二元函数极限证明完整版文档格式.docx
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本文就二元函数极限的问题作如
下探讨。
第四篇:
二元函数的极限与连续
§
3二元函数的极限与连续
定义
设二元函数有意义,若存在
常数a,
都有
则称a是函数当点趋于点
或
趋于点时的极限,记作
。
的方式无关,即不,当(即)时,在点的某邻域内或
必须注意这个极限值与点
论p以什么方
向和路径(也可是跳跃式地,忽上忽下地)趋向
分接近,就能使。
只要p与充与a接近到预先任意指定的程度。
注意:
点p趋于点点方式可有无穷多
种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多(图8-7)。
图8-7
同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时,
极限
在该点
存在,但不相等,则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。
极限不存在。
这是判断多
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论,在二元函数极
限理论中都适用,在这里就不一一赘述了。
例如若
有
其中
求多元函数的极限,一般都是转化为一元函数的极限来求,或利用夹逼定理
来计算。
例4求。
解由于
而
根据夹逼定理知
所以。
a≠0)
解
例
求
(
例6求。
由于理知
且,所以根据夹逼定
.例7
研究函数
在点
处极限是否存在。
解当x2
+2≠0时,我们研究函数,沿x→0,=kx→0这一方式趋于
(0,0
)的极限,有值,可得到不同的极限值,所以极限
不存在,但
。
很显然,对于不同的k
极限方式的
的区别,前面两个求
本质是两次求一元函数的极限,我们称为累次极限,而最后一个是求二元函数的
极限,我们称为求二重极限。
例8
设函数极限都不存在,因
为对任何
当
时
它关于原点的两个累次
的第二项不存在极限;
同理对任何
时,的第一项也不存在极限,
但是因此
由例7知,两次累次极限存在,但二重极限不存在。
由例8可知,二重极限存
在,但二个累次极限不存在。
我们有下面的结果:
定理1若累次极限
都存在,则
三者相等(证明略)。
推论
若但不相等,
则二重极限
不
存在
和二重极
限
由于
存在。
定义设
在点的某邻域内有意义,
且称
函
数
则
在
点
处
连
续
记
上式称为函数的全增
量
则。
增量。
为函数对x的偏
二元函数连续的定义可写为
偏增量。
若
断点,若
为函数(值)对的
处不连续,
则称点
是
的间
在某区域
在区域g上连续。
在闭区域g
g上每一点都连续,则称的每一内点都连续,并在g的连界点
处成立
则称
为连续曲面。
在闭域g上连续。
闭域上连续的二元函数的图形称
关于一元函数连续的有关性质,如最值定理、介值定理、antor
定理,对于
二元函数也相应成立。
可以证明如下的重要结果:
定理2设
在平面有界闭区域g上连续,则
(1)必在g上取到最大值,最小值及其中间的一切值;
(2
)
时,都有
以上关于二元函数的
在g上一致连续,即
极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。
第五篇:
函数极限的证明
时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的
单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§
2函数极限的性质
教学目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
教学难点:
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
附送:
二分钟英语演讲稿
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第三篇:
2分钟英语演讲稿
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tanttostud.ibeesilent.ibeepuXXled.idon'
tknohatiandointhefuture.thenibeeunhapp.
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3分钟英语演讲稿
hi,
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thankou.
英语演讲稿3分钟
aseveroneknos,englishisverimportanttoda.ithasbeenusedeverhereintheorld.ithasbeethemostmonlanguageoninternetandforinternationaltrade.ifeanspeakenglishell,eillhavemorehanetosueed.beausemoreandmorepeoplehavetakennotieofit,thenumberofthepeoplehogotolearnenglishhasinreasedatahighspeed.
butformself,ilearnenglishnotonlbeauseofitsimportaneanditsusefulness,butalsobeauseofmloveforit.henilearnenglish,ianfeeladifferentaofthinkinghihgivesmemoreroomtotouhtheorld.henireadenglishnovels,ianfeelthepleasurefromthebookhihisdifferentfromreadingthetranslation.henispeakenglish,ianfeeltheonfidentfrommords.heniriteenglish,ianseethebeauthihisnotthesameasourhinese
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ialsoanttousemgoodenglishtointrodueourgreatplaestotheenglishspokenpeople,ihopethattheanloveourountrlikeus.
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