九年级数学第二章 小结与复习Word文件下载.docx
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命题一般可以写作“如果……，那么……”或“若……，则……”的形式。
（3）分类：
命题包括真命题和假命题两类。
4.公理、定理、证明：
人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，称为公理。
通过推理论证、判断其为真命题，称为定理。
推理的过程叫做证明。
5.命题与逆命题：
两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
任何一个命题都有其逆命题，但一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以，不是所有的定理都有其逆定理。
6.证明的一般步骤：
（1）弄清题意，能正确画出图形。
（2）根据题意和图形，写出“已知”和“求证”。
（3）条理清晰地写出证明过程。
（4）检查表达过程是否正确、完善。
【典型例题】
例1.请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题。
（1）直角都相等。
（2）如果两个数中有一个数是正数，那么这两个数之和是正数。
（3）对角相等的平行四边形是矩形。
分析：
写逆命题应先弄清命题的条件和结论。
解：
（1）相等的角是直角。
（假命题）
（2）如果两个数之和是正数，那么两个数中有一个数是正数。
（真命题）
（3）矩形是对角相等的平行四边形。
说明：
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。
例2.有一次四人游泳比赛，比赛前，四名选手A、B、C、D进行预测性会谈，A说：
“我肯定得第一名”，B说：
“我绝对不会得最末名”，C说：
“我不可能是第一名，也不会得最后一名”，D说：
“那只有我是最末的！
”。
经过比赛成绩揭晓，发现他们之中只有一位预测错误，请指出是哪一位选手？
分析：
我们先将四人谈话内容列出表格，再来讨论。
从表中可看出D没有估计错误。
如果D预测错误，那么自然另有一个选手预测错了，否则就不会出现最末名；
如果C预测错误，则他在这次比赛中应得第一名或第四名，但在此情况下，第一名和第四名已分别由A和D占据；
如果B预测错误，则他只能是第四名，这里D也成了预测者，但按条件，预测错误的只有一人。
因此预测错误的只能是A，他应是第二名或第三名。
这样，名次可能是：
（1）第一名：
B，第二名：
A，第三名：
C，第四名：
D；
（2）第一名：
C，第三名：
A，第四名：
D。
这类题型主要是训练同学们的逻辑推理能力，让同学们看到逻辑推理在解决问题的价值，同时体验到用逻辑思维方法成功的快乐。
例3.有一矩形钢板ABNM，现加工成零件形状，如图，按规定∠ADE、∠BCE应分别是45°
和55°
，检验工人量得∠DEC＝95°
，就非常肯定地判定这个零件不合格，你能说明这是为什么吗？
这也是一道训练逻辑思维的题目，零件是否合格、取决于角度之间是否相等。
即若∠ADE＋∠BCE＝∠DEC，则零件合格，否则零件不合格。
过E作EF∥AD
∴∠ADE＝∠FED
又AM∥BN，∴EF∥BC
∴∠FEC＝∠ECB
现量得∠DEC＝95°
∴这个零件不合格
例4.如图，已知AB∥CD，EF交CD于H，交AB于I，EG⊥AB，垂足为G，若∠GHE＝125°
，求∠FEG的度数。
略
∵AB∥CD，∠CHE＝125°
（已知）
∴∠AIE＝∠CHE＝120°
又EG⊥AB（已知）
∴∠EGI＝90°
（垂直定义）
又∠AIE是△EIG的一个外角
∴∠AIE＝∠FEG＋∠EGI
例5.证明：
顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形。
已知：
如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC⊥BD。
求证：
四边形EFGH是矩形。
要证四边形EFGH是矩形，先需证明它是平行四边形。
由于E、F、G、H分别是各边中点。
由三角形中位线定理易证EFGH是平行四边形，再根据AC⊥BD去证明EFGH中有一个角为直角即可。
证明：
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点（已知）
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，EF∥AC
∴∠1＝90°
又EH∥BD（三角形中位线定理）
∴∠2＋∠1＝180°
即∠2＝90°
∴四边形EFGH是矩形
例6.先阅读第
（1）问的题目及证明过程，然后完成
（2）问的问题。
（1）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，E为CD中点。
AE⊥BE
过点E作EF∥BC交AB于F
∵E是CD的中点
∴F是AB的中点
∴EF是梯形ABCD的中位线
（2）在第
（1）题的证明过程中，第_________步（填写
（1）题中证明步骤中的序号），我们用到了定理：
“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
”
现在请你证明这个定理（要求写出已知、求证和证明）。
本题
（1）中第<
4>
步的理由是定理“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
”，证明如下：
△ACB是直角三角形。
∵CD是AB边上的中线
即∠ACB＝90°
∴△ACB是直角三角形
这类阅读理解题近年来越来越常见，主要考查同学们阅读理解和自学能力，希望同学们加强这方面的训练。
【模拟试题】
（答题时间：
70分钟）
一.选择题。
1.给出下列语句：
（1）连结AB并延长到C；
（2）对顶角不相等；
（3）求线段AB的长度；
（4）全等三角形的周长相等。
其中是命题的有（）
A.仅有（4）
B.
（2）（4）
C.
（2）（3）（4）
D.
（1）
（2）（3）（4）
2.下列命题中是真命题的是（）
A.同位角相等
B.两条直线或者相交，或者平行
C.同旁内角相等，两直线平行
D.在同一平面内，过一点能作且只能作一条直线与已知直线垂直
3.下列命题正确的有（）
（1）若
，则
；
（2）若∠1＝30°
，∠2＝30°
，则∠1＝∠2；
（3）若
（4）两条直线相交，有且只有一个交点。
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.“两直线相交成直角，称这两条直线互相垂直”是（）
A.公理B.定理C.定义D.命题
5.下列命题的逆命题是假命题的是（）
A.平行四边形的对角线互相平分
B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C.若
D.矩形的对角线相等
6.如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，AB∥CD，则∠AEC的度数为（）
A.70°
B.80°
C.180°
D.90°
7.正方形具有而菱形没有的性质有（）
A.对角线互相平分
B.每一条对角线平分一组对角
C.对角线相等
D.对边相等
8.已知：
如图，∠ADB＝∠ACB＝90°
，AD＝BC，AC与BD交于O，有下列结论：
（1）AC＝BD；
（2）∠DBC＝∠CAD；
（3）AO＝BO；
（4）AB∥CD。
其中正确的是（）
A.
（1）
（2）（3）B.
（2）（3）（4）
C.
（1）
（2）（4）D.
（1）
（2）（3）（4）
9.如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于E，给出三个论断：
（1）DE＝EF；
（2）AE＝CE；
（3）FC∥AB
以其中一个论断为结论，另两个论断为条件，可得出三个命题，其中正确的命题个数是（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
10.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰在DC上，下面的结论：
（1）AP⊥BP；
（2）PD＝PC；
（3）点P到直线AD、BC的距离相等。
其中正确的结论是（）
A.
（1）
（2）（3）B.
（1）（3）
C.仅
（1）D.仅（3）
二.填空题。
1.把命题“平行四边形两组对边分别相等”改写成“如果……，那么……”的形式是_____________________________。
2.命题“邻补角的平分线互相垂直”的条件是_____________________________，结论是_________________________________。
3.给出定理：
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：
________________
____________________________________________。
4.如图，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝70°
，则∠BEC＝___________。
5.如图，△ABC中，∠ACB＝90°
，
，D为AB的中点，DE⊥AC于E，则△CDE的周长为___________。
6.已知正数a和b，有下列命题：
（2）如果
（3）如果
。
根据以上三个命题所提供的规律写出一个命题：
若
___________，这个命题是__________命题（填“真”或“假）。
三.解答题。
1.举反例说明下列命题是假命题。
（1）两个无理数的和仍是无理数。
（2）互补的两个角一个是锐角，一个是钝角。
2.求证：
等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端的距离相等。
3.如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。
4.用反证法证明：
一个三角形中，不能有两个角是直角。
5.A、B、C三人在一起争论一个问题时，A指责B说谎话，B指责C说谎话，C指责A和B都说谎话，现请你推测一下，到底谁说真话？
谁说谎话？
6.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°
角的三角尺与菱形ABCD叠合，使三角尺的60°
角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A逆时针旋转。
（1）当三角尺两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时［如图
（1）］，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？
并证明你的结论。
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时［如图
（2）］，你在
（1）中得到的结论还成立吗？
简要说明理由。
试题答案
1.B2.D3.D4.C5.D
6.D7.C8.D9.D10.A
1.如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别相等。
2.条件：
两个角是邻补角，结论：
它们的平分线互相垂直。
3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4.125°
5.
6.
，真
1.
（1）如：
两个无理数分别为
和
，是有理数。
（2）如：
，但这两个角为直角。
2.已知：
如图△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于点O。
OB＝OC
提示：
先证△BCE≌△CBD，得∠OBC＝∠OCB即可。
3.提示：
△ADE≌△FAB（DE＝DC＝AB，∠AED＝∠B＝90°
，∠DAE＝∠BFA，利用AD∥BC可得。
）
4.已知：
△ABC中
△ABC中不能有两个直角
假设△ABC中能有两个角是直角
不妨设∠A＝∠B＝90°
，则∠A＋∠B＝180°
∴∠A＋∠B＋∠C＞180°
这与“三角形三内角和等于180°
”相矛盾。
∴假设△ABC中能有两个角是直角不成立
∴△ABC中不能有两个直角
5.B说真话，A和C说谎话。
6.
（1）如图
（1），BE＝CF
证△ABE≌△ACF（ASA）
（2）如图
（2），BE＝CF
∵△ABC、△ACD为等边三角形
∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADC＝60°
∴∠ACE＝∠ADF＝120°
又∠CAD＝∠EAF＝60°
∴∠CAE＝∠DAF（等量减等量）
∴△ACE≌△ADF（ASA）
∴CE＝DF
∴CE＋BC＝DF＋CD
即BE＝CF
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