《光学》课程学习指导2.doc

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《光学》课程学习指导

第二篇波动光学

基本知识

在经典物理的范畴内，光是电磁波的一种，其传播规律遵循麦克斯韦方程组。

由于光也是波，所以描述波的一些基本理论和方法可以用来研究光波，其存在干涉和衍射等现象；但光波与一般的机械波还是有很大的不同，首先其传播不需要任何媒质（虽然光波和媒质存在相互作用），其次光波其传播的量是电矢量和磁矢量，是矢量波（在光波中，由于引起人的视觉效果的主要是电矢量，所以，在光学中，一般只分析电矢量，而且将其近似看成是标量波来处理）。

1、平面波、球面波、定态波的概念

平面波、球面波是依据其波面（等位相面）的形

状来划分的。

定态波：

（1）空间各点的扰动是同频率的简谐振荡（频率与位相相同）；

（2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成一个稳定的振幅分布。

定态平面波：

（1）振幅A（P）是常数，它与场点坐标无关；

（2）位相是直角坐标的线性函数,（其中是常数，是波矢在空间三个直角坐标轴上的分量）。

定态球面波：

（1）振幅A（P）反比于场点到源点的距离，；

（2）位相的分布形式为，其中为波矢，为波场P点相对于源点的位置矢径，为初位相（用正位相表示位相的落后）。

2、复振幅、（相对）强度

复振幅的定义：

，

其中为P点的位相；

共轭波的复振幅：

平面波的复振幅：

；

球面波的复振幅：

；

（相对）强度：

。

3、傍轴条件和远场条件

实质问题：

在什么条件下可把球面波看作平面波，主要是从复振幅大小和位相分布两个方面来考虑。

傍轴条件：

场点到源点的距离要远远大于场点处波前的横向尺度，。

远场条件：

场点到源点的距离要远远大于场点处波前的横向尺度的平方与光波波长的比值，。

注意：

（1）对于长波，傍轴条件蕴涵了远场条件，对于短波，远场条件蕴涵了傍轴条件。

（2）在满足傍轴条件和远场条件时，可把球面波当作平面波来处理，但这里所谓的平面波就一般而言（含轴上和轴外物点情形）与前面所讲的平面波还是有一定的差异：

对于垂直于轴线的确定的平面（是定值）上的各点，振幅是一定的，但不同的平面上振幅是不同的，。

（3）在满足傍轴条件下（）

4、光波的干涉

相干条件：

（1）频率相同；

（2）存在相互平行的振动分量；

（3）位相差恒定。

获得相干光的常见方法：

（1）分波前法：

杨氏干涉、菲涅耳双面镜和双棱镜、洛埃镜；

（2）分振幅法：

薄膜的等厚和等倾干涉、迈克尔逊干涉。

两列相干光的干涉分析：

，（光程差）；

对应于极大；

对应于极小。

干涉实例：

（1）杨氏干涉：

，

一组明暗相间的平行条纹，条纹间距为。

（2）薄膜表面的等厚干涉（不考虑半波损失）：

，

一组明暗相间的平行条纹，（明条纹）（暗条纹）。

正入射时，条纹间的高度差为。

（3）牛顿环（等厚干涉，透镜的上表面是平面，下表面是球面）

干涉条纹为明暗相间的同心圆环

第k级暗纹的半径：

；

主要用来测透镜的曲率半径：

（4）薄膜无穷远处的等倾干涉（不考虑半波损失）

干涉条纹为明暗相间的同心圆环，中心条纹的干涉级最高。

条纹间隔：

∝

（5）迈克尔逊干涉（类似于薄膜的等倾和等厚干涉）

，

条纹间隔：

∝

干涉条纹质量的评价

由条纹的反衬度来描述：

，

光场的空间相干性和时间相干性

扩展光源不同部分发出的光具有独立性，不相干；对于扩展光源的波场中，只有在一定空间范围内（孔径角内）取出的两列光才能具有相干性，。

由于光源发光过程在时间上具有断续性，不存在严格的单色光（波列为无限长的光），在波场取出的两列光波必须在一定的时间范围内（相干时间或相干长度内）相遇才能产生相干，。

5、光波的衍射

衍射的概念

光波在传播的过程中，由于受到其它物质（衍射屏）的作用，波面的传播受到影响，在以后的波场区中，各点的光强分布发生变化，使某些点（区域）的光强变大，另一些点（区域）的光强变弱的现象，称为光的衍射。

衍射的分类

菲涅耳衍射、夫琅和费衍射。

研究光的衍射的常见方法

处理问题的核心思想是次波相干，具体的有矢量图

解法、复振幅法，还有菲涅耳半波带近似法。

要注意

各种处理方法的优缺点和基本思路。

（1）矢量图解法：

将次波的复振幅用矢量来表示（矢量的大小表示次波复振幅的大小，方向表示次波复振幅的位相），按照矢量合成的方法分析出衍射的复振幅或强度的分布规律。

（2）菲涅耳衍射积分公式

：

衍射场中任一点P的复振幅；为比列系数，;：

波面上的面元；是面元上Q点的复振幅;：

倾斜因子，其中分别是场源和场点P相对于面元的方位角；：

面元到场点P的距离；：

球面波的位相因子。

（3）菲涅耳半波带法

（a）菲涅耳半波带法是处理次波相干的一种近似的简单的方法；

（b）将波前分解一系列环形波带，每一个环形波带到光场中某一点（任选的一个要分析的点）点的光程差依次相差半个波长（所以称为半波带法）。

（c）每一个半波带上发出的次波波源近似看成具有相同的复振幅大小，到达P点的复振幅位相差为（反相）；

（d）考虑到倾斜因子的影响，每一个半波带在点的复振幅的大小随其到达点光程的增大缓慢变小，最后趋近于零；

（e）点的复振幅是这些半波带在点的复振幅的相干叠加。

（f）相干叠加的方法有矢量法和复振幅求和法两种。

光波衍射的常见实例分析

（1）菲涅耳圆孔衍射（采用半波带法分析、爱里斑）

（2）夫琅和费衍射单缝衍射

矢量图解法：

如图所示，将单缝分解为一系列等宽的窄条带（n条），每一个窄条带在处的振动矢量分别为：

，，，……，。

它们大小相等，但位相不同，

相邻两个的小矢量间的位相

差为，其中，

由矢量图解法可知：

，

，

，

即为点的振幅。

，

其中：

为衍射角，

为缝宽，、分别为零级振幅和强度。

夫琅和费单缝衍射因子特点

（a）夫琅和费单缝衍射因子的表达式为：

或，为衍射角，为缝宽；

（b）其给出了主极强的位置：

即时，出现主极强；

（c）其给出了次极强（高级衍射斑）的位置：

衍射角满足

时出现次极强。

（d）其给出了各次极强的强度：

，，

（e）其给出了零点（暗斑）的位置：

衍射角满足

，时出现零点；

（f）主极强的角宽度为：

，

次极强的角宽度为：

。

（3）衍射光栅

矢量法图解法分析

正入射

△L=dsinθδ=2π△L/λδ=2πdsinθ/λ

δ=2β（OCB1为等腰三角形）

2OCsinβ=OB1=aθ

OC=aθ/2sinβ

等腰△OCBN的顶角Nδ=2Nβ

∴总振幅的振幅

Aθ=OBN=2OCsin（Nβ）=aθsin（Nβ）/sinβ

即:

Aθ=a0（sinα/α）（sinNβ/sinβ）

Iθ=a02（sinα/α）2（sinNβ/sinβ）2

其中：

α=πasinθ/λ

β=πdsinθ/λ

（sinα/α）2:

单缝衍射因子

（sinNβ/sinβ）2:

缝间干涉因子

斜入射

如图所示，

考虑衍射角为θ的一束衍射光，始于单缝上边缘A和下边缘B的两衍射光的光程为：

，

位相差为：

。

由矢量图可得场点的合振幅为：

，

式中：

。

多缝夫琅和费衍射的总振幅为N个的相干迭加。

相邻缝间对应点的光程差为：

位相差为：

。

由矢量图可得总振幅为：

所以，强度分布为：

式中。

夫琅和费缝间干涉因子特点

（a）夫琅和费多缝干涉缝间干涉因子的表达式是：

或，为衍射角，为光栅常数；

（b）其给出了主极强的位置：

，

（c）其给出了主极强的强度：

（d）其给出了零点的位置：

，；其说明在两个主极强之间有N-1个暗线，有N-2个次极强。

（e）由其可以确定出主极强的半角宽度为：

。

光栅光谱仪

光栅方程（公式）：

sinθ=kλ/d（主极强位置）。

色散本领：

为了描述波长差δλ的两条谱线其角间隔δθ或在幕上的距离Δl有多大；

角色散本领定义：

Dθ=δθ/δλ=

k/dcosθk；

线色散本领定义：

Dl=δl/δλ=kƒ/dcosθk；

色分辨本领公式为：

R=λ/δλ

=Nk；（瑞利判据）

缺级现象：

当单缝衍射因子的零点正好与某级主级强的位置重叠时出现缺级现象。

条件：

，。

例题

1（P180,习题3）、两束相干的平行光束，传播方向平行与x-z面，对称的斜射入在记录介质（x-y面）上，光波的波长为0.6328μm,

（1）当两束光的夹角为10°时，干涉条纹的间距为多少？

（2）当两束光的夹角为60°时，干涉条纹的间距为多少？

（3）如果记录介质的空间分辨率为2000条/mm，这介质能否记录上述条纹？

。

[解答]：

由题意可知，这是两束平面光波的干涉，干涉条纹与x轴正交，即平行于y轴。

条纹间的间距为：

，。

式中，如图所示。

（1）当时，；

（2）当时，；

（3）对应的空间频率：

，，。

均小于记录介质的空间分辨率，所以，该介质可以记录上述两种条纹。

2（P180,习题4）、在一焦距为的薄凸透镜的物方焦面上有O、Q两个相干的点光源，O点在光轴上，Q点到光轴的距离为a（满足傍轴条件）。

（1）试分析像方焦面上接收到的干涉条纹的特征（形状、间距和取向）。

（2）如果将F′上的屏幕向背离透镜的方向平移，其上干涉条纹有何变化？

[解答]：

（1）如图所示，在后焦面上为两束平行光干涉，其干涉条纹为明暗相间的平行于轴的平行条纹。

只要算出两束平行光相对于接收平面的倾角来，就可以得出条纹间的距离。

由题意可得：

，，

条纹间距为：

。

（2）当接收屏幕移动时，由于两平行光束的倾角不变，所以条纹的形状、间距、取向都不变，但条纹总体上发生移动。

当Q在x轴上方，且屏幕移远时，条纹向下移动，同时由于两光束的交叠区变小，干涉条纹数将会减少。

3（P181,习题7）、如图所示，一列平面波正入射于z=0面上，与一列球面波在傍轴范围内发生干涉，试分析其条纹特征。

[解答]：

由题意可以写出xy平面上平面波和傍轴球面波的复振幅分布函数：

，

。

式中，=常数，为两列波在原点O处的位相差。

在xy平面上总的复振幅分布为：

干涉强度分布为

式中，，它是xy面上任一场点两列干涉播的位相差。

常数的轨迹即为等强度的轨迹，也即为干涉条纹的轨迹。

所以，任一干涉条纹的轨迹方程为

常数

这是中心在坐标原点的圆的标准方程，由此可以知道，干涉条纹是一系列同心圆环。

圆心处是亮还是暗，取决于的值。

第n条亮环的条件为

，

由中心向外第n条亮环的半径为

4、波长为500nm的单色平行光照射间距为0.2mm的双缝，通过其中一缝的能量为另一缝能量2倍，在离双缝50cm的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

【解答】：

已知：

λ=500nm、d=0.2mm、r0=50cm

由：

可解得干涉条纹间距为：

设通过一缝的能量为I1，另一缝的能量为2I1，则对应通过两缝的光