初中数学竞赛专题选讲(初三.3)配方法.doc

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初中数学竞赛专题选讲（初三.3）

配方法

一、内容提要　

1.配方：

这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式

（a±b）2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.

常用的有以下三种：

①由a2+b2配上2ab，　②由2ab配上a2+b2，　③由a2±2ab配上b2.

2.运用配方法解题，初中阶段主要有：

①用完全平方式来因式分解

例如：

把x4+4因式分解.

原式＝x4+4＋4x2－4x2=（x2+2）2－4x2＝……

　　　这是由a2+b2配上2ab.

②二次根式化简常用公式：

，这就需要把被开方数写成完全平方式.

例如：

化简.

我们把5－2写成2－2＋3

＝－2＋

＝（－）2.

这是由2ab配上a2+b2.

③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0，∴当a=0时，　a2的值为0是最小值.

例如：

求代数式a2+2a－2的最值.

∵a2+2a－2=a2+2a+1－3=（a+1）2－3

当a=－1时,a2+2a－2有最小值－3.　　

这是由a2±2ab配上b2

④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.

例如:

：

求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x,y.

解：

方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0.

配方的可化为　（x+1）2+（y－2）2=0.

　　要使等式成立，必须且只需.

解得　　

此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.

二、例题

例1.因式分解：

a2b2－a2+4ab－b2+1.

解：

a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+（－a2+2ab－b2）　（折项，分组）

＝（ab+1）2－（a－b）2　　　　　　（配方）

＝（ab+1+a-b）（ab+1-a+b）　（用平方差公式分解）

　　本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.

例2.化简下列二次根式：

①；　　　②；　　　　③.

解：

化简的关键是把被开方数配方

①＝＝

＝＝2＋.

②＝＝＝

＝＝.

③＝

＝　

＝＝＝

=2－.

例3.求下列代数式的最大或最小值：

　　　①　x2+5x+1；　　②　－2x2－6x+1.

解：

①x2+5x+1＝x2+2×x+－+1

＝（x+）2－.

∵（x+）2≥0，其中0是最小值.

即当x=时，x2+5x+1有最小值－.

②－2x2－6x+1＝－2（x2+3x-）

=－2（x2+2×x+－）

＝－2（x+）2+

∵－2（x+）2≤0，其中0是最大值，

∴当x=－时，－2x2－6x+1有最大值.

例4.解下列方程：

①x4－x2+2xy+y2+1=0；　②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.

解：

①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0.（折项，分组）

　　　（x2－1）2+（x+y）2=0.　　　　　　（配方）

根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.

　　　　　得　

∴或

②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0.（折项，分组）

（x+y）2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0.

（x+y+3）2+（y－1）2＝0.　　　　　　（配方）

∴　　∴

例5.已知：

a,　b,　c,　d都是整数且m=a2+b2,　n=c2+d2,　则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.　　　　　（1986年全国初中数学联赛题）

解：

mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2++a2d2+b2c2+b2d2

=a2c2+b2d2+2abcd+a2d2+b2c2－2abcd（分组，添项）

=（ac+bd）2+（ad-bc）2

例6.求方程　x2+y2-4x+10y+16=0的整数解

解：

x2-4x+16+y2+10y+25=25（添项）

（x－4）2+（y+5）2＝25　　　　（配方）

∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.

∴

由得

同理，共有12个解……

三、练习

1.因式分解：

①x4+x2y2+y4；　　②x2-2xy+y2-6x+6y+9；　　③x4+x2-2ax-a2+1.

2.化简下列二次根式：

①　（－＜x<）；　　　

②　（1

③；　　　　　　　　　　④；

⑤；　　　　　　　⑥；

⑦（14＋6）÷（3＋）；　　　⑧（）2＋.

3求下列代数式的最大或最小值：

①2x2+10x+1；②－x2+x-1.

4.已知：

a2+b2－4a－2b+5.求：

的值.

5.已知：

a2+b2+c2=111,ab+bc+ca=29.求：

a+b+c的值.　

6.已知：

实数a,b,c满足等式a+b+c=0,abc=8.

试判断代数式值的正负.　（1987年全国初中数学联赛题）

7.已知：

x=.

求：

.　（1986年全国初中数学联赛题）

练习题参考答案

1.　②（x－y－3）2

2.①8，　　②0.5x，　③3－2，　　④，　　⑤2＋，　　⑥

　⑦3＋，　　　⑧7－2x　（x≤3）

3.　①当x=－时，有最小值－　　　　②x=1时，有最大值－

4.　a=2,　b=1代数式值是3＋2

5.　±13　　　　6.负数。

由（a+b+c）2=0　得出ab+ac+bc<0

4.值为5。

　先化简已知为4－，代入分母值为2，　可知x2－8x+13=0

分子可化为（x2+2x+1）（x2－8x+13）+10＝10

5.配方（a－b）2+（b－c）2=0

6.①　　　②　　③

7.　①　　　　②（x-3）2+（y+5）2=9　……