高中数学必修二《空间图形与平面图形》教案.doc
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高中数学总复习第二轮专题讲座第四讲共6页第6页2003年4月11日星期五
空间图形与平面图形
【概述】
1．立体几何是平面几何的继续与发展.平面几何研究平面图形（由同一个平面内的点、线构成的图形）的形状、大小和位置关系；立体几何的研究空间图形（由空间的点、线、面构成的图形）的性质、画法、计算，以及它们的应用，主要表现为空间位置关系的判断、空间角与距离的计算以及特殊几何体的有关面积与体积的计算；
2．研究立体几何的主要思想方法是：
空间问题平面化；
3．观察、类比、空间想象，作图、识图、计算等是研究立体几何的必备技能.
【问题解决】
一、空间角与距离
1．空间角主要有：
异面直线所成角（定义、度量、范围）、直线与平面所成角、二面角；
2．平行与垂直等位置关系可以看成是特殊的角；
3．空间距离主要有：
点与线的距离、点与面的距离、线与线（平行、异面）的距离、线与面的距离、面与面的距离等
A
B
C
D
.
例1已知正四面体ABCD的棱长为a.
（1）求点A到面BCD的距离；
（2）求AB与面BCD所成角；
（3）求二面角A－CD－B的大小；
.
例2如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，且PA=AB=2BC=2.
（1）求证AD∥面PBC；
（2）求证面PBC⊥面PAB；（3）求点A到面PBC的距离；（4）求异面直线PC与AD所成的角.
AB
DC
P
例3已知P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，且PA=AB=a.求：
（1）PC与平面ADP所成角；
（2）面PCD与面ABCD所成角；（3）AP与面CDP所成角；（4）面PAB与PCD所成角；（5）点D到面PBC的距离；（6）若E、F分别为BC、CD的中点，求A到面PEF的距离和直线BD到面PEF的距离.
AB
DC
P
例4在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1C1D1的中心，求：
AB
DC
A1B1
D1C1
E
（1）AE与面ABCD与成的角；
（2）AE与A1C所成的角；（3）AE与面ABB1A1与成的角；（4）AE与BD1所成的角.
O
AB
DC
A1B1
D1C1
G
例5在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，G为CC1的中点.
（1）求证：
A1O⊥面GBD；
（2）求异面直线A1O与D1G所成角的余弦值；
（3）求异面直线AC与D1G所成角的正弦值.
AB
DC
A1B1
D1C1
例6已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，侧棱AA1和AB、AD所成的角相等，且.
（1）求证：
对角面ACC1A1⊥底面ABCD；
（2）求证：
对角面BB1D1D是矩形；
（3）若∠BAD=60º，AA1=AB，求二面角B1－BD－C的大小.
A
B
C
D
α
β
例7已知平面α//平面β，AB与CD是夹在平面α与平面β之间的两条线段，若AB与平面α所成的角为30°，且AB⊥CD，AB=2.
（1）求平面α与平面β的距离；
（2）求线段CD的取值范围
例8已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为a，侧棱长为2a.
（1）求点B1到面A1BC1的距离；
（2）求二面角A1－BC1－B1的正切值；
（3）求异面直线AC1与B1C所成的角；
（4）若E是BB1上的点，异面直线AE与A1D所成的角是60º，求BE的长.
AB
DC
A1B1
D1C1
E
例9如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.
（1）证明AB1∥平面DBC1；
（2）假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.
例10如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.
（Ⅰ）求证:
BE=EB1；
（Ⅱ）若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数.
例11已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求证AB1=A1C.
AB
C
A1B1
C1
二、折叠与展开
折叠、围圈、旋转是将平面图形扩展生成空间图形的主要途径.在生成的空间图形中，各相关元素的位置关系与数量关系，既与原平面图形中的相关元素的位置关系与数量关系有关联，又会形成新的位置关系与数量关系，这些变化都与生成过程有关.
射影、展开、截面是将空间图形转化为平面图形的主要途径和方法.这些途径和方法既用于空间直线与平面位置关系的判定，又用于空间几何量（角、距离、面积、体积等）的计算，是分析和解决空间图形各种问题的基本思路之一，也是化归思想“空间问题平面化”的具体体现.
例12把边长为a的正ΔABC沿其高AD折成60°的二面角.
（1）求BC的长；
（2）求二面角A－BC－D的度数；（3）求二面角A－CD－B的度数.
BDC
A
DC
B
A
AEB
DC
E
P
DC
例13如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如果将ΔDAE和ΔCBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为度.
例14已知长方形ABCD中，AB=4，BC=3，把长方形沿对角线AC折成一个二面角，此时D在面ABC上的射影E在AB上.
（1）求证：
面ABD⊥面BCD；
（2）求BD的长；（3）求二面角D－AC－B的度数.
AB
DC
AC
B
D
E
例15如图，在ΔABC中，ACB=90º，D、E分别是AC、AB的中点，沿DE将ΔADE折起，使点A到A´的位置，且平面A´DE⊥平面ABC，设M是A´B的中点.
（1）求证：
ME∥平面A´CD；
（2）求证：
ME⊥平面A´BC；
（3）若，求直线A´B与平面ABC所成角的正切值；
（4）若RtΔABC中，，，求点C到平面A´BE的距离.
BEA
C
D
A´
M
例16把边长为a的正方形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H，沿对角线BD将正方形折成直二面角.
D
C
A
B
EH
FG
（1）证明四边形EFGH是矩形；
（2）求四边形EFGH的面积；
（3）求面EFGH与面BCD所成角的大小；
例17如图，在边长为a的正三角形三个角处各剪去一个相同的四边形，用余下的部份做成一个无盖的正三棱柱容器，则此容器的高是多少时，容器的容积最大？
最大值是多少？
O
CD
BA
N
M
O1
例18如图，一扇形铁皮AOB的圆心角为60º，半径OA=72cm.现剪下一个扇环ABCD做圆台形容器的侧面，并从余下的扇形OCD内下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台的下底面大于上底面），若不计焊接，则OC的长为.
例19已知RtΔABC中，∠C=90º.设BC=a，CA=b，AB=c，以AB边所在直线为轴将ΔABC旋转一周生成的旋转体的侧面积为S1，ΔABC的内切圆面积为S2.
（1）求S1，S2；
（2）设，试将表示为x的函数f（x），并求函数的定义域；
（3）判断函数f（x）的单调性，并求函数的最小值.
例20关于直角ΔABC在已知平面α内的射影，有如下判断：
①可能是一条线段；②可能是一个锐角三角形；③可能是一个直角三角形；④可能是一个钝角三角形；⑤可能是一个点.其中正确判断的序号是.（注：
把正确判断的序号都填上）
例21如图，在正三棱锥A-BCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，E、F分别是侧棱AC、AD上的动点，求截面ΔBEF的周长的最小值，及相应的E、F的位置.
A
C
BD
E
F
例22已知圆台的轴截面的两条对角线互相垂直，上下两底面半径之比为3：
4，圆台的侧面积为，求圆台的母线长.
三、综合问题（接与切，割与补，简单组
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