最新人教版八年级下册初二数学《第十八章平行四边形》教学案导学案Word格式.docx
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(2)平行四边形的对角相等.
(3)平行四边形的对角线互相平分.
知识点3平行四边形的面积
平行四边形的面积等于平行四边形的底与底边上的高的积。
用式子可表示为
,其中a为底边长,h为底边上的高(即相应的两条平行线之间的距离).
如图19-3所示,
知识点4平行四边形的判定
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
知识点5三角形的中位线概念
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如图19-6所示,若点D,E,F分别为△ABC的边AB,BC,CA的中点,则线段DE,EF,DF均是△ABC的中位线.
知识点6三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.
如图19-6所示,若D,E,F分别为△ABC的边AB,BC,CA的中点,则DE
,EF
,DF
.
【方法拓展】
(1)三角形的中位线定理在同一条件下具有两个结论;
一个定性的是平行于第三边,另一个定量的就是等于第三边的一半,此结论用途比较广泛,又因为中位线具有平移角度、倍分转化的功能,因此当遇到中点或三角形中线时,应考虑是否作中位线,这种思想方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”.
知识点7两条平行线间的距离
两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离.
课堂检测
基本概念题
1、如图19-10所示,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地,一条边AB的长为8m,则其他三边的长度各是多少?
基础知识应用题
2、平行四边形不一定具有的性质是()
A.对边平行B.对边相等
C.对角线互相垂直D.对角线互相平分
3、如图19-11所示,已知
的周长是28cm,AC与BD交于点O,△OAB的周长比△OBC的周长大4cm,则AB=cm,BC=cm.
综合应用题
4、已知平行四边形的一边长为14,则下列各组数据中,能分别作为它的两条对角线长的是()
A.10和16B.12和16
C.20和22D.10和40
5、如图19-16所示,已知D,E,F分别在△ABC的边BC,AB,AC上,且DE∥AF,DF=AF,将FD延长到G,使FG=2DF,连接AG,求证:
ED,AG互相平分.
探索创新题
6、如图19-20所示,在四边形ABCD中AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动,几妙后四边形ABQP是平行四边形?
体验中考
1、如图19-22所示,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF,添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形,你认为下面四个条件中可选择的是()
A.AD=BCB.CD=BF
C.∠A=∠CD.∠F=∠CDE
2、如图19-23所示,在
中,E,F分别为边AB,CD的中点,连接DE,BF,BD.
(1)求证△ADE≌△CBF;
(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?
请证明你的结论.
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案
1、解:
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB=CD,AD=BC.
又因为AB=8m,所以CD=8m.
因为AB+BC+CD+DA=36m,
所以AD=BC=
所以
2、C
3、95
4、C
5、解:
连接AD,EG.
因为DE=AF,DF∥AF,
所以四边形AEDF为平行四边形,所以AE
FD.
因为FG=2DF,所以GD=DF,
所以AE=DG,即AE
DG.
所以四边形AEGD为平行四边形.
所以ED,AG互相平分
6、解:
设经过x秒后,AP=BQ,
则AP=x,BQ=BC-CQ=6-2x,
所以x=6-2x,所以x=2。
所以2秒后四边形ABQP是平行四边形
1、D
2、证明:
(1)在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,AD=CB,AB=CD,
∵E,F分别为AB,CD的中点,∴AE=CF.
∴要△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB(SAS).
解:
(2)
,则四边形BFDE是菱形.证明如下:
∵
,∴△ADE是直角三角形,且AB是斜边.
∵E是AB的中点,∴
由题意可知EB∥DF且EB=DF,∴四边形BFDE是平行四边形.
又∵DE=BE,∴四边形BFDE是菱形.
18.2特殊的平行四边形导学案
【学习目标】掌握矩形、菱形和正方形的定义、性质、判定及其之间的关系.
【重点难点】矩形、菱形和正方形性质的灵活运用及其的判定.
工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,还要测量它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形。
测量两组对边的长度分别相等,可以说明这个四边形是平行四边形;
如果再测得它们的两条对角线相等,则这个平行四边形是矩形,这其中的道理是什么呢?
在平行四边形的前提下,再加一个什么条件才能判定这个图形是矩形呢?
知识点1矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
知识点2矩形的性质
(1)矩形具有平行四边形的所有性质.
(2)矩形的四个角是直角.
(3)矩形的对角线相等.
(4)矩形是轴对称图形,有两条对称轴.
知识点3直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图所示,在Rt△ACB中,
,点D是AB的中点,则
知识点4矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)对角线相等的平行四边形是矩形.
(3)有三个角是直角的四边形是矩形.
拓展:
(1)若已证一个四边形,则再证一角为直角或对角线相等,即可证得为矩形.
(2)对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形),对角线相等且互相平分的四边形为矩形.
知识点5菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图所示,在
中,AB=BC,则四边形ABCD是菱形.
知识点6菱形的性质
(1)菱形具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形的四条边都相等.
(3)菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
(4)菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴.
知识点7菱形的面积公式
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
知识点8菱形的判定
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(3)四边相等的四边形是菱形.
菱形判定的几种常见情况:
(1)用边来判定:
①先说明四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等;
②说明四边形的四条边都相等.
(2)用对角线进行判定:
①先说明四边形是平行四边形,再说明四边形的对角线互相垂直;
②说明四边形的对角线互相垂直平分.
知识点9正方形的定义
一组邻边相等的矩形是正方形.
知识点10正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
知识点11正方形的判定
(1)一组邻边相等的矩形是正方形。
(2)有一个内角是直角的菱形是正方形.
(3)对角线相等的菱形是正方形.
判断四边形是正方形的正确的命题有:
(1)对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.
(2)对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形.
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.
(5)既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
规律方法小结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1、如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°
,AB=4cm,求矩形的对角线的长.
2、如图所示,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()
A.
B.
C.
D.
3、如图所示的是一种“羊头”形图案,其作法是:
从正方法①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外作正方形②和②'……依此类推,若正方形①的边长为64cm,则正方形⑦的边长为cm.
4、如图所示,在△ABC中,
,BD平分
求证四边形DFBE是正方形.
5、如图所示,在矩形ABCD中,AB=12㎝,BC=6㎝.现有两动点P,Q,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动。
点Q没DA边点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间
(1)t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)求四边形QAPC的面积,并探索一个与计算结果有关的结论.
1、如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,
,则矩形的对角线AC的长是()
A.2B.4C.
2、如图所示,在菱形ABCD中,AB=5,
,则对
角线AC等于()
A.20B.15C.10D.5
1、分析由矩形的性质可知AC=BD=2OA=2OB,所以OA=OB,因为∠AOB=60°
,所以△AOB是等边三角形,所以OA=OB=AB,即可求出OA,OB的长,进而求得矩形对角线的长.
因为四边形ABCD是矩形,
所以AC与BD相等且互相平分,所以OA=OB.
又因为∠AOB=60°
,
所以△OAB是等边三角形,所以OA=OB=AB=4cm.
所以矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×
4=8(cm).
2、B.分析由已知,易证△ODF≌△OBE,即S△AOE+S△DOF=S△AOE+S△OBE=S△AOB,又因为S△AOB=
S矩形ABCD,所以S阴影部分=
S矩形ABCD.
3、8分析由勾股定理可得正方形②、正方形③、正方形④的边长依次是
由此可归纳正方形⑦的边长为
4、分析先证明它是矩形,再证明有一组邻边相等.
证明:
因为
所以DE∥AB。
同理,DF∥BC。
所以四边形DFBE是平行四边形。
又因为
,所以
是矩形。
因为BD平分
所以DE=DF,所以四边形DFBE是正方形。
【解题策略】本题也可以在证明四边形DFBE是平行四边形的前提下,先证明它是菱形,再证明它是正方形,解题时要灵活发选择方法.
5、分析
(1)观察△AQP的形状,要使它成为等腰直角三角形,用t的代数式表示AQ,AP,求当AQ=AP时t的值即可。
(2)四边形QAPC的面积=△QAC的面积+△PAC的面积.
(1)对于任何时刻t
,有
当
时,△QAP为等腰直角三角形
所以
,解得t=2
所以,当
(2)在△QAC中,
边上的高DC=12,
所以S△QAC
在△APC中,
所以S△APC
所以S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=
(
)
经探索,可以得出如下结论:
当P,Q两点移动时,四边形QAPC的面积始终不变,是36
,并且P,Q两点到AC的距离之和不变.
1、B分析根据矩形的性质知:
矩形的对角线相等且互相平分,所以AO=BO,在△AOB中,
,所以△AOB为等边三角形,所以AO=AB=2,所以AC=2AO=4.故选B.
2、D分析在菱形ABCD中,AB∥CD,∴
,∴
∵AB=BC,∴△ABC为等边三角形,∴AC=AB=5故选D