学年高一数学人教B版必修一学案 22 一次函数和二次函数Word格式文档下载.docx

学年高一数学人教B版必修一学案 22 一次函数和二次函数Word格式文档下载.docx

《学年高一数学人教B版必修一学案 22 一次函数和二次函数Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年高一数学人教B版必修一学案 22 一次函数和二次函数Word格式文档下载.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

①正比例函数y＝kx的图象是经过原点（0,0）的一条直线．

②一次函数y＝kx＋b的图象是经过y轴上点（0，b）的一条直线．

（5）画法技巧

①画正比例函数y＝kx的图象，通常取（0,0），（1，k）两点，然后连线．

②画一次函数y＝kx＋b的图象，通常取它与坐标轴的交点（0，b），

，然后连线．原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于－

多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x和y都是整数的点．

谈重点对截距b含义的理解

（1）b的取值范围：

b∈R.

（2）b的几何意义：

直线y＝kx＋b与y轴的交点的纵坐标．

（3）点（0，b）是直线y＝kx＋b与y轴的交点．当b＞0时，此交点在y轴的正半轴上；

当b＜0时，此交点在y轴的负半轴上；

当b＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．

（4）截距与距离是两个不同的概念．截距可正可负可以为零，但距离不可能为负．

【例1－1】一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而增大，则它的图象过（　　）

A．第一、二、三象限　　　　B．第一、三、四象限

C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限

解析：

由题意知k＞0，所以－k＜0，故y＝kx－k的图象过第一、三、四象限．

答案：

B

【例1－2】函数的解析式为x－2y＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为（　　）

A．

B．1，－7

C．1，

D．

∵x－2y＋7＝0，∴

，

∴斜率

，纵截距

，故选A.

A

【例1－3】在同一直角坐标系内画出一次函数y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象．

解：

列表．

x

…

－0.5

y

1

0.5

描点（0,1），（－0.5,0），（0,1），（0.5,0）．连线，即得y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象，如图．

【例1－4】已知一次函数的图象经过A（3,5）和B（－4，－9）两点，求该一次函数的解析式．

分析：

一次函数的图象是一条直线，可设解析式为y＝kx＋b（k≠0），又因为其图象过A，B两点，所以A，B两点的坐标适合方程，由此解出k和b.

设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）．

∵当x＝3时，y＝5；

当x＝－4时，y＝－9，

∴

①－②，得7k＝14，∴k＝2.

把k＝2代入①，得b＝－1.

∴这个一次函数的解析式为y＝2x－1.

2．二次函数的定义

函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）叫做二次函数，它的定义域是R.特别地，当b＝c＝0，则函数变为y＝ax2（a≠0）．

点技巧学习二次函数的定义应注意的两点

（1）对二次函数的定义，要特别注意a≠0这个条件．函数y＝ax2＋bx＋c只有在a≠0的条件下才是二次函数，且x的最高次数是2，b，c可取任意实数．

（2）任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的形式，因此把y＝ax2＋bx＋c（a≠0）叫做二次函数的一般形式．

3．二次函数的图象变换及参数a，b，c，h，k对其图象的影响

（1）函数y＝x2和y＝ax2（a≠0）的图象之间的关系

二次函数y＝ax2（a≠0）的图象可由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到，参数a的取值不同，函数及其图象也有区别，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下．而且，当a＞0时，a的值越大，函数y＝ax2的图象开口越小，a的值越小，函数y＝ax2的图象开口越大；

当a＜0时，a的值越小，函数y＝ax2的图象开口越小，a的值越大，函数y＝ax2图象开口越大．也就是说，|a|越大，抛物线的开口越小；

反之，|a|越小，抛物线的开口越大．

（2）函数y＝ax2和y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的图象之间的关系

函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的图象可以由函数y＝ax2（a≠0）的图象向左（h＞0）或向右（h＜0）平移|h|个单位长度，再向上（k＞0）或向下（k＜0）平移|k|个单位长度得到．h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；

k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图象的平移变换，所以函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）的图象与函数y＝ax2（a≠0）的图象形状相同，只是位置不同．

（3）函数y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象之间的关系

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）通过配方可以得到其恒等形式y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），从而可以知道，由y＝ax2的图象如何平移就得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象．在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），即y＝a

2＋

（a≠0）中，二次项系数a决定着函数图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；

b和a共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x＝－

，它是一条平行于y轴或与y轴重合的直线；

a，b，c共同决定抛物线顶点

的位置，c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置，当c＝0时，抛物线经过坐标原点，当c＞0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，当c＜0时，交点在y轴的负半轴．

【例3－1】

（1）由y＝－2x2的图象，如何得到y＝－2（x＋1）2－3的图象？

（2）把y＝2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？

（3）将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a（x＋h）2＋k的形式，并说明它的图象是由y＝4x2的图象经过怎样的变换得到的？

（1）把y＝－2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2（x＋1）2－3的图象．

（2）把y＝2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y＝2（x－3）2＋4，即y＝2x2－12x＋22的图象．

（3）y＝4x2＋2x＋1

.

把y＝4x2的图象向左平移

个单位长度，再向上平移

个单位长度，就可得到函数y＝4x2＋2x＋1的图象．

【例3－2】

（1）在同一坐标系中作出下列函数的图象：

①y＝x2；

②y＝x2－2；

③y＝2x2－4x.

（2）分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．

解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析y＝x2与y＝2x2－4x的图象之间的关系．

（1）列表：

－3

－2

－1

2

3

y＝x2

9

4

y＝x2－2

7

y＝2x2－4x

30

16

6

描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．

（2）y＝2x2－4x

＝2（x2－2x）

＝2（x2－2x＋1－1）

＝2（x－1）2－2.

由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．

方法一：

先把y＝x2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2x2的图象，然后把y＝2x2的图象向下平移2个单位长度得到y＝2x2－2的图象，最后把y＝2x2－2的图象向右平移1个单位长度得到y＝2（x－1）2－2，即y＝2x2－4x的图象．

方法二：

先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝（x－1）2的图象，然后把y＝（x－1）2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2（x－1）2的图象，最后把y＝2（x－1）2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2（x－1）2－2，即y＝2x2－4x的图象．

析规律二次函数图象的变换规律

所有二次函数的图象均可以由函数y＝x2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：

y＝ax2

y＝ax2＋k

y＝a（x＋h）2＋k，其中a决定开口方向及开口大小（或纵坐标的拉伸）；

h决定左、右平移，k决定上、下平移．

【例3－3】已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c与函数y＝－2x2＋3x有相同的开口方向和大小，与函数y＝x2－

x＋1有相同的对称轴，与函数y＝4x2－x－1在y轴上有相同的交点．

（1）求f（x）．

（2）由y＝x2的图象能得到f（x）的图象吗？

（1）根据a，b，c对f（x）的图象影响，由y＝－2x2＋3x确定a，由y＝x2－

x＋1确定b，由y＝4x2－x－1确定c；

（2）由y＝x2的图象得f（x）的图象要分步骤：

y＝x2→y＝ax2→y＝a（x＋h）2→y＝a（x＋h）2＋k，因此先将f（x）的解析式化为f（x）＝a（x＋h）2＋k的形式．

（1）∵f（x）与y＝－2x2＋3x有相同的开口方向和大小，∴a＝－2.

∵f（x）与函数y＝x2－

x＋1有相同的对称轴

又∵a＝－2，∴b＝1.

∵f（x）与函数y＝4x2－x－1在y轴上有相同的交点（0，－1），

∴c＝－1.

∴f（x）＝－2x2＋x－1.

（2）f（x）＝

将函数y＝x2图象上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的－2倍得到函数y＝－2x2的图象；

将函数y＝－2x2的图象向右平移

个单位长度，再向下平移

个单位长度得到函数

的图象，即函数y＝－2x2＋x－1的图象．

析规律二次函数的图象变换应先配方

解决本题的关键是明确a，b，c对函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的影响以及利用配方法将y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x＋h）2＋k的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误．

4．二次函数的性质

二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c可以通过配方转化为f（x）＝a

，结合图象观察得到其主要性质，如下表：

函数

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

a＞0

a＜0

性质

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸

（2）对称轴是直线x＝－

顶点坐标是

，顶点坐标是

（3）在区间

上是减函数，在区间

上是增函数

上是增函数，在区间

上是减函数

（4）抛物线有最低点，当x＝－

时，y有最小值，ymin＝

（4）抛物线有最高点，当x＝－

时，y有最大值，ymax＝

由上表可以看出，函数的性质就是函数图象特征的具体描述，因此可借助于图象特征来理解记忆二次函数的主要性质．以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图象观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．

【例4－1】分别指出下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值：

（1）y＝x2－4x＋9；

（2）y＝－2x2＋4x－3.

首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图象研究其性质．

（1）y＝x2－4x＋9＝（x－2）2＋5，

由于x2的系数是正数，所以函数图象开口向上；

顶点坐标为（2,5）；

对称轴方程为x＝2；

函数在区间（－∞，2]上是减函数，在区间[2，＋∞）上是增函数；

函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.

（2）y＝－2x2＋4x－3＝－2（x－1）2－1，

由于x2的系数是负数，所以函数图象开口向下；

顶点坐标为（1，－1）；

对称轴方程为x＝1；

函数在区间（－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞）上是减函数；

函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是－1.

谈重点配方法的重要作用

配方法是研究二次函数最值及对称性、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴以后，其图象的对称性及其单调性可直观的反应在大脑中，解题中应注意多总结这些性质，以便拓展自己的思维空间．

【例4－2】抛物线y＝8x2－（m＋1）x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.

因为抛物线y＝8x2－（m＋1）x＋m－7的顶点在x轴上，所以其顶点的纵坐标

，即m2－30m＋225＝0，

所以（m－15）2＝0，

所以m＝15.

15

点技巧牢记二次函数的性质是关键

抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为

，当顶点在x轴上时，其纵坐标

＝0；

当顶点在y轴上时，其横坐标－

＝0.

【例4－3】若函数y＝x2＋2（a－1）x＋2在（－∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－3]　　　　B．[－3，＋∞）

C．（－∞，5]D．[5，＋∞）

易知函数y＝x2＋2（a－1）x＋2是二次函数，其图象的开口向上，对称轴是直线x＝1－a，此函数在区间（－∞，1－a]上是减函数，若函数在（－∞，4]上是减函数，则1－a≥4，所以a≤－3.

5．二次函数解析式的求法

求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之．

（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0），然后列出三元一次方程组求解．

（2）当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大（小）值，则设所求二次函数为顶点式y＝a（x＋h）2＋k（其顶点是（－h，k），a≠0）．

（3）当已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1,0），（x2,0），则设所求二次函数为交点式y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

【例5－1】如图，坐标系中抛物线是函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（　　）

A．abc＞0B．b＜a＋c

C．a＋b＋c＜0D．2c＜3b

图中出现的点（1,0）和（－1,0）要注意观察．

A中，∵抛物线开口向下，∴a＜0.

∵抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方，∴c＞0.

又∵

，∴b＞0.∴abc＜0.因此A是错误的．

B中，∵当x＝－1时，y＜0（抛物线上横坐标为－1的点在x轴下方），

∴a－b＋c＜0（把x＝－1代入函数得y＝a（－1）2＋b（－1）＋c＝a－b＋c），

∴b＞a＋c.因此B是错误的．

C中，∵抛物线上横坐标为1的点在x轴上方，即y＞0，

又∵当x＝1时，函数y＝a·

12＋b·

1＋c＝a＋b＋c，

∴a＋b＋c＞0.因此C是错误的．

D中，由上得b＞a＋c.又∵

，∴

∴2c＜3b.因此D正确．

D

【例5－2】已知二次函数的图象的顶点坐标是（1，－3），且经过点P（2,0），求这个函数的解析式．

本题已知图象上两点的坐标（1，－3）和（2,0），若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）似乎差一个条件，但注意到点（1，－3）是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a，b，c的三元一次方程组，从而得解；

根据顶点坐标是（1，－3），也可设二次函数的顶点式y＝a（x－1）2－3（a≠0），只需将点P（2,0）的坐标代入，即可求出a；

若看到P（2,0）点是图象与x轴的交点，利用对称性即可求出图象与x轴的另一个交点，设二次函数的交点式y＝a（x－x1）（x－x2）也能求解．

（方法1）设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由题意，得

解得

∴所求函数的解析式为y＝3x2－6x.

（方法2）设所求函数的解析式为y＝a（x－1）2－3（a≠0），

由图象经过点P（2,0），得a（2－1）2－3＝0，解得a＝3.

∴所求函数的解析式为y＝3（x－1）2－3，即y＝3x2－6x.

（方法3）∵二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），

∴其对称轴为直线x＝1.

又∵图象与x轴的一个交点坐标为P（2,0），

∴由对称性可知，图象与x轴的另一个交点坐标为（0,0）．

∴可设所求函数的解析式为y＝a（x－0）（x－2）（a≠0）．

∵图象的顶点坐标是（1，－3），

∴a（1－0）（1－2）＝－3，解得a＝3.

∴所求函数的解析式为y＝3x（x－2），

即y＝3x2－6x.

析规律由二次函数的图象与x轴的交点求解析式

若二次函数y＝f（x）的图象与x轴的两个交点坐标为（x1,0）和（x2,0），则其对称轴方程为x＝

，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标．

6．二次函数图象的草图画法

画二次函数的图象时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；

“一线”是指对称轴这条直线；

“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更精确．

【例6】画出函数y＝2x2－4x－6的草图．

y＝2x2－4x－6

＝2（x2－2x）－6

＝2（x2－2x＋1－1）－6

＝2[（x－1）2－1]－6

＝2（x－1）2－8.

函数图象的开口向上，顶点坐标为（1，－8），对称轴为直线x＝1.

令y＝0，得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，故函数图象与x轴的交点坐标为（－1,0），（3,0）．

画法步骤：

①描点画线：

在平面直角坐标系中，描出点（1，－8），（－1，0），（3,0），画出直线x＝1；

②连线：

用光滑的曲线连点（1，－8），（－1，0），（3,0），在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．

7．待定系数法

一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．

待定系数法求解析式的基本步骤如下：

（1）设出含有待定系数的解析式；

（2）根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；

（3）解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．

【例7】若f（x）为一次函数，且满足f[f（x）]＝1＋2x，则f（x）的解析式为________．

已知f（x）为一次函数，可以使用待定系数法．

设f（x）＝kx＋b（k≠0），

则f[f（x）]＝f（kx＋b）＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b，利用对应系数相等即可求得

或

8．给定区间上二次函数的最值或值域的求法

求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图象确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得．

一般地，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）在闭区间[p，q]上的最值有下列四种情况：

（1）当－

＜p，即对称轴在区间[p，q]的左边时，画出草图如图①，从图象上易得f（x）在[p，q]上是增函数，则f（x）min＝f（p），f（x）max＝f（q）．

（2）当p≤－

≤

，即对称轴在区间[p，q]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图②.从图象上易得f（x）在[p，q]上的最值情况是f（x）min＝f

，f（x）max＝f（q）．

（3）当

＜－

≤q，即对称轴在区间[p，q]的中点与右端点之间时，画出草图如图③.从图象上易得f（x）在[p，q]上的最值情况是f（x）min＝f

，f（x）max＝f（p）．

（4）当－

＞q，即对称轴在区间[p，q]的右边时，画出草图如图④.从图象上易得f（x）在[p，q]上是减函数，则f（x）min＝f（q），f（x）max＝f（p）．

【例8】已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；

（2）用a表示出函数在[－5,5]上的最值；

（3）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在[－5,5]上是单调函数．

f（x）＝x2＋2ax＋2＝（x＋a）2＋2－a2.

（1）当a＝－1时，由于对称轴x＝1在区间[－5,5]内，则由图象知函数f（x）的最大值是f（－5），最小值是f

（1）；

（2）中对称轴x＝－a，要根据对称轴与区间[－5,5]的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论；

（3）切入点是单调函数，结合图象可知对称轴不能在区间[－5,5]内部，因此也要讨论对称轴的位置．

（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[－5,5]，

当x＝1时，f（x）取得最小值，

即f（x）min＝f

（1）＝1.

当x＝－5时，f（x）取得最大值，

即f（x）max＝f（－5）＝（－5－1）2＋1＝37.

所以函数f（x）的最大值为37，最小值为1.

（2）函数y＝f（x）＝（x＋a）2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.

当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增函数，

所以f（x）max＝f（5）＝27＋10a，

f（x）min＝f（－5）＝27－10a；

当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，

f（x）max＝f（5）＝27＋10a，

f（x）min＝f（－a）＝2－a2；

当0＜－a≤5，即－5≤a＜0时，

f（x）max＝f（－5）＝27－10a，

当－a＞5，即a＜－5时，函数在区间[－5,5]上是减函数，

所以f（x）min＝f（5）＝27＋10a，

f（x）max＝f（－5）＝27－10a.

故当a≥5时，f（x）max＝27＋10a，

f（x）min＝27－10a；

当0≤a＜5时，f（x）max＝27＋10a，

f（x）min＝2－a2；

当－5≤a＜0时，f（x）max＝27－10a，f（x）min＝2－a2；

当a＜－5时，f（x）max＝27－10a，f（x）min＝27