初三数学专题复习(相似三角形).doc
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中考复习--相似三角形
【课前热身】
1.以下列长度(同一单位)为长的四条线段中,不成比例的是( )
A.2,5,10,25 B.4,7,4,7C.2,0.5,0.5,4 D.,,,
2.两地的距离是500米,地图上的距离为10厘米,则这张地图的比例尺为( )
A.1∶50 B.1∶500 C.1∶5000 D.1∶50000
3.下列各组图形不一定相似的是( )
A.两个等边三角形 B.各有一个角是100°的两个等腰三角形
C.两个正方形 D.各有一个角是45°的两个等腰三角形
第5题图
4.△ABC的三边之比为3∶4∶5,若△ABC∽△A'B'C',且△A'B'C'的最短边长为6,则△A'B'C'的周长为( )
A.36B.24C.18D.12
5.如图,在△ABC中,若D、E分别是边AB、AC上的点,且DE∥BC,AD=1,DB=2,
则△ADE与△ABC的面积比为____________;
【中考考点链接】
一、相似三角形的定义
三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形.
二、相似三角形的判定方法
判定1.两个角对应相等的两个三角形__________.
判定2.两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.
判定3.三边对应成比例的两个三角形___________.
【拓展】常见的相似形式:
1.若DE∥BC(A型和X型)则______________.
2.射影定理:
若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________,CD2=_______,BC2=______.
三、相似三角形的性质
1.相似三角形的对应边_________,对应角________.
2.相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k表示.
3.相似三角形的对应角平分线,对应边的________线,对应边上的_______线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________.
【典例精析】
1、比例的性质
例1:
若,则;
变式1.若∶3=∶4=∶5,且,则;
变式2:
若,则
【中考真题】
(2012北京)已知,求代数式的值.
2、相似三角形的判定
应用相似三角形的判定定理时,基本思路是:
先考虑两角相等,再考虑两边及夹角,最后考虑三边成比例;而有一种情况不同,就是在网格线中证明两个格点三角形相似时,常常首先考虑三边,因为此时三角形的边长往往已知或很容易求出;
1.如图,具备下列哪个条件可以使⊿ACD∽⊿BCA()
ABCD
2.【网格中的相似三角形】下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是()
A.
B.
C.
D.
3、(2013•牡丹江)如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,连接CD,请添加一个适当的条件 ,使△ABC∽△ACD.(只填一个即可)
4、(2013东营)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x,那么x的值()
A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个
5、(2012海南)如图,点D在△ABC的边AC上,要判断△ADB与△ABC相似,添加一个条件,不正确的是【】
A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.D.
3、相似三角形的性质及应用
1、(2013白银)如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长为 米.
2、(2013哈尔滨)如图,在△ABC中,M、N分别是边AB、AC的中点,则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为().
(A)(B)(C)(D)
3、(2013•鄂州)如图,Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于点D,若BD:
CD=3:
2,则tanB=( )
A.
B.
C.
D.
4、(2013•眉山)如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的两点,且,若△AEF的面积为2,则四边形EBCF的面积为 .
5、(2013•天津)如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,
则AE的长为 .
6.(2012孝感)如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直
线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)
的面积分别是4,9和49.则△ABC的面积是.
7.(2013内江)如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:
S△ABF=4:
25,则DE:
EC=( )
A.
2:
5
B.
2:
3
C.
3:
5
D.
3:
2
8、(2013新疆)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为( )
A.
2
B.
2.5或3.5
C.
3.5或4.5
D.
2或3.5或4.5
4、相似多边形
1.(2009济宁)如图,在长为8cm、宽为4cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是()
A.2cm2B.4cm2C.8cm2D.16cm2
2.(2011.潍坊)已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=()
A. B.C. D.2
5、成比例线段
(1)平行线
1.如图,□ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,。
⑴求证:
△ABF∽△CEB;
⑵若△DEF的面积为2,求□ABCD的面积。
2.(做平行线构造成比例线段)如图,已知⊿ABC中,D为AC上的一点,AD∶DC=3∶2,E为CB延长线上的一点,ED和AB相交于点F,EF=FD。
求:
EB∶BC的值。
A
B
F
E
C
D
3.(2009潍坊)已知,延长BC到D,使.取的中点,连结交于点.
(1)求的值;
(2)若,求的长.
(2)利用相似三角形的性质及判定
证明线段成比例的基本方法:
首先看四条线段是否在两个三角形中,如果在,一般可直接证明;如果不在,可先考虑作辅助线,将其放到两个三角形中;如果作辅助线不能将其放在两个三角形中,常用的方法还有两种:
等线段代换和中间比代换;
4.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、
CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.
求证:
(1);
(2)
5.【等线段代换法】 在△ABC中,AB=AC,直线DEF与AB交于D,与BC交于E,与AC的因此线交于F。
求证:
。
6.【中间比例过渡法】已知△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE、BC分别交于点N、M,
求证:
。