重庆市重点中学2015-2016年中考几何专题.doc

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重庆市重点中学2015-2016年中考几何专题

1、已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E在直线AC上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB于点H．

（1）若E在边AC上．

①试说明DE=DF；

②试说明CG=GH；

（2）若AE=3，CH=5．求边AC的长．

解：

（1）①连接CD，

∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，

∴CD=AD=BD，

又∵AC=BC，

∴CD⊥AB，

∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF，

∴DE=DF．

②连接DG，

∵∠ACB=90°，G为EF的中点，

∴CG=EG=FG，

∵∠EDF=90°，G为EF的中点，

∴DG=EG=FG，

∴CG=DG，

∴∠GCD=∠CDG

又∵CD⊥AB，

∴∠CDH=90°，

∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，

∴∠GHD=∠HDG，

∴GH=GD，

∴CG=GH．

（2）如图，当E在线段AC上时，

∵CG=GH=EG=GF，

∴CH=EF=5，

∵△ADE≌△CDF，

∴AE=CF=3，

∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：

，

∴AC=AE+EC=3+4=7；

如图，当E在线段CA延长线时，

AC=EC﹣AE=4﹣3=1，

综合上述AC=7或1．

2、已知：

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）如图①，BF垂直CE于点F，交CD于点G，试说明AE=CG；

（2）如图②，作AH垂直于CE的延长线，垂足为H，交CD的延长线于点M，则图中与BE相等的线段是　CM　，并说明理由．

（1）证明：

∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG，

又∵BF⊥CE，

∴∠CBG+∠BCF=90°，

又∵∠ACE+∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

在△AEC和△CGB中，，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG；

（2）答：

BE=CM

理由：

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=45°，

在△BCD和△ACD中，，

∴△BCD≌△ACD（SAS），

∴∠ADC=∠CDB，

∵∠ADC+∠CDB=180°，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∴∠CBE=45°，

∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC，

在△BCE和△CAM中，，

∴△BCE≌△CAM（AAS），

∴BE=CM．

故答案为：

CM．

3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的两点，若EF=BE+DF．

（1）求证：

∠EAF=45°；

（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG，如图2．求证：

BC﹣CF=CG；

（3）若F是DC的中点，AB=4，如图3，求EG的长．

（1）证明：

延长CB至G，使BG=FD，连接AG，如图1，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，

在△ABG和△ADF中，，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，

∵EF=BE+DF，

∴EF=EG，

在△AEG和△AEF中，，

∴△AEG≌△AEF（SSS），

∴∠EAG=∠EAF，

∵∠BAG=∠DAF，

∴∠EAF=∠DAF+∠ABE，

∵∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，

∴∠EAF=45°；

（2）证明：

过点G作GH⊥DC于H，如图2，

由

（1）中∠AEB=∠AEF，

∵FG平分∠EFC，

∴∠EFG=∠CFG，

∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，

∴2∠AEB=2∠EFC+90°，即∠AEB=∠EFC+45°，

而∠AEB=∠EFG+∠EGF，

∴∠EGF=45°，

∵∠GAF=45°，

∴△FAG为等腰直角三角形，

∴FA=FG，∠AFG=90°，

∴∠AFD+∠HFG=90°，

而∠AFD+∠DAF=90°，

∴∠DAF=∠HFG，

在△ADF和△FHG中，，

∴△ADF≌△FHG（AAS），

∴AD=FH，DF=GH，

而AD=DC，

∴DC=FH，

∴DF=CH=GH，

∴△CGH为等腰直角三角形，

∴CH=GC，

∴DC﹣CF=DF=CH=CG，

∴BC﹣CF=CG；

（3）解：

作GQ⊥BC于Q，GH⊥DC于H，如图3，

∵F是DC的中点，AB=4，

∴DF=CF=2，

由

（2）得CH=GH=2，

∴CQ=GQ=2，

∴BQ=2，

设BE=x，则EF=BE+DF=x+2，EC=4﹣x，

在△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，

∴（4﹣x）2+22=（x+2）2，

解得x=，

∴EQ=BQ﹣BE=2﹣=，

在Rt△GQE中，EG===．

4、在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连接EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

①求证：

DG=DC；

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，

（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在

（1）中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．

5、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，

（1）中的其他条件不变，你在

（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

6、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，DG为△ABC的中位线．如图，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．求证：

FH=FC．

7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，点D是AB上一点，且AD=AC，作DG∥BC，DG交AC于点G，交CE于点F，

求证：

（1）AF平分∠CAB；   

（2）FC=FD．

8、已知：

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：

AE=CG；

（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明

9、已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.

（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；

（2）如图2，在

（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时

（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；

（3）如图3，在

（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）.

试题分析：

（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；

（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF；

（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC= ，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．

试题解析：

（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE.∴DF=CF．

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.

∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.

∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF.

同理得：

∠CFE=2∠CBF，

∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°.

∴DF=CF，且DF⊥CF．

（2）

（1）中的结论仍然成立．证明如下：

如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．

∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．

∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．

∵AD=DE，∴AD=GB.

∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB."∴DC=GC．

∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形.

∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．

（3）如图，延长DF交BA于点H，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．

∴∠AED=∠ABC=45°.

∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，

∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE.∴∠DEF=∠HBF．

∵F是BE的中点，∴EF="BF."∴△DEF≌△HBF.∴ED=HB.

∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4.

∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3.

在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH=，

∴DF=，∴CF=.

∴线段CF的长为.

10、已知：

如图

（1），在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，点D、E分别在BC、AC边上，且CD=CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．易证：

△OMN是等腰直角三角形．

（1）将图

（1）中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图

（2），连接AE、BD，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，则△OMN是等腰直角三角形的结论是否发生变化？

并说明理由．

（2）若△CDE绕着点C顺时针继续旋转至图（3）所示位置时，O、M、N仍为AB、AD、BE中点，试问△OMN是等腰直角三角形的结论是否成立？

（直接写出结论）

解：

（1）△OMN是等腰直角三角形．

理由如下：

如图，连接BD，

∵△CDE顺时针旋转90°，

∴∠ACE=∠ACB=90°，

在△BCD和△ACE中，BC=AC∠ACE=∠ACB=90°CD=CE

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴BD=AE，∠CBD=∠CAE，

∵O、M、N分别为AB、AD、BE中点，

∴OM∥BD且OM=BD，ON∥AE且ON=AE，

∴OM=ON，∠ABD=∠AOM，∠BAE=∠BON，

∴∠MON=180°-（∠AOM+∠BON）=180°-（∠ABD+∠BAE）=180°-（∠ABD+∠CBD+∠BAC）=180°-（∠ABC+∠BAC），

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90°，

∴∠MON=180°-90°=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形；

（2）△OMN是等腰直角三角形的结论仍成立．