四川省成都市2011届高三第二次诊断性考试(数学理)(2011成都“二诊”数学试卷及参考答案).doc
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成都市2011届高中毕业班第二次诊断性检测
数学（理工农医类）
本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题）l至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至l页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件、互斥，那么球的表面积公式
如果事件、相互独立，那么其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，
那么次独立重复试验中恰好发生次的概率
其中表示球的半径
一、选择题：
（1）已知为虚数单位，则复数
（A）（B）（C）（D）
解：
，选B
（2）已知向量，，若，则实数的值为
（A）（B）（C）（D）
解：
，选A
（3）在等比数列中，若，则
（A）（B）（C）（D）
解：
，，选B
（4）若，则的值为
（A）（B）（C）（D）
解：
，选C
（5）在中，角、、所对边的长分别为、、．若，则的值为
（A）（B）（C）（D）
解：
，，选B
（6）设集合，，记，则集合中元素的个数有
（A）3个（B）4个（C）l个（D）2个
解：
由于直线与双曲线的渐近线平行，所以选C
（7）某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元／辆，购买B型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元／辆，B型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买
（A）8辆A型出租车，42辆B型出租车（B）9辆A型出租车，41辆B型出租车
（C）11辆A型出租车，39辆B型出租车（D）10辆A型出租车，40辆B型出租车
解法一：
A时，成本为万元，利润为万元
B时，成本为万元，利润为万元
C时，成本为万元，利润为万元
D时，成本为万元，利润为万元
而，选D
解法二：
设购买A型出租车辆，购买B型出租车辆，第一年纯利润为，则，，作出可行域，由解得，选D
（8）过点作直线与圆交于、两点，若，则圆心到直线的距离等于
（A）5（B）4（C）3（D）2
解法一：
如图，，，，当时，，舍A
当时，，成立，选B
解法二：
由得，
，，，选B
（9）已知，则的值为
（A）—33（B）—32（C）—31（D）—30
解：
，的系数为，令，则
，所以，选A
（10）某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有
（A）144种（B）150种（C）196种（D）256种
解，把学生分成两类：
311，221，所以共有，选B
（11）将函数的图象按向量平移，得到函数的图象．若函数在点处的切线恰好经过坐标原点，则下列结论正确的是
（A）（B）（C）（D）
解：
，，
切线方程为，令得，
即，所以，选A
（12）如图，在半径为l的球中．、是两条互相垂直的直径，半径平面．点、分别为大圆上的劣弧、的中点，给出下列结论：
①向量在向量方向上的投影恰为；
②、两点的球面距离为；
③球面上到、两点等距离的点的轨迹是两个点；
④若点为大圆上的劣弧的中点，则过点且与直线、成等角的直线只有三条，其中正确的是
（A）②④（B）①④（C）②（D）②③
解：
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
①向量在向量方向上的投影为，错；舍B
②，对；
③过点的中点及球心的大圆上任意点到点、的距离都相等，错；舍D
④由于等角的值不是一定值，因此将直线、都平移到点M，可知过点且与直线、成等角的直线有无数多条，错，舍A；
选C
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．
（13）设，则______________________．
解：
，填
（14）在底面边长为2的正四棱锥中，若侧棱与底面所成的角大小为，则此正四棱锥的斜高长为______________________．
解：
如图，，，在正中，，填
（15）已知椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点，点在上，若（为坐标原点）的重心恰好在椭圆上，则______________________．
解：
设，则焦点，重心，因为重心恰好在椭圆上，所以，即，所以，填
（16）已知定义在上的函数．给出下列结论：
①函数的值域为；
②关于的方程有个不相等的实数根；
③当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，则；
④存在，使得不等式成立，
其中你认为正确的所有结论的序号为______________________．
解：
，
其图象特征为：
在每一段图象的纵坐标缩短到原来的一半，而横坐标伸长到原来的2倍，并且图象右移个单位，从而
①对；
②显然当时，的图象与的图象只有2个交点，而非个，错；
③当时，函数的图象与轴围成的图形面积为，对；
④，结合图象可知错
填①③
三、解答题：
本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知函数．
（I）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当时，函数的最小值为，求实数的值．
解：
（I）……1分
…3分
．
的最小正周期……6分
（Ⅱ）当，即时，有，．……8分
．……10分
得到的最小值为．由已知，有．，……12分
（18）（本小题满分12分）
如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．
（I）求证：
平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解：
（Ⅰ）分别是的中点，．又，所以．
，……2分
四边形是平行四边形．．是的中点，.……3分
又，，平面平面……5分
（Ⅱ）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，
平面.…6分
于是可建立如图所示的空间直角坐标系.
则有，，，，
，．…7分
设平面的法向量为，
由．
取，得．……9分
平面的法向量为.…10分
…11分
而二面角的大小为钝角，
二面角的大小为．…12分
（19）（本小题满分12分）
某电视台拟举行“团队共享”冲关比赛，其规则如下：
比赛共设有“常识关”和“创新关”两关，每个团队共两人，每人各冲一关，“常识关”中有2道不同必答题，“创新关”中有3道不同必答题；如果“常识关”中的2道题都答对，则冲“常识关”成功且该团队获得单项奖励900元，否则无奖励；如果“创新关”中的3道题至少有2道题答对，则冲“创新关”成功且该团队获得单项奖励1800元，否则无奖励．现某团队中甲冲击“常识关”，乙冲击“创新关”，已知甲回答“常识关”中每道题正确的概率都为，乙回答“创新关”中每道题正确的概率都为，且两关之间互不影响，每道题回答正确与否相互独立．
（I）求此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励的概率；
（Ⅱ）记此冲关团队获得的奖励总金额为随机变量，求的分布列和数学期望．
解：
（I）记“此冲关团队在这5道必答题中只有2道回答正确且没有获得任何奖励”为事件E，事件E发生即“常识关”和“创新关”两关中都恰有一道题答正确．
．……6分
（Ⅱ）随机变量取值为：
0、900、1800、2700．
；…．．7分
；…8分
；……9分
．…10分
0
900
1800
2700
的分布
。
。
。
12分
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到轴的距离为，且．
（I）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若、是（I）中上的两点，，过、分别作直线的垂线，垂足分别为、．证明：
直线过定点，且为定值．
解：
（Ⅰ）．
由及，得.……2分
整理，得.即为所求动点的轨迹的方程．……3分
（Ⅱ）设，．由题意，知直线的斜率必定存在，
故设直线的斜率为，方程为.……4分
联立．则，.…6分
．．从而．……8分
又，即，故．经检验符合题意．
当时，直线的方程为，恒过定点．……10分
由题意，知，．则.
故当时，为定值．……12分
（21）（本小题满分12分）
记，其中，如，令．
（I）求的值；
（Ⅱ）求的表达式；
（Ⅲ）已知数列满足，设数列的前项和为，若对一切，不等式恒成立，求实数的最大值．
解：
（Ⅰ）
．……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ），知．
且．…4分
，，
．
…7分
（Ⅲ），
．……9分．
恒成立恒成立
恒成立恒成立．…10分
而，时，取得最小值．
，实数的最大值为…12分
（22）（本小题满分14分）
已知函数为实常数）．
（I）当时，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若方程（其中）在区间上有解，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：
（参考数据：
）
解：
（Ⅰ）当时，，，令，又，
在上单调递减，在上单调递增．当时，．的最小值为．…．4分
（Ⅱ）在上有解在上有解在上有解．令，
，
令，又，解得：
．
在上单调递增，上单调递减，
又．．即．故．……9分
（Ⅲ）设，
由（I），，．．
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