人教版八年级数学下册同步教案第十九章一次函数小结复习.docx
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人教版八年级数学下册同步教案第十九章一次函数小结复习
小结与复习
一、内容和内容解析
1．内容
函数概念及一次函数复习．
2．内容解析
函数是反应变量之间对应关系和变化规律的重要模型，它在研究自然界和现实生活中的运动变化问题中有着广泛的应用．函数也是中学数学的核心内容，是联系方程和不等式等相关知识的桥梁．
本章，结合实际问题，得到了函数概念，在某一变化过程中，有两个变量x和y，当变量x的值确定时，变量y有唯一确定的值与之对应，则变量x叫自变量，变量y叫做变量x的函数．同时介绍了函数的三种表示方法：
解析式法、列表法和图象法，这三种表示方法各有特点，解析式法能准确反映函数的对应关系，且便于用数学工具研究函数的性质，但反映函数的变化规律和变化趋势不够直观；列表法清楚地列出一些自变量和函数的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，能反映出函数在某一范围内的变化规律和变化趋势，但只能反映有限个点的对应关系，只能反映函数局部的对应关系；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色，但反映的对应关系和变化规律往往是近似的，已知自变量的值，只能求出对应函数的近似值，反映的函数关系不够精确．因此，在研究函数时，一般综合使用三种表示法，写出函数解析式、列表、画出函数图象，观察图象特征，把图象特征转化为变量的对应关系、变化规律和变化趋势．
一次函数y＝kx＋b（k≠0）是一种最基本的函数之一，它刻画了一类常见的变化规律，其图象是一条直线，当k＞0（或k＜0）时，图象从左向右上升（下降），解释为变量之间关系，就是：
函数值y随着自变量x的增大而增大（减小）．进一研究可以发现，一次函数的函数的增量与对应的自变量的增量之比值是一个常数．
函数是联系方程和不等式相关知识的桥梁．从式子看，二元一次方程Ax＋By＝C（B≠0）与一次函数y＝kx＋b（k≠0）可以互相转化；从图象上看，以二元一次方程的解为坐标的点组成的集合和以满足一次函数关系的变量对应值为坐标的点组成的集合都是一条直线．用函数观点看方程和不等式，求方程的解就是已知函数值求对应的自变量的值；求不等式的解集就是已知函数值在某一范围时求对应的自变量的值组成的集合．反映在图象上的结果是：
函数研究整体变化规律和变化趋势，是整条直线；不等式的解是图象上纵坐标在某一范围的一段图象所对应的横坐标的值组成的集合；方程是图象上纵坐标确定的点所对应的横坐标的值．函数的这种桥梁作用反映在所有今后学习的函数上（如二次函数、反比例函数）．
从一次函数研究过程中可以看出，研究一类函数，首先是从某些实际问题中发现特定的变量关系的函数解析式，从解析式角度给出定义；接着画出函数的图象，通过观察图象发现函数的性质；再应用这一类函数及其性质解决实际问题．函数的性质，主要是指函数的增减性，即当自变量增大时，对应的函数值是增大还是减小；其次是对称性.研究函数的性质，从函数解析式出发，画出图象，观察图象发现性质，这是直观地发现函数性质的基本方法．一次函数的这种研究步骤和数形结合的研究方法，贯穿今后函数的学习中．
基础复习课的核心任务是构建知识结构，应用知识解决问题，体会数学思想方法，发展数学认知和元认知．因此，本课教学的重点是：
建立函数一般概念体系和一次函数知识体系，体会数学模型的思想、数形结合的思想和变化与对应的思想．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）能整理本章学习内容，建立相关知识之间的联系，优化知识结构．
（2）会用一次函数模型描述和研究实际问题中的运动变化规律．
（3）进一步体会函数模型思想、数形结合思想及变化和对应的思想．
2．目标解析
目标
（1）要求学生能在教师的帮助下整理知识，建立知识之间的联系，能根据一定的结构和关系叙述出本章的主要知识，如函数的相关概念、函数的表示法，一次函数的概念、图象和性质、一次函数与方程不等式的关系等．
目标
（2）要求学生会用函数的概念及一次函数的概念性质进行推理计算，会根据实际问题的数量关系或待定系数法（在已知是一次函数的情况下）求出函数解析式，能画出函数的图象，根据图象说出函数性质，能用函数的性质解决一些实际问题．
目标（3）要求学生能初步说出数形结合思想，函数模型思想，感受到变化与对应思想．
三、教学问题诊断分析
通过本章新授课的学习，学生初步认识了函数概念及其表示法，知道了一次函数（包括正比例函数）的概念，会用描点法画一些函数的图象，能应用两点法画一次函数的图象，理解了一次函数的性质，并能初步应用一次函数的图象性质解决一些实际问题．但学生对本章的内容没有进行系统整理，没有形成整体视野下的简约的知识体系，知识结构不完善，而且，学生的知识整理能力不强，可能在整理知识体系中出现困难；其次是本章对数形结合思想要求较高，而学生往往没有建立起函数图象和变量变化的紧密联系，难以实现从“图象——性质——解析式”之间的流畅转换；第三，建立函数模型对学生的认知水平（包括数学感知、数学表征、数学思维等）有较高要求，存在着较大困难．
四、教学过程设计
（一）创设线索，回顾知识.
问题1 小王骑自行车从A地到B地办事情，半小时后，小张开汽车沿着同一条路从A地赶往B地．小王的速度是10km/h，小张的速度为60km/h．
（1）用语言描述小王和小张在路上前后位置的变化；
（2）假设小王出发后行驶的时间为xh，小王、小张离A地的路程都是x的函数吗？
如果是，请分别求出函数解析式．
（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象，并从函数角度分析在什么时候小王在前，什么时候小张在前？
师生活动：
教师引导学生从粗略到精细，从定性到定量地分析运动变化过程，运用函数的有关知识解决问题，回顾函数及一次函数的相关知识．
解：
（1）小王先出发0.5h，因此开始时小王在前，小张在后；由于小张的速度比小王快，因此，后来小张追上小王，以后，小张在前．
（2）小王、小张离A地的距离分别都是x的函数．小王离A地路程y与x之间的函数解析式为y＝10x，小张离A地的路程y与x之间的函数解析式是y＝60x－30；
（3）画出这两个这两个函数的图象如下图：
从图上观察，当x＝0.6h时，小张追上小王，以后，小张一直在小张之前．
从解析式看：
当小张追上小王时，10x＝60x－30，x＝0.6，即小王出发0.6h小张追上小王，以后小张一直在前．
设计意图：
通过简单问题解决带出本章核心知识，帮助学生回顾知识．
追问1：
根据这个问题的解决过程，你认为什么是函数？
怎样确定函数的自变量取值范围？
追问2：
函数有哪几种表示方法？
它们各有什么特点？
追问3：
上面问题中出现的函数是什么函数？
这类函数的解析式和图象分别有什么特点？
有什么性质？
追问4：
上述问题中涉及两个一次函数，由上述函数的图象和解析式，你能回忆起一次函数和方程（组）、不等式之间的关系吗？
追问5：
函数主要作用是什么？
函数主要研究什么？
主要的研究方法是什么？
设计意图：
用五个追问帮助学生回顾函数的概念、表示法；一次函数的概念、图象与性质，一次函数与方程（组）、不等式之间的关系．函数的主要作用（研究运动变化规律）、函数主要研究的内容（变量的变化规律和变化趋势）、函数主要的研究思想方法（数形结合）．
（二）整理知识，优化结构
问题2 本章的知识丰富，能用适当的方法把这些知识整理成容易记忆的知识体系吗？
试一试．
师生活动：
教师引导学生整理知识，教师引导的重点是引导学生从宏观到微观、从整体到局部把相关知识进行整合，进行方法引导，如概念图法、分类法、列表法、树形图法、类比法等，有时需要综合运用这些方法进行知识整理．学生知识整理结束后，组织学生进行整理结果的交流，教师进行概括性的引导，给出如下的知识结构图，供学生修订知识整理结果时参考．
设计意图：
引导学生进行独立的知识整理活动，组织知识整理结果的交流活动，优化知识结构，发展知识的组织能力．
（三）基础训练，巩固知识
1．下列各坐标系中的曲线中，表示y是x的函数的是（）．
2．写出下列问题中变量之间的函数解析式和相应的自变量取值范围：
（1）圆环形垫片的外圆半径为12mm，内圆半径为x，垫片面积S（单位：
mm2）随着x的变化而变化．
（2）等腰三角形的周长为16，底边长为x，腰长为y．
（3）某汽车加满油（50L）后在高速公路上行驶，耗油量为8L/100km，该汽车油箱中的剩油量ω（单位：
L）随汽车行驶的里程s（单位：
km）的变化而变化．
3．已知y是x的一次函数，且函数图象经过（2，1），（0.3）两点，求这个函数的解析式，并求x＝100时的函数值．
4．一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象不经过第二象限，则函数y＝bx－k（b≠0）的图象不经过第________象限，y随着x的增大而__________．
5．直线y＝k1x＋b1与直线y＝k1x＋b1（k2＜k1＜0）交于点（a，b），则方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解为__________；不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集为_________．
设计意图：
检测学生基础知识把握水平，学习选择适当的知识进行思考．
（四）综合运用，感悟思想
例 某公司决定组织21辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共111吨到城市去销售．现有A型、B型、C型三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运两种土特产，且每辆车必须装满．设A型汽车安排
辆，B型汽车安排
辆．
特产
车型
甲
乙
丙
每辆汽车运输量/吨
A型
2
2
B型
4
2
C型
1
6
（1）求
与
之间的函数关系式．
（2）如果A，B，C三种汽车的运费分别为600元/辆、800元/辆、1000元/辆，请设计一种运费最省的运输方案，并求出至少需要运费多少元．
师生活动：
教师引导学生解决问题，并在解决问题后总结解决问题的步骤、方法和思想．
解：
（1）y与x之间的函数解析式是y＝－3x＋36，C型车辆数为（2x－15）辆，因为
x，y是整数，所以8≤x≤12．
（2）设总运费为ω元，则ω＝600x+800（－3x＋36）＋1000（2x－15），即
ω＝200x＋13800，8≤x≤12．
因为ω随着x的增大而增大，所以当x＝8时，ω最小，ω的最小值为15400．
即用A型车8辆、B型车12辆、C型车1辆运输时费用最省，最小运费为15400元．
设计意图：
让学生经历通过建立函数模型解决问题的过程，体会建立函数模型的分析过程和运用函数性质（增减性）结合自变量取值范围解决问题的基本思想．
追问1：
你认为这个问题难在什么地方？
教师引导学生找出问题的难点和关键：
建立用B型车、C型车辆数与A型车量数的函数关系．
追问2：
怎样找数量关系？
师生活动：
教师引导：
我们可以用画关系图的方法．
（1）首先画出几种物品需要运输及几种车可以选择；
（2）画出各类汽车运输物品类别的情况（用箭头）；（3）在箭头上标出数据，再把已知数据21和111也标在适当的位置；（4）找数量关系，列式子，建立函数模型．然后学生独立建立函数模型．
设计意图：
在解决上述问题中，学生难以建立函数模型，通过追问，引导学生用从定性到定量，画示意图集中记录数量关系结构的方法分析变量之间的数量关系，帮助学生克服难点，同时为学生今后解决函数、方程、不等式建模问题提供有用的分析操作步骤：
（1）读题目，画图表；
（2）标数据，做表示；
（2）找关系，建模型；（4）解模型，做解释．
（五）课堂小结，深化提高
通过本课学习，请结合下面问题，说说你对函数和一次函数的认识．
1．函数有什么用？
函数中，变量之间的对应关系是怎样的？
有哪些方法可以表示函数？
2．什么叫一次函数？
正比例函数与一次函数有什么关系？
我们主要研究了一次函数的哪些性质？
3．我们是怎样研究一次函数性质的？
4．函数、方程（组）、不等式有什么联系？
设计意图：
第
（1）问引导学生回顾函数的概念与表示法，认识函数的模型属性（描述运动变化规律的重要模型）；第
（2）问引导学生重新认识一次函数的概念、性质；第（3）问引导学生回顾一次函数的图象，进一步体会数形结合思想和函数的一般研究步骤（下定义，画图象，看图象，说性质）；第（4）问引导学生回顾函数、方程（组）、不等式之间的联系，让学生用函数的观点看方程（组）和不等式．这样，帮助学生形成函数的整体、简约、结构化的知识系统．
（六）布置作业
必做题：
教科书第107～108页复习题19第1，2，3，4，5，10题；
选做题：
教科书第109页复习题19第13，14，15题．
附加题：
设P是x轴上的一个动点，P到表示－3的点的距离为y．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）画出函数的图象；
（3）如果y的值大于4，求x的取值范围．
五、目标检测设计
1．判断下列哪个点在函数y＝2x－1的图象上（）．
A．（－2.5，4）B．（1，3）C．（2.5，4）D．（2，1）
设计意图：
考查函数图象的意义．
2．点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝－4x＋1图象上的两个点，且x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（）．
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．y1，y2的大小关系不确定
设计意图：
考查一次函数的增减性．
3．一列货运火车从起点站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站匀减速停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，则下列图象中能近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是（）．
设计意图：
考查阅读函数图象，分析变量变化规律的能力．
4．当
时，函数y＝3x＋6与函数y＝5x＋2有相同的函数值．
设计意图：
考查一次函数与二元一次方程关系．
5．某超市销售甲、乙两种品牌的大米，每销售100kg甲种大米，可获利润20元；每销售100kg乙种大米，可获利润12元，当每周销售量超过10000kg时，可另外获得销售奖励2000元．设每种大米的周销售量为xkg，获得的毛利润为y元．
（1）反映该店销售甲种大米获利情况的函数解析式是______________；反映该店销售乙种大米的获利情况的函数解析式是_______________________．
（2）说说该店销售甲乙这两种大米中，销售哪一种大米获得的利润更高？
设计意图：
考查应用一次函数与方程、不等式关系解决实际问题能力．
6．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h血液含药量最高，达6ug/ml，接着逐步衰减，10h后血液中药量为3ug/ml．当成人按规定剂量服药后，每毫升血液中含药量y（单位：
ug）随着时间x（单位：
h）的变化如图所示．
（1）求
与
之间的函数式；
（2）如果每毫升血液中含药量不低于4ug时治疗疾病是有效的,那么这个有效时间是多少小时？
设计意图：
考查应用一次函数知识解决实际问题的能力．
参考答案：
1．C
2．A
3．B
4．2．
5．
（1）y＝0.2x；
，
（2）当0＜x＜10000时，销售甲种大米利润高；当10000≤x≤25000时，销售乙种大米利润高；当x＝25000时，销售甲乙两种大米获得相同的利润；当x＞25000时，销售甲种大米的利润高．
6．
（1）
；
（2）当
时，y≥4，所以服药后的有效时间为6小时．
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