北师大版八年级数学上册第1章勾股定理培优试题文档格式.docx
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以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+S″与S的关系（如图1）．问题2：
以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：
以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+S″与S的关系（如图3）．
5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；
图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．
（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．
（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？
请画出拼后的图形（无需证明）．
答案：
1．A【解析】设CN=xcm，则DN=（8-x）cm.由折叠的性质知EN=DN=（8-x）cm，
而EC=
BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，
整理得16x=48，所以x=3．故选A．
2．解：
∵DF=
CD=
DG，∴∠DGF=30°
．∵∠EKG+∠KGE=90°
，∠KGE+∠DGF=90°
，
∴∠EKG=∠DGF=30°
．∵2∠DKG+∠GKE=180°
，∴∠DKG=75°
．
3．解：
（1）根据折叠的性质知：
△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN.∴∠MPN=∠A+∠B=90°
，PM=PN=AM=BN.
故△PMN是等腰直角三角形，AM2+BN2=MN2（或AM=BN=
MN）．
（2）AM2+BN2=MN2.
证明:
如图,将△ACM沿CM折叠，得△DCM，连DN，
则△ACM≌△DCM，∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM.
同理可知∠DCN=∠BCN，△DCN≌△BCN，DN=BN，
而∠MDC=∠A=45°
，∠CDN=∠B=45°
，∴∠MDN=90°
∴DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2．
（3）AM2+BN2=MN2；
解法同
（2）．
4．解：
探究1：
由等边三角形的性质知：
S′=
a2，S″=
b2，S=
c2，
则S′+S″=
（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．
探究2：
由等腰直角三角形的性质知：
c2．
则S′+S″=
（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．
探究3：
由圆的面积计算公式知：
πa2，S″=
πb2，S=
πc2．
π（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．
5．解：
（1）如图所示，
根据正方形的面积可得（a+b）2=4×
ab+c2，
即a2+b2=c2．
（2）如图所示．
1.2一定是直角三角形吗
专题判断三角形形状
1.已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2.在△ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且m＞n＞0，
（1）你能判断△ABC的最长边吗？
请说明理由；
（2）△ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明．
3.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
b
6
8
10
c
22+1
32+1
42+1
52+1
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n
（n＞1）的代数式表示a，b，c．
（2）猜想：
以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？
请证明你的猜想．
1．D【解析】∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，
∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，
∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，
即它是等腰三角形或直角三角形．故选D．
（1）a是最长边，其理由是：
∵a-b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n2＞0，
a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）2＞0，
∴a＞b，a＞c，
∴a是最长边.
（2）△ABC是直角三角形，其理由是：
∵b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，
∴△ABC是直角三角形．
（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=22-1，b=2×
2，c=22+1；
n=3时，a=32-1，b=2×
3，c=32+1；
n=4时，a=42-1，b=2×
4，c=42+1.
∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形.
∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
1.3勾股定理的应用
专题最短路径的探究
1.编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱
表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，…，则
每一根这样的竹条的长度最少是______________.
2.请阅读下列材料：
问题：
如图
（1），一圆柱的底面半径和高均为5dm，BC是底面
直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.
小明设计了两条路线：
路线1：
侧面展开图中的线段AC.如下图
（2）所示：
设路线1的长度为
，则
；
比较两个正数的大小，有时用它们的平方来比较更方便哦！
路线2：
高线AB+底面直径BC，如上图
（1）所示，
设路线2的长度为
则
.
.
∴
∴
所以要选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：
“圆柱的
底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的方式进行计算.
请你帮小明完成下面的计算：
___________________；
__________,
∵
∴
（填>
或<
）.
所以应选择路线____________（填1或2）较短.
（2）请你帮小明继续研究:
在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
3.探究活动:
有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为
cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s.
（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）
（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）
1.
【解析】底面周长为a、高为b的圆柱的侧面展开图为矩形,它的边长分别为a,b，所以对角线长为
，所以每一根这样的竹条的长度最少是
2.解：
（1）25+π249＜＜1
（2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2，
l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，
l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h].
r恒大于0，只需看后面的式子即可．
当r=
时，l12=l22；
当r＞
时，l12＞l22；
当r＜
时，l12＜l22．
3.解：
（1）如图，AC=π•
÷
2=9cm，BC=4cm，则蚂蚁走过的最短路径为：
AB=
=
cm，所以
2=
（s），即至少需要
s．
（2）如图，作B关于EF的对称点D，连接AD，交EF于点P，连接BP，则
蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AD，由图可知，AC=9cm，CD=8+4=12（cm）．
所以AD=
=15（cm），15÷
2=7.5（s）
即至少需要7.5s．
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