8年级竞赛：梅涅劳斯定理塞瓦定理教师版.doc

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张老师工作室

第1讲梅涅劳斯定理

塞瓦定理

知识点一、梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．

证明 如图1-1，若一直线与的三边、、或其延长线交于、、点．

求证：

证法一：

如图1-2，过作∥

∵，

∴

证法二：

如图1-3，过作交的延长线于

∴，，

三式相乘即得：

．

梅涅劳斯定理的逆定理 若、、分别是的三边、、或其延长线的三点，如果，则、、三点共线．

知识点二、塞瓦定理

塞瓦定理如果的三个顶点与一点的连线、、交对边或其延长线于、、，如图1-4，那么．通常称点为的塞瓦点．

证明

∵直线、分别是、的梅氏线，

∴，

两式相乘即可得：

塞瓦定理的逆定理如果点、、分别在的边、、上或其延长线上，并且，那么、、相交于一点（或平行）．

证明

⑴若与相交于一点时，如图1-5，作直线交于．

由塞瓦定理得：

，

又已知，∴，

∴，∴．

∴与重合

∴与重合

∴、、相交于一点．

⑵若与所在直线不相交，则∥，如图1-6．

∴，又已知，

∴，即．

∴，∴．

【例1】已知中，为中线，过点任作一直线交于，交于，如图1-7，求证：

.

【分析】

∵直线FEC是的梅氏线，

∴．而，

∴，即．

【例2】（2003年深圳市中考题）如图1-8，直线∥，，，则是（）

A．5：

2 B．4：

1 C．2：

1 D．3：

2

【分析】

∵截的三边、、或其延长线于、、三点，

∴．

∵，

∴，∴

∴，即

【例3】如图1-9，中，为中点，，求证：

．

【分析】

∵直线是的梅氏线，

∴．

∴，∴

∵直线是的梅氏线，

∴，

∴，

∴．

【例4】如图1-10-1，中，，，，，交于．求．

【分析】

过作∥交于，交于，如图1-10-2．

可得：

，且

∵直线是的梅氏线，

∴

∴．

【例5】

如图1-11，平行四边形的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接 交 于点．若，，，求的长．

【分析】

∵截的三边、、或其延长线于、、三点．

∴．

在平行四边形中，

∵，∴

∵，∴

∴，即

∴，即．

∵，∴，∴．

【例6】如图1-12，、分别为的、边上的点，且，，、交于，的延长线交于．求的值．

【分析】

∵为的塞瓦点．

∴

∴，∴．

∵为的梅氏线，

∴

∴．

【例7】在梯形中，∥，、交于，、的延长线交于，过作∥交于，交于，求证：

、、三线共点．

【分析】

设直线交于，

由已知可得，∴

由为的塞瓦点可得：

同理可得：

，∴，∴

∴、、三线共点．

【例8】已知：

、、为的高。

⑴ 求证：

直线、、三线共点．

⑵ 若上述一点叫，当点在线段内上下移动时，过点的线段、也随之运动.

求证：

上述运动过程中与总相等．

【分析】

⑴ 由∽，得，同理，．

三式相乘得，

∴、、三高所在直线共点．

⑵ 如图1-14-2，过作∥交、延长线于、．

∴．

∵是的塞瓦点，

∴

∴．

∵，∴

∴=．

1.如图，已知：

，求证：

．

【分析】

∵是的梅氏线，又．

∴．

∴．

2.如图，中，为的中点，．求．

【分析】

∵是的梅氏线，

∴．

∵为的中点，，

∴，

∴，∴

∵是的梅氏线，

∴，

∴，∴．

∴．

∴．

3.经过的重心的直线交、分别于、，交的延长线于．

求证：

．

【分析】

作直线交于，

∵，．

∴

∴．

同理，，

而

∴

4.如果梯形的两腰、的延长线交于，两条对角线交于．求证：

直线必平

分两底．

【分析】

∵∥

∴

∴

∵（由塞瓦定理得）

∴，∴

∵，∴．

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