概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理Word格式文档下载.docx
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0,î
a<
x<
b其它
,则称X在区间(a,b)上服
从均匀分布,记为X~U(a,b)
1,均匀分布的概率密度:
f(x)=ï
í
a+b2
b其它
均匀分布的期望:
(2)指数分布:
E(X)=
;
均匀分布的方差:
D(X)=
(b-a)12
2
le-lx
f(x)=í
î
0若连续型随机变量X的概率密度为
x>
0l>
,则称X服从参数为
l
的指数分布,记为X~e(l)
0指数分布的概率密度:
l>
指数分布的期望:
(3)正态分布:
1
指数分布的方差:
f(x)=
-
(x-m)2s
<
+¥
若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为
m
和s
ms2
的正态分布,记为X~N(,)
-(x-m)2s
22
正态分布的概率密度:
正态分布的期望:
E(X)=m
D(X)=s
-x
正态分布的方差:
(4)标准正态分布:
m=0,s
=1
j(x)=
,
x-¥
e
t
dt
标准正态分布表的使用:
(1)
f(x)=1-f(-x)
X~N(0,1)
P{a<
x£
b}=P{a£
b}
=P{a<
b}=f(b)-f(a)
X~N(m,s),Y=2
(2)X-m
(3)
X£
b}=P{a-ms~N(0,1),F(x)=P{X£
x}=P{X-m故b-m}=f(b-m)-f(a-m)s£
x-ms=f(x-ms)s£
Y£
sss
2Y=ms定理1:
设X~N(,),则X-ms~N(0,1)
6.随机变量的分布函数:
设X是一个随机变量,称
分布函数的重要性质:
0£
F(x)£
P{x1<
x2}=P{X£
x2}-P{X£
x1}=F(x2)-F(x1)
x1<
x2Þ
F(x1)<
F(x2)
F(+¥
)=1,F(-¥
)=0F(x)=P{X£
x}为X的分布函数。
7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布
(1)由X的概率分布导出Y的概率分布步骤:
①根据X写出Y的所有可能取值;
②对Y的每一个可能取值yi确定相应的概率取值;
③常用表格的形式把Y的概率分布写出
(2)由X的概率密度函数(分布函数)求Y的概率密度函数(分布函数)的步骤:
①由X的概率密度函数
②由FY(y)fX(x)随机变量函数Y=g(X)的分布函数FY(y)求导可得Y的概率密度函数
(3)对单调函数,计算Y=g(X)的概率密度简单方法:
定理1设随机变量X具有概率密度
有fX(x)xÎ
(-¥
+¥
),又设y=g(x)处处可导且恒g(x)>
0’
(或恒有g(x)<
),则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为
f[h(y)]|h’(y)|,fY(y)=í
0a<
y<
b;
其中x=h(y)是y=g(x)的反函数,且
a=min(g(-¥
),g(+¥
)),b=max(g(-¥
))
练习题:
2.4第7、13、14
总习题第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19
第三章重要知识点:
(1)要会由X与Y的联合概率分布,求出X与Y各自概率分布或反过来;
类似P63例2
(2)要会在X与Y独立的情况下,根据联合概率分布表的部分数据,求解其余数据;
类似P71例3
(3)要会根据联合概率分布表求形如
X<
b,c<
Y<
d}的概率;
(4)要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。
2.二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:
设(X,Y)为二维随机变量,F(x,y)为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对
y
F(x,y)=
任意实数(x,y),有,则称(X,Y)为二维连续型随机变量。
(1)要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限;
ò
f(s,t)dsdt
(2)要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y),以及形如率值;
P64例3
P{X<
Y}等联合概
(3)(4)
要会根据联合概率密度求出
x,y
的边缘密度;
类似P64例4
要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。
3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质:
(1)å
å
ijpij=1ò
(2)ò
f(x,y)dxdy=1
要会根据这些性质解类似P68第5,6题。
4.常用的连续型二维随机变量分布
二维均匀分布:
设G是平面上的有界区域,其面积为A。
若二维随机变量(X,Y)具有概率
Af(x,y)=í
0密度函数
5.独立性的判断:
(x,y)Î
G,则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
定义:
设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为
意实数x,y,有FX(x),FY(y),若对任P{X£
x,Y£
y}=P{X£
x}P{Y£
y}
(1)离散型随机变量的独立性:
①由独立性的定义进行判断;
②所有可能取值(xi,yj),有P(X=xiY,=yj)=PX(=xP)Y(y=)ji,pij=pi.p.j则X与Y相互独立。
(2)连续型随机变量的独立性:
②联合概率密度f(x,y),边缘密度fX(x),fY(y)
"
x,y有f(x,y)=fX(x)fY(y)几乎处处成立,则X与Y相互独立。
(3)注意与第四章知识的结合
E(XY)=E(X)E(Y)
D(X±
Y)=D(X)+D(Y)
Cov(X,Y)=0
X与Y相互独立Þ
rXY=0
E(XY)¹
E(X)E(Y)
Y)¹
D(X)+D(Y)
Cov(X,Y)¹
因此rXY¹
0Þ
X与Y不独立。
6.相互独立的两个重要定理
定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立,即,对任意实数集A,B,有P{XÎ
A,YÎ
B}=P{XÎ
A}P{XÎ
B}
定理2如果随机变量X与Y独立,则对任意函数
(1)要求会使用这两个定理解决计算问题
习题2-3第3、4题习题2-4第2题
习题3.2第5,7,8题
总习题三第4,9
(1)-(4),12,13
g1(x)
g2(y)
相互独立。
第四、五章知识点
设总体密度函数如下,x1,x2,...xn是样本,试求未知参数的矩估计值,最大似然估计值。
p(x;
q,m)=
(1)
q
x-m
x>
m,q>
dx=
dt+
0-
me
dt=q+m
(t+m)
dt=
2mt
dt=2q+2mq+m
D(X)=E(X)-[E(X)]=q,由此可推出q=
Ù
m=E(X)-,
从而参数q,m的矩估计值为q=s,m=x-s
(2)似然函数为:
L(q)=()exp{-
qq
n
(x
i=1
i
-m)},x
(1)>
其对数似然函数为:
lnL(q,m)=-nlnq-
-m)
由上式可以看出,lnL(q,m)是m的单调增函数,要使其最大,m的取值应该尽可能的大,
由于限制x
(1)>
m,这给出的最大似然估计值为m=x
(1)将lnL(q,m)关于q求导并令其为0得到关于q的似然方程
i2
dlnL(q,m)
dq
=-
+
=x-x
(1)
=0,解得q=
第四章重要知识点:
1.随机变量X数学期望的求法:
¥
(1)离散型E(X)=å
i=1
(2)连续型E(X)=xipi;
xf(x)dx
2.随机变量函数g(X)数学期望的求法:
g
i=1
(2)连续型E(X)=x(ip)i;
g(x)f(x)dx
3.二维随机向量期望的求法:
ij
(1)离散型E[g(X,Y)]=å
g(x,y
j=1i=1)pij;
(2)连续型E[g(X,Y)=]ò
4.随机变量X方差的求法:
+¥
g(x,y)f(x,y)dxdy
(1)简明公式D(X)=E[X-E(X)]2=E(X2)-E(X)2
(2)离散型D(X)=å
i=1x[i-EX
(2)p]i
(3)连续型D(X)=ò
[x-E(X)]f(x)dx2
5.随机变量X协方差与相关系数的求法:
(1)简明公式Cov(X,Y)=E{[X-E(X)]}{[Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)
(2)离散型Cov(X,Y)=
(3)连续型Co(vX,Y)=
(4)rXY=å
i,jx[-EX(i+¥
y)]j-[EY]p(ij)E(Y)]f(x,y)dxdyò
[-xE(X)]-[y
6.数学期望、方差、协方差重要的性质:
(1)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)
(2)设X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)
Y)=D(X)+D(Y)±
2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
=D(X)+D(Y)±
2Cov(X,Y)(3)
若X与Y相互独立,则D(X±
(4)D(CX)=C2D(X)
(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(6)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)若X与Y相互独立,则Cov(X,Y)=0
(7)若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立,当且仅当rXY=07.
n维正态分布的几个重要性质:
Xi
(1)n维正态变量(X1,X2,...,Xn)的每个分量
(
i=1,2,...n)都是正态变量,反之,
若X1,X2,...,Xn都是正态变量,且相互独立,则(X1,X2,...,Xn)是n维正态变量。
(2)n维随机向量(X1,X2,...,Xn)服从n维正态分布的充分必要条件是X1,X2,...,Xn的任意线性组合均服从一维正态分布l1X1+l2X2+...+lnXn均服从一维正态分布(其中
l1,l2,...ln
不全为零)。
(3)若(X1,X2,...,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,...,Yk是Xj(j=1,2,...n)的线性函数,则(Y1,Y2,...,Yk)服从k维正态分布。
(4)设(X1,X2,...,Xn)服从n维正态分布,则“X1,X2,...,Xn相互独立”等价于“X1,X2,...,Xn两两不相关”练习题:
1.设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=í
解:
24(1-x)y,0<
1,0<
xî
10x0
,求CovX(Y,)及rXY
3
xf(x,y)dxdy=24ò
10
x0
(1-x)xydydx=
12(1-x)xdx=
4
3525
D(X)=E(X)-E(X)=
321
-()=5525
同理
E(Y)=
(1-x)ydydx=
25
(1-x)ydydx=415415
15
又因E(XY)=
xy[24(1-x)y]dydx=
-625
=275
从而Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=
27525
23
rXY=
==
2.习题4.3第10题8.中心极限定理
(1)定理4(棣莫佛—拉普拉斯定理)设随机变量
X1,X2,...Xn,...
相互独立,并且都服从参数为p的两点分布,则对任意实数x,
有limPn®
Xi-np
£
x}=
dt=F(x)
(2)定理3(独立同分布的中心极限定理)设随机变量
相互独立,服从同一分布,且
E(Xi)=m,D(Xi)=s
(i=1,2,...),
X
则limPn®
-nm£
1-
习题4-411题12题总习题四24,25,26题
第五章重要知识点
确定或求证统计量所服从的分布1.三大分布
22222
(1)c分布:
:
设X1,X2,...Xn是取自总体N(0,1)的样本,称统计量c=X1+X2+...+Xn
服从自由度为n的c分布。
(2)t分布:
设X~N(0,1),Y~c(n),且X与Y相互独立,则称t=n的t分布。
(3)F分布:
设X~c(m),Y~c(n),且X与Y相互独立,则称F=
服从自由度为
X/mY/n
服从自由度
为(m,n)的F分布。
2.三大抽样分布
(1)设总体X~N(m,s),X1,X2,...,Xn是取自X的一个样本,X为该样本的样本均值,
则有X~N(m,s
/n),U=
X-m
~N(0,1)
(2)定理2设总体X~N(m,s2),X1,X2,...,Xn,是取自X的一个样本,X与S2为该样本的样本均值与样本方差,则有c
=
n-1
s
S=
(X
-X)~c(n-1),
X与S相互独立
(3)定理3设总体X~N(m,s2),X1,X2,...,Xn,是取自X的一个样本,X与S2为该样本的样本均值与样本方差,则有c=
(Xi-m)~c(n),T=
~t(n-1)
1.设X1,X2...X2n是来自正态总体X~N(0,1)的样本,求统计量
Y=
因为X1+X3+...+X2n-1~N(0,ns)X+X+...+X~N(0,1)
~N(0,1),i=1,2,...2n
由样本的独立性及c分布的定义,有(
X2
再由样本的独立性以及t分布的定义,有
)+(
X4
)+...+(
X2n
)~c(n)
X+X+...+XY=
~t(n)
2.总习题五14题
3.求样本函数相关的概率问题
习题5-32总习题五16、17
第六章重要知识点:
1.矩估计的求法:
设总体X的分布函数
F(x;
q1,...,qk)
中含有k个未知参数的函数
q1,...,qk
,则
(1)求总体X的k阶矩
m1,...mk
它们一般都是
是这k个未知参数的函数,记为
(2)从
(1)中解得(3)再用
mi=gi(q1,...qk),i=1,2,...k
qj=hj(m1,...mk),j=1,2,...k
的估计量
mi(i=1,2,...k)
Ai
分别代替上式中的
mi
,即可得
qj(j=1,2,...k)
的估计信度,又分别称
信上限。
(2)单侧置信区间:
设q为总体分布的未知参数,
1-a
_
与q为q的双侧置信下限与双侧置
X1,X2,...Xn
是取自总体X的一个样本,对给定的数
1-a,0<
1,若存在统计量
满足
P{q<
q}=1-a
q=q(X1,X2,...Xn)
,则称
(q,+¥
)
--
为q的置信度为1-a的单侧置信区间,称-为q
的单侧置信下限;
若存在统计量
,满足
则称
q)
为q的置信度为1-
a
的单侧置信区间,称q为q的单侧置信上限。
5.寻求置信区间的方法:
一般步骤:
(1)选取未知参数q的某个较优估计量q
(2)围绕q构造一个依赖于样本与参数q的函数(3)对给定的置信水平1-a,确定
P{U£
l1}=
U=U(X1,X2,...Xn,q)
P{l1£
U£
l2}=1-a
l1
与
l2
,使
2与
通常可选取满足数表查得。
P{U³
l2}=
的
,在常用分布情况下,这可由分位
(4)对不等式
l1£
作恒等变形后化为
q<
则
(q,q)
就是q的置信度1-
为的双侧置信区间。
6.置信区间的公式:
(1)0-1分布参数的置信区间:
(12a(-b-
212a
(-b+2
a=n+(ua2),b=-2nX-(ua),c=n(X)
而为未知参数,
(2)设总体
X~N(m,s)
,其中s已知,
是取自总体X
的一个样本。
均值
的1-a置信区间为:
X-ma
n,
X+ma
n)
X~N(m,s),其中m,s(3)设总体
未知,
是取自总体X的一个样本。
m均值
X-ta2(n-1)
,s
Sn,
X+ta2(n-1)
Sn)
是取自总体X的一
(4)设总体个样本。
m,其中
方差s
c1-a的置信区间为:
(n-1)S
a(n-1)c
21-a2
(n-1)
习题6-2第1,2,5,6题
习题6-3第3,4,5,6题
习题6-4第4题
总习题六第7,8,9,10,16,17,18,20,21题
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
2010-201