
4n?
4时n?
n2n2
（1）|2?
n?
1n2n
22不等号
（1）成立的条件是n?
[],故取n=max{4,[]},则当n>
n时，上面的不等式都成?
例2、用数列极限定义证明：
lim
立。
注：
对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。
如：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
1?
n2
n22
n（n?
1）2?
（?
1）n
例3、已知an?
，证明数列an的极限是零。
2（n?
1）
1）n1
（1）1
（2）
证明：
0（设0?
1），欲使|an?
||?
成立22（n?
1）（n?
1）n?
11?
解得：
1，由于上述式子中的等式和不等号
（1）对于任意的正整n?
1数n都是成立的，因此取n?
[?
1]，则当n>
n时，不等号
（2）成立，进而上述系列等式由不等式?
和不等式均成立，所以当n>
n时，|an?
在上面的证明中，设定0?
1，而数列极限定义中的?
是任意的，为什么要这样设定？
这样设定是否符合数列极限的定义？
在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0?
1，则n?
1]就有1
可能不是正整数，例如若?
＝2，则此时n＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定0?
1，这样就能保证n是正整数了。
那么对于大于1的?
，是否能找到对应的n？
能找到。
按照上面已经证明的结论，当?
＝0.5时，有对应的n1，当n>
n1时，|an?
0|＜0.5成立。
因此，当n＞n1时，对于任意的大于1的?
，下列式子成立：
|an?
0|＜0.5＜1＜?
，亦即对于所有大于1的?
，我们都能找到与它相对应的n=n1。
因此，在数列极限证明中，?
可限小。
只要对于较小的?
能找到对应的n，则对于较大的?
．．．
就自然能找到对应的n。
第四篇：
极限定义证明
极限定义证明
趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
对于任意给定的ξ>
0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<
ξ成立，只需要
|sinx/√x|^2<
ξ^2,即sinx^2/x<
ξ^2（∵x→+∞）,则x>
sinx^2/ξ^2,
∵|sinx|≤1∴只需不等式x>
1/ξ^2成立，
所以取x=1/ξ^2，当x>
x时，必有|sinx/√x-0|<
ξ成立，
同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<
ξ成立，只
需要0<
|x+1/2|<
ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<
δ时，必有
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<
ξ，
由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.
注意，用定义证明x走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面x减去的那个x0.
记g（x）=lim^（1/n），n趋于正无穷;
下面证明limg（x）=max{a1,...am},x趋于正无穷。
把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1（x）趋于a;
作b>
a>
=0,m>
1;
那么存在n1,当x>
n1,有a/m<
=f1（x）
注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>
n2时，0<
=f2（x）
同理，存在ni，当x>
ni时，0<
=fi（x）
取n=max{n1,n2...nm};
那么当x>
n,有
（a/m）^n<
=f1（x）^n<
=f1（x）^n+...fm（x）^n
所以a/m<
=^（1/n）
对n取极限，所以a/m<
=g（x）n时成立;
令x趋于正无穷，
a/m<
=下极限g（x）<
=上极限g（x）<
=b;
注意这个式子对任意m>
1,b>
a都成立，中间两个极限都是固定的数。
令m趋于正无穷，b趋于a;
有a<
=a;
这表明limg（x）=a;
证毕;
证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。
还有个看起来简单些的方法
g（x）=max{f1（x）,....fm（x）};
然后求极限就能得到limg（x）=max{a1,...am}。
其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。
有种简单点的方法，就是
max{a,b（请继续关注..）}=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。
多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，
故极限可以放进去。
一）时函数的极限：
第五篇：
函数极限的定义证明
习题1?
1.根据函数极限的定义证明:
（1）lim（3x?
1）?
8;
x?
（2）lim（5x?
2）?
12;
x2?
4;
（3）limx?
2x?
4x3
（4）lim?
2.
12
1证明
（1）分析|（3x?
8|?
|3x?
9|?
3|x?
3|,要使|（3x?
只须|x?
3|?
.3
1证明因为?
0,?
当0?
|x?
时,有|（3x?
所以lim（3x?
8.x?
33
1
（2）分析|（5x?
12|?
|5x?
10|?
5|x?
2|,要使|（5x?
2|?
.5
时,有|（5x?
所以lim（5x?
12.x?
25
（3）分析
2）|?
.x2?
4x2?
4x?
4）?
2）|,要使?
只须x?
所以lim?
4.证明因为?
时,有x?
（4）分析1?
4x3111?
4x31?
只须|x?
）|?
.?
|1?
2|x?
）|,要使2x?
12x?
1222
所以lim证明因为?
时,有?
2.12x?
122x?
2.根据函数极限的定义证明:
（1）lim1?
x3
2x3
sinxx?
2
（2）limx?
0.
证明
（1）分析
|x|?
x32x311?
x3?
22x3?
12|x|3,要使1?
x32x3?
只须?
即322|x|2?
.
证明因为?
（2）分析
0?
12?
当|x|?
x时,有1x
x31?
2x322
1x
即x?
sinxx
|sinx|x
要使
sinx
当x?
x时,有
xsinxx
只须
所以lim
3.当x?
2时,y?
4.问?
等于多少,使当|x?
2|<
时,|y?
4|<
0.001？
解由于x?
2,|x?
0,不妨设|x?
1,即1?
3.要使|x2?
4|?
2||x?
0.001,只要
0.001
0.0002,取?
0.0002,则当0?
时,就有|x2?
0.001.5
1x?
4.当x?
时,y?
1x2?
1,问x等于多少,使当|x|>
x时,|y?
1|<
0.01?
解要使?
0.01,只|x|?
3?
397,x?
.0.01
5.证明函数f（x）?
|x|当x?
0时极限为零.
x|x|
6.求f（x）?
?
（x）?
当x?
0时的左﹑右极限,并说明它们在x?
0时的极限是否存在.
xx
证明因为
x
limf（x）?
lim?
lim1?
1,
xx?
limf（x）,?
所以极限limf（x）存在.
因为
1,?
0xx|x|x?
1,xx?
（x）,?
所以极限lim?
（x）不存在.
7.证明:
若x?
及x?
时,函数f（x）的极限都存在且都等于a,则limf（x）?
a.
证明因为limf（x）?
a,limf（x）?
a,所以?
>
0,
x1?
0,使当x?
x1时,有|f（x）?
a|?
;
x2时,有|f（x）?
.
取x?
max{x1,x2},则当|x|?
x时,有|f（x）?
即limf（x）?
8.根据极限的定义证明:
函数f（x）当x?
x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明先证明必要性.设f（x）?
a（x?
x0）,则?
0,使当0<
x0|<
时,有
|f（x）?
a|<
因此当x0?
<
x<
x0和x0<
x0?
时都有
这说明f（x）当x?
x0时左右极限都存在并且都等于a.再证明充分性.设f（x0?
0）?
f（x0?
a,则?
0,?
1>
0,使当x0?
1<
x0时,有|f（x）?
a<
2>
0,使当x0<
x0+?
2时,有|f（x）?
取?
min{?
1,?
2},则当0<
时,有x0?
x0及x0<
2,从而有
|f（x）?
即f（x）?
x0）.
9.试给出x?
时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.
解x?
时函数极限的局部有界性的定理?
如果f（x）当x?
时的极限存在?
则存在x?
0及m?
使当|x|?
x时?
|f（x）|?
m?
证明设f（x）?
）?
则对于?
当|x|?
有|f（x）?
所以|f（x）|?
a?
|a|?
这就是说存在x?
其中m?
升级会员 