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，皆可表为三个奇素数的
次方之和，即
（5）
其中
为任意给定的正整数。
然而，这一结果又是错误的。
因为在基础数论中有2个非常浅显的结果是：
每个
型奇数均不能表为3个正整数的平方和[5、6]；
型奇数均不能表为3个正整数的立方和[5、2、7]。
这说明
=2、3以及它们的正整数倍时，均是华罗庚这一结果的反例。
但据潘承洞、潘承彪[8]介绍，华罗庚在1938倒是证明过如下结果：
对于任意给定的正整数
，每一个充分大的奇数
皆可表为
（6）
、
为奇素数。
是否是陈景润把华罗庚的这一结果给介绍错了？
但问题是，陈景润为何讲得这么有板有眼呢？
（他没注明参考文献）
0.4华罗庚是否真的有过失算？
图1
在华罗庚的著作《数论导引》[9]中，笔者通过计算发现，上述有两个式子的前半部分应修改成：
703+5603=1983+5523（7）
1211703+9693603=5452653+9087753（8）
图2
笔者通过计算还发现，华罗庚上述
的连分数表达式应改为：
=[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,
1,84,2,1,1,15,3,13,1,4,2,6,6,99,1,…]（9）
（9）式中蓝色的数字和红色的逗号，都是被他给遗漏的，共7处。
1表述残缺的爱希阿引理
据沈康身[10]介绍，美国数学家爱希阿（Echois美）在1932年发表关于爱希阿三角形定理时，首先证明的是爱希阿引理。
爱希阿引理是说：
△A1B1C1、△A2B2C2都是正三角形，那么对应三连线A1A2、B1B2、C1C2的中点M1、M2、M3为一正三角形的顶点。
图3
可是，2004年，笔者却注意到爱希阿引理存在如下2种反例：
图4
前者3个中点共线，后者3个中点共点，都不是正三角形的顶点。
笔者通过研究发现,爱希阿引理其实应纠正为：
△A1B1C1、
△A2B2C2都是旋向相同的正三角形，那么对应三连线A1A2、B1B2、C1C2的中点M1、M2、M3为同一点或为一正三角形的顶点。
可见，爱希阿引理的条件和结论，都存在着错误。
笔者的进一步研究[11]证明存在更为广义的、涵盖爱希阿引理的命题：
定理两个直接相似三角形对应顶点连线上的等比例分点，是位似中心或是与原三角形直接相似的三角形顶点。
所谓直接相似，是指两个相似三角形对应顶点标注的旋转方向相同，即同为顺时针或同为逆时针。
直观去理解笔者上述定理内容并不难，可参见下图：
图5
2数学百慕大——威尔逊定理
在基础数论中，有一个极其著名的定理[6、12、13]，即
威尔逊定理
是素数的充要条件是
为整数。
但是，当
=1时，因
=
=2，故由威尔逊定理可知，1是素数。
然而，这显然是荒唐的，因为正整数
分三类：
素数、合数、单位元1，这说明1不是素数。
所以，威尔逊定理竟然存在
=1时的反例。
这个
=1时反例是笔者在1996年3月19日偶然发现的，并在1997年辽宁省数学年会上公布了这一发现和证明了纠正后的结果：
定理
不是合数的充要条件是
推论1大于1的正整数
推论2
+1是素数的充要条件是
同时笔者指出了威尔逊定理把“不是合数”说成了“是素数”，显然是概念上的混淆；
在关于充分性的证明里又忽略了对
=1时的情况讨论，无疑是推理中的纰漏。
值得注意的是，威尔逊定理却有着极其光辉的历史。
威尔逊（Wilson英）是18世纪剑桥大学的数学高才生，他曾猜想这个定理是正确的，其实与牛顿（Newton英）同创微积分的莱布尼茨（Leibniz德）早在1682年就已经提出了它；
但是第一个证明是由大数学家拉格朗日（Lagrange法）在1773年给出的，就连被誉为数学王子的高斯（Gauss德）后来也曾证明过它。
3连续统假设是个根本就不该存在的问题
3.1实数集合可数性的证明
在以康托尔等数学家建立的集合论基础理论[14,15]前提下，本文首先概括出所需的4个公设：
1.实无穷集合是存在的，自然数集合是最为基本的实无穷集合。
2.两个实无穷集合比较大小的法则是一一对应关系；
能和自然数集合建立一一对应关系的实无穷集合是可数集合，否则是不可数集合。
3.数轴上的所有点和全体实数一一对应；
所有实数都可看成10进制数；
无限小数看成是其不足或过剩有限小数数列的极限；
有限小数也可看成是后面有无穷多个0或末位数字减1后续上无穷多个9的无限小数。
4.数轴上全部10进制实数的生成过程如下：
在规定长度单位1和数轴原点后，从数轴原点开始在数轴正向（负向同理）作出间距为1的刻度点0，1，2，3，…，n，…；
将每段长度为1的线段进行10等分，加密到间距为0.1的刻度点；
再将每段长度为0.1的线段进行10等分，加密到间距为0.01的刻度点；
…；
将上次得到的每段最小长度线段再10等分加密刻度点；
以此循环往复，次数趋于无穷，则数轴上这些无限稠密的刻度点位置，便与全体非负10进制实数一一对应。
证明：
第4条公设其实是对所有非负实数，进行了精确到整数、小数点后1位小数、小数点后2位小数、小数点后3位小数、…、小数点后m位小数、…，以至趋于精确到小数点后无穷多位小数这个极限过程的无穷描述（n和m都是自然数，从0起趋于无穷），写成数阵如下：
列/行0列1列2列3列…n列…
0行：
0,1/10^0，2/10^0,3/10^0，…，n/10^0，…
1行：
0,1/10^1，2/10^1,3/10^1，…，n/10^1，…
2行：
0,1/10^2，2/10^2,3/10^2，…，n/10^2，…
3行：
0,1/10^3，2/10^3,3/10^3，…，n/10^3，…
……………………
m行：
0,1/10^m，2/10^m,3/10^m，…，n/10^m，…
……………………
例如：
0行中有0，1行中有0.3和0.4，2行中有0.33和0.34，3行中有0.333和0.334，…，所以该数阵0、1、2、3、…行中依次含有有限小数数列{0,0.3,0.33,0.333，…}和{0,0.4,0.34,0.334，…}中的各个项，而数列{0,0.3,0.33,0.333，…}和{0,0.4,0.34,0.334，…}的极限，都是同一无限小数0.333…=1/3。
上述数阵把全部非负实数的生成过程，列成了可数个可数集合的并集，故仍然是可数的；
用对角线法也可证明：
实数集合是可数集合。
3.2李明波悖论
笔者编出一个悖论：
自然数集合是不可数的。
“证明”如下：
自然数数列是0，1,2,3，…，n，…，总可以找到这样的自然数，让它不在上述数列之中。
该自然数首先不是0，因为1就不是0；
它也不是1，因为2就不是0,1；
它又不是2，因为3就不是0,1,2；
它还不是3，因为4就不是0,1,2,3；
它就连可以是任意大的n都不是，因为n+1就不是0，1,2,3，…，n；
以此类推以致无穷。
即便自然数集合再大，总能找出不在其中的自然数，所以，自然数集合不可数。
证毕。
上述悖论的错误在于：
每次举出不在0，1,2,3，…，n之中的那个自然数，其实都在自然数数列的后半部n+1,n+2,n+3,…里面。
3.3康托尔证明实数集合不可数的错误所在
3.3.1康托尔证明实数集合不可数的方法
只考虑证明[0,1]区间实数不可数即可，而证明所有实数不可数与此法类似。
将[0,1]区间实数x用无限小数写成
x=0.x1x2x3…xn…
假设所有这些x可以编号如下
x[1]，x[2],x[3],…,x[k],…
那么马上可以写出一个
y=0.y1y2y3…ym…
小数点后的这些单个数字y1，y2，y3，…是依次被这么确定的：
y1和x[1]的第1位小数不同，y2和x[2]的第2位小数不同，y3和x[3]的第3位小数不同，…，这样一来y就和x[1]，x[2],x[3],…,x[k],中的每个实数都不同，与把[0,1]区间所有实数能编号的假设矛盾。
3.3.2康托尔证明实数集合不可数错在哪里？
1、康托尔在构造[0,1]区间实数x数列之外的实数y时，是按小数点后每个数字依次进行的，其过程是个无穷数列，依次记为
y[1]=0.y1，y[2]=0.y1y2，y[3]=0.y1y2y3，…，
y[m]=0.y1y2y3…yk，…
2、当m=1,2,3,…,k时，y[m]只能说明它不在x数列前半部
x[1]，x[2]，x[3]，…，x[k]，
之中，但却不能说明它也不在x数列的后半部
x[k+1]，x[k+2]，x[k+3]，…
之中。
3、其实y[m]必在x数列的后半部之中，因为前提已假设[0,1]区间所有实数都已被列入到了x数列之中；
如果x数列的后半部之中也没有这个y[m]，那么说明x数列在编制时有遗漏，但这与前提假设相矛盾，是绝对不能被允许的。
4、康托尔构造y时，每一步的y[m]都是不成功的，因为它都必在x数列的后半部之中，无论m的数值有多么巨大。
所以他的这个证明是错误的。
康托尔的这个证明，与前述的“李明波悖论”，可谓同出一辙。
4可怕的陷阱——斯托鲁任科公式
让我们抛开建筑专业知识，来介绍笔者在1992年的一个数学发现。
前苏联建筑专家斯托鲁任科（Стороженко‚Л•И俄）在其著作中[16]，给出了钢管混凝土弯曲承载力的表达式是
（10）
笔者仔细检查了斯托鲁任科的数学模型，发现这个表达式是正确的，接着便对上述定积分进行了认真的演算，得出的结果是
，
即可得最终结果应是
（11）
而斯托鲁任科却将（11）式误为
（12）
笔者（12`）式中的1/4=0.25与斯托鲁任科的（12）式中的0.5所差的是，斯托鲁任科仅仅在数字上漏掉了一个2。
到此，读者不禁要问：
“你是否在小题大做？
不就是漏掉了一个2吗？
”
但是，笔者既而发现：
斯托鲁任科著作中以后的（14）、（19）、（20）、（29）、（30）、（37）式全部是以这个（12）式为基础推导而来的，从而产生了骨牌效应，一错就是一片。
斯托鲁任科在其著作中，并没有给出被积函数的原函数是什么，而是直接给出积分结果（12）式的。
斯托鲁任科上述错误还算是着点边际，而后面还有许多根本就不着边际的定积分错误，并且同样也出现了骨牌效应。
有兴趣的读者，不妨查阅笔者的论文[17、18]。
5第四次数学危机！
人们不禁要问：
数学家们怎么了，为什么会犯出如此浅显的错误？
工程师们怎么了，为什么连数学公式都不能推导准确？
最为精确的数学竟然也出现如此众多的错误！
难道新的危机已经来临了吗？
答案，是不容乐观的。
如果仅仅在纯数学中出点差错，倒是无关紧要，改过来也就是了；
可是，如果是应用数学中出现了错误，其后果往往是不堪设想的。
1967年8月23日，前苏联宇航员科马洛夫与联盟一号宇宙飞船，在由太空返回地面的途中，因无论如何也打不开减速伞而船毁人亡。
调查结果表明，灾难的原因是出航前地面检查时，忽略了一个小数点[19]。
血的教训表明，数学不应姑息错误，尤其是应用数学。
即使读者不是学建筑的也能看出，斯托鲁任科公式其实是把承载力给算大了，而隐患迟早是要导致事故的。
斯托鲁任科的著作已被翻译成中文在中国发行，中国为此出现过工程事故吗？
即使出现了又知道是什么原因了吗？
中国近年出现的重大工程事故难道还少吗？
又有多少是因为管理者缺乏数学头脑所致？
谁会料到，在今天已经被认为是定理和公式的许多东西，它们竟然会是错误的呢？
来自纯数学和应用数学的种种意想不到的错误，无疑使数学又一次地陷入了危机。
数学的前三次危机，谬误是出现在数学概念、法则和公理体系的基础理论之中；
而这次危机，错误不仅出现在近在咫尺的数学定理上，而且已经潜伏到关系到人们安危的应用数学之中！
6何去中国？
科学前沿的中国将士：
我们应该看到，第四次数学危机，已经向人们的科学宣战了。
数学家、工程师以及热爱数学的公众，应积极地行动起来，敢问我们今天的数学到底还有哪些结果，其实是错误的。
我们要用今天的危机，去消除人类明天的灾难！
中国有先见之明的网站、期刊，应马上开设“第四次数学危机”专栏，为人们趋利避害，不断地公布勇士们所发现的数学错误。
有着聪慧祖先的中国人，一定会在这次危机中争取主动；
拥有悠久文明史的中国，一定能在这次浪潮中占据主流。
用我们的行动，使中国成为第四次数学危机的发起国和倡导国。
否则，一直在认为中国的数学文化对世界数学文化无重大影响的克莱因（M·
Kline美）[20]之流定将陈词：
中国人虽然发动了第四次数学危机，但是却没有唱主角的智商和胆略！
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20M.克莱因.古今数学思想
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序
李明波简介：
男，出生于1963年12月14日，辽宁鞍山甘泉人，建筑专业高级工程师。
1980年9月1在中国第三冶金建设公司参加工作做力工，1982年9月1日考入鞍钢工学院工业与民用建筑系，毕业后一直从事建筑行业的技术工作，包括施工方、甲方、监理、设计。
在建筑、数学、发明领域发表过许多论文，并在三个领域均荣获辽宁省奖励，有两项发明荣获国家专利权，28岁时被奖励一户住房。
先后被破格晋升中、高两级职称（晋中级时提前2年）。
1991年加入中国数学会，业余爱好还有：
美术、书法、诗歌。
QQ1551363031。
1、在建筑方面的主要成就
1、当时任鞍山市国税局综合楼工程技术负责人，该工程于1996年被评为辽宁省优质工程。
2、1993年，纠正了前苏联建筑专家斯托鲁任科对钢管混凝土承载力定积分结果的诸多错误。
3、1996年，解决了建筑工程界技术难题：
四角附着塔式起重机附着杆内力计算。
4、2005年，任房地产总工期间创立户型快速组合法，在河北廊坊阿尔卡迪亚小区规划设计详规中实施，为房地产创造数千万利润。
5、2007年在北京奥运场馆建设中，获北京远达国际工程管理公司颁发的个人成绩突出奖。
2、在数学方面的主要成就
1、数学界讲究如何对较小整数进行简单运算去逼近
，被印度誉为国宝的数学家拉马努金用
≈3.141592653（Δ≈-1/10^9）超越了让中国人引以为荣的祖冲之密率
355/113≈3.1415929（Δ≈3/10^7），李明波用
22/17+37/47+88/83≈3.1415926535（Δ≈-1/10^10）突破了拉马努金的上述结果。
注：
=3.14159265358979323846…
2、纠正了有200多年历史的威尔逊定理，指出威尔逊定理存在唯一反例n=1。
3、给出了所有素数一元函数公式
，n为正整数，这两结果超越了国外数学家相应的二元函数素数公式。
4、发现了用三边表三角形面积的新公式
。
5、发现了双魔定理。
魔叶定理：
以三角形边为一边做向外（或内）作正n边形，将正n边形中心与三角形对角顶连线，这样的三条线共点；
魔星定理：
三角形内角（或外角）n等分角线交点与三角形对角顶连线，这样的三线共点。
6、通过对拿破仑三角形的研究，给出了拿破仑-李明波正六边形定理：
以三角形边为一边在三角形外（或内）做正三角形ABC’、ACB’、BCA’，则这三个正三角形的重心与三角形AB’C’、BA’C’、CA’B’的重心，恰构成一正六边形的顶点。
7、证明了著名的数学难题“古堡朝圣”是尺规作图不能问题。
8、提出了许多数学猜想。
论文《形象思维和灵感思维下的数论猜想》，在辽宁省1997年数学年会上荣获二等奖。
其中包括：
1）孪中猜想：
称每对孪生素数中间的偶数为孪中，A每个不小于12的孪中均可表为两个孪中之和；
B每个不小于6的孪中均可表为两个孪中之差。
2）超越方程猜想：
不定方程
无正代数数解。
2015年用这些猜想向美国挑战。
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