李庆扬数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析文档格式.docx
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||x||max|xi|
1in
7、何谓矩阵范数？
何谓矩阵的算子范数？
给出矩阵A=（aij）的三种范数||A||1，||A||2，
精品.资料
||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？
为什么？
向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
正定条件
齐次条件
相容条件
矩阵的算子范数有
||A||
2
从定义可知，||A||1更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数？
如何判断线性方程组是病态的？
设A为非奇异阵，称数
cond（A）vAA（v1,2,）为矩阵A的条件数
v
当cond（A）1时，方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？
（1）矩阵行列式的值很小。
（2）矩阵的范数小。
（3）矩阵的范数大。
（4）矩阵的条件数小。
（5）矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
（1）、
（2）
注：
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确：
（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
正确。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
（4）如果A非奇异，则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
解释：
若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。
若不同，则A无解。
（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。
（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
错误，可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则||A||1=||A||
∞。
根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很
小。
错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）||A||1=||AT||
T||
（12）若A是nn的非奇异矩阵，则
cond（
A）cond（A）。
A是nn的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
1cond（A）AA
根据条件数的定义有：
111111
cond（A）A（A）AAAA
习题
1、设A是对称阵且a0，经过高斯消去法一步后，A约化为
11
T
a
0A
，证明
A是对
称矩阵。
证明：
aa...a
11121n
设对称矩阵
A
1222n2
............
，则经过1次高斯校区法后，有
1n2nnn
（1）
aa
121n
0aa...aa
2212n212
1111
1n1n
2n12nn12
1212
2212n21n
n212nn1n
所以
a1[a12...a2]
aa...aa
.........
所以A2为对称矩阵。
2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为（）
Aa，其中A（aij）n，
ijn
（2）
A2（aij）n1；
（1）A的对角元素a0（i1,2,,n）；
ii
A是对称正定矩阵；
（1）依次取xi（0,0,,0,1,0,,0）,i1,2,,n，则因为A是对称正定矩阵，
i
T所以有axAx0
ii。
i11j
（）ijn
A中的元素满足aij,（,2,3,,），又因为A是对称正定
2ij
矩阵，满足aija,i,j1,2,,n，所以
ji
aaaa
（2）i11j1ij1
（2）
aijaaa，
ijjiji
A是对称矩阵。
3、设
L为指标为k的初等下三角矩阵（除第k列对角元以下元素外，Lk和单位阵I相同），
k
...
L
m
k1,k
......
n,k
求证当i,jk时，
LILI也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中Iij为初等置换
kijkij
矩阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Uxd，其中U为三角矩阵。
（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法
（2）计算解三角方程组Uxd的乘除法次数
（3）设U为非奇异矩阵，试推导求U1的计算公式
本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,⋯1时对应的求解公式。
解法，略。
6、证明：
（1）如果A是对称正定矩阵，则A1也是对称正定矩阵
（2）如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成ALTL，其中L是具有正对角元的下
三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12x3x3x15
123
18x3xx15
xxx
6
并求出系数矩阵A的行列式的值
1233
A1831
111
123315
A|b183115
1116
使用列主元消去法，有
183115
7
015
3
71731
6186
00
6666
217
A的行列式为-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解
456
9
345
8
xx2x8
本题考查LU分解。
解：
12
100
10
U0
1113
6090
957
540
9、用追赶法解三对角方程组Axb，其中
210001
121000
A01210，b0。
001210
000120
追赶法实际为LU分解的特殊形式。
设U为、单位上三角矩阵。
有
（1）计算
i的递推公式
1c1/b11/20.5
2c2/（b2a21）1/（2
（1）（0.5））2/3
3c3/（b3a32）1/（2
（1）（2/3））3/4
4c4/（b4a43）1/（2
（1）（3/4））4/5
（2）解Ly=f
y1f1/b11/2
y2（f2a2y1）/（b2a21）（0
（1）（1/2））/（2
（1）（0.5））1/3
y3（f3a3y2）/（b3a32）（0
（1）（1/3））/（2
（1）（2/3））1/4
y4（f4a4y3）/（b4a43）（0
（1）（1/4））/（2
（1）（3/4））1/5
y5（f5a5y4）/（b5a54）（0
（1）（1/5））/（2
（1）（4/5））1/6
（3）解UX=y
x5y51/6
x4y44x51/5（4/5）1/61/3
x3y33x41/4（3/4）1/31/2
x2y22x31/3（2/3）1/22/3
x1y11x22（1/2）2/35/6
10、用改进的平方根法解方程组
211
x
4
5
。
131
本题明确要求使用平方根法进行求解。
实际考查的LDU分解。
见P157
10723
x1,x,x。
23
999
11、下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？
若能分解，那么
分解是否唯一。
123111126
A241，B221，C2515。
46733161546
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。
如果要求其中的L矩阵（或
U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。
同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，
并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。
实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式
不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，-10，所以A不能直接分解为三
角阵的乘积，但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1，0，0，所以B不能分解为三角阵的
乘积。
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1，5，1，所以C能够分解为三角阵的
乘积，并且分解是唯一的。
12、设
0.60.5
A，
0.10.3
计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。
本题考查的是矩阵范数的定义及求法
行范数0.6+0.5=1.1
列范数0.5+0.3=0.8
2-范数的计算需要用到特征值，特征值的计算可以使用幂法进行计算，也可以直接求。
AA的最大特征值为0.3690
所以2-范数为0.6074
F-范数0.8426
13、求证：
（a）xxnx
；
（b）
FAA
F
根据定义求证。
xmaxxxxnmaxxinx。
1in1in
n11
Aa
ij
nn
i,j1
A2（AA）
max
14、设
P且非奇异，又设x为
R
R上一向量范数，定义xpPx。
试证明xp是
R上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明：
要求就有正定性，齐次性，三角不等式等性质。
显然xpPx0，cxpPcxcPxcxp、
x1x2（12）121212，从而
pPxxPxPxPxPxxx
pp
x是
p
上向量的一种范数。
15、设
AR为对称正定，定义
x（Ax,x）
，
试证明
显然
xAxxxAx
（,）20
2T
cx（Acx,cx）2c（xAx）c（Ax,x）2cx
AA
xx（A（xx）,（xx））（xx）A（xx）
1212121212
TT
xAxxAxxx
112212
16、设A为非奇异矩阵，求证
min
y
Ay
因为
x0
1，
AyAy
Ax0
y0
所以得证
17、矩阵第一行乘以一数，成为
A，证明当
时，cond（A）有最小值。
本题考查条件数的计算
cond（A）AA
首先计算A的逆阵
2|3|2
|3||3|2
，当
3，取得最小值为2
||
取值越大，则最小值为2
从而
cond（A）AA
（2）max3,2，
又当
时，
13
cond（A）
（2）max3,2
（2）27。
当
cond（A）
（2）max3,2
（2）3367。
综上所述，cond（A）7时最小，这时
，即
18、设
10099
A，计算A的条件数cond（A）v（v2,）
9998
由
A可知，
9899
A，从而
99100
（A
989998991940519602
1TA，
）（）
99100991001960219801
1940519602
1TA2，
由I（A）（）3920610
1960219801
10099100991980119602
T，AA
999899981960219405
1980119602
T，
由IAA3920610
1960219405
可得A2A19603384277608，从而
cond（A）2AA1960338427760839206。
11A
A199，A199，从而cond（A）A199********。
19、证明：
如果A是正交矩阵，则
cond（A）1
若A是正交阵，则
1T，从而ATAI，AAAAI
1）T11
A（，故
A1，cond（A）2AA1。
2A
20、设A,BR，且为
R上矩阵的算子范数，证明：
cond（AB）cond（A）cond（B）
11111cond（AB）（AB）ABBAABBAAB
（AA）（BB）cond（A）cond（B）
21、设Axb，其中A为非奇异矩阵，证明：
AA为对称正定矩阵；
T2
cond（AA）（cond（A））
TT2
x（AA）x（Ax）Axb0，所以
AA为对称正定矩阵。
（cond（A））
max（AA）
min（AA）
由于
AA为对称正定矩阵，所以
AAAA
TTT1
cond（AA）AA（AA）
TTT
max（（AA）（AA））
min（（AA）（AA））
则
max（AAAA）
min（AAAA）
第7章
1.什么是方程的有根区间？
它与求根有何关系？
P213，若f（x）C[a,b]且f（a）f（b）0，根据连续函数性质可知f（x）0在[a,b]内至
少有一个实根，这时称[a,b]为f（x）0的有根区间。
2.什么是二分法？
用二分法求f（x）0的根，f要满足什么条件？
P213
一般地，对于函数f（x）0如果存在实数c,当x=c时，若f（c）0,那么把x=c叫做函数
f（x）0的零点。
解方程即要求f（x）0的所有零点。
假定f（x）0在区间（x，y）上连续，
先找到a、b属于区间（x，y），使f（a）f（b）0，说明在区间（a,b）内一定有零点，然后求
f（（ab）/2）,现在假设f（a）0,f（b）0,ab
①果f（（ab）/2）0，该点就是零点，如果f（（ab）/2）0,则在区间[（ab）/2）,b]内
有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
②如果f（（ab）/2）0，则在区间[a,（ab）/2）]内有零点，从①开始继续使用中点函数
值判断。
③这样就可以不断接近零点。
通过每次把f（x）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间
的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
④从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
3.什么是函数（x）0的不动点？
如何确定（x）使它的不动点等价于f（x）的零点
P215.
将方程f（x）0改写成等价的形式x（x），若要求x*满足f（x*）0，则x*（x*）；
反之亦然，称x*为函数（x）的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法？
（x）满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
（x）的不动点
P215
求f（x）0的零点就等价于求（x）
的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入x（x）
的右端，可求得
x1（x0），如此反复迭代有
x1（x）,k0,1,2,...，
（x）称为迭代函数，如果对任何
x0[a,b]，由xk1（xk）,k0,1,2,...得到的序列
x有极限
limxkx*，则称迭代方程收敛，且x*（x*）为（x）的不动点，故称k
x1（x）,k0,1,2,...为不动点迭代法。
5.什么是迭代法的收敛阶？
如何衡量迭代法收敛的快慢？
如何确定
x1（x）（k0,1,2,...）的收敛阶
P219
设迭代过程
x1（x）收敛于x（x）的根x*，如果当k时，迭代误差
exx*满足渐近关系式
e
1,0
CCconst
则称该迭代过程是p阶收敛的，特别点，当p=1时称为线性收敛，P>
1时称为超线性收敛，
p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6.什么是求解f（x）0的牛顿法？
它是否总是收敛的？
若f（x*）0，x*是单根，f是光
滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法：
xx
k1k
f（x）
当|f（x）|1
时收敛。
7.什么是弦截法？
试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
在牛顿法的基础上使用2点的的斜率代替一点的倒数求法。
就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2
计算量弦截法<
牛顿法（减少了倒数的计算量）
8.什么是解方程的抛物线法？
在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？
P229
设已知方程f（x）0
的三个近似根，x,x1,x2，以这三点为节点构造二次插值多项式p
kkk
（x），并适当选取p
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