三角函数的最值(专题).doc

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三角函数的最值（专题）

一、知识要点

1、配方法求最值

主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数的最值，可转化为求函数上的最值问题。

2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：

，其中tan=.

3、（或）型，解出（或）利用（或）去解；或用分离常数的方法去解决.

4、数形结合

形如：

（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当时，还可以利用数形结合的方法去处理.常用到直线斜率的几何意义，例如求函数的最大值和最小值。

函数的几何意义为两点连线的斜率，

5、换元法求最值

对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。

*特别说明

注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

二、题型剖析

1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。

例1：

求函数的最值，并求取得最值时的值。

练习：

1、已知函数。

（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

2．已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；

3．已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。

例2已知函数。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。

练习：

1、求函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－，］上的最小值？

2、函数的最小值为（）.

A．2B.0C.D.6

3、求函数y=5sinx+cos2x的最值

4、是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？

若存在，求出对应的a值？

若不存在，试说明理由。

例题3。

y=的最大值是_________，最小值是_________.

练习：

1函数y=的最大值是_______，最小值是_______.

2、求函数的值域________

3、求函数的值域________

例4

求函数y=的最大值和最小值.

1、y=（0＜x＜π）的最小值是________.

2、求函数的最大值________.

3、换元法解决同时出现的题型。

例5．求函数的最小值

练习：

1、求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域.

2、函数的最大值为最小值为

[思维点拨]：

遇到与相关的问题，常采用换元法，但要注意的取值范围是，以保证函数间的等价转化

小结：

求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理.

基本类型

（1）（或）型，可令（或），，化归为闭区间上二次函数的最值问题.

（2）型，引入辅助角，化为，利用函数即可求解.

（3）（或）型，解出（或）利用（或）去解；或用分离常数的方法去解决.

（4）（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当时，还可以利用数形结合的方法去处理.

（5）对于含有的函数的最值问题，常用的方法是令将转化为的关系式，从而化归为二次函数的最值问题.

（6）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论.

三、巩固练习：

1、当时，函数的最小值为（）

（A）2 （B） （C）4 （D）

2、已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k（cosx－1）的最小值是（）

（A）1（B）－1（C）2k＋1（D）－2k＋1

3、设，对于函数，下列结论正确的是（）

A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值

C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值

4、已知函数,则的值域是（）

（A）（B）（C）（D）

5、函数y=sin2+4sinx,x的值域是（）

（A）［-,］（B）［-,］（C）［］　（D）［］

6、设函数为常数）的最大值为1，最小值为-7，那么的最大值是.

7、设实数x,y,m,n满足m2+n2=a,x2+y2=b（a,b是常数，且ab），那么mx+ny的最大值是.

8、已知函数，.求:

（I）函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；（II）函数的单调增区间.

9、求函数＝2＋的值域和最小正周期．