欧几里得空间.docx
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欧几里得空间
第九章欧几里得空间
§1定义与基本性质
教学目的：
理解欧几里得空间的定义与性质，掌握向量的长度与夹角的概念，度量矩阵的概念与性质，会求欧几里得空间基的度量矩阵.
教学重点：
欧几里得空间的定义与性质，度量矩阵的性质.
教学难点：
理解欧几里得空间的定义.
教学内容：
一、向量的内积
定义1设是实数域上一个向量空间,在上定义了一个二元实函数，称为内积,记作,它具有以下性质:
1）;
2）;
3）;
4）,当且仅当时,
这里是任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间.
例1在线性空间中,对于向量
定义内积
（1）
则内积
（1）适合定义中的条件，这样就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.
在时，
（1）式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.
例2在里,对于向量
定义内积
则内积
（1）适合定义中的条件，这样就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.,
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.
例3在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对于函数定义内积
.
（2）
对于内积
（2），构成一个欧几里得空间.
同样地，线性空间对于内积
（2）也构成欧几里得空间.
例4令是一切平方和收敛的实数列
所成的集合,则是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特（Hilbert）空间.
二、欧几里得空间的基本性质
1）定义中条件1）表明内积是对称的.
.
定义2非负实数称为向量的长度，记为.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：
（3）
这里.
长度为1的向量叫做单位向量.如果,由（3）式，向量
就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.
柯西-布涅柯夫斯基不等式：
即对于任意的向量有
（5）
当且仅当线性相关时，等式才成立.
对于例1的空间，（5）式就是
对于例2的空间，（5）式就是
定义3非零向量的夹角规定为
根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式
.
定义4如果向量的内积为零，即
那么称为正交或互相垂直，记为.
两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.
只有零向量才与自己正交.
勾股定理：
当正交时，
推广：
如果向量两两两正交，那么
.
设是一个维欧几里得空间，在中取一组基，对于中任意两个向量
,
由内积的性质得
令
（8）
显然
于是
（9）
利用矩阵，还可以写成
（10）
其中
分别是的坐标，而矩阵
称为基的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩阵完全确定了内积.
设是空间的另外一组基，而由到的过渡矩阵为，即
于是不难算出，基的度量矩阵
.（11）
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的.
根据条件（4），对于非零向量，即
有
因此，度量矩阵是正定的.
反之，给定一个级正定矩阵及维实线性空间的一组基.可以规定上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的度量矩阵是.
欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间.
欧几里得空间以下简称为欧氏空间.
§2正交基
教学目的：
理解正交基、标准正交基、正交矩阵的概念，掌握施密特正交.化方法，会求欧几里得空间的标准正交基
教学重点：
施密特正交化方法.
教学难点：
求标准正交基.
教学内容：
一、标准正交基
定义5欧氏空间的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.
按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.
正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过个.
定义6在维欧氏空间中，由个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
设是一组标准正交基，由定义，有
（1）
显然，
（1）式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在维欧氏空间中，标准正交基是存在的.
在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即
.
（2）
在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设
那么
（3）
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式（3），对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位.
二、规范正交基的存在性及其正交化方法
定理1维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基.
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.
定理2对于维欧氏空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，使
应该指出，定理中的要求
就相当于由基到基的过渡矩阵是上三角形的.
定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程.
例1
变成单位正交组.
三、正交矩阵
上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式.
设与是欧氏空间中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是，即
因为是标准正交基，所以
（4）
矩阵的各列就是在标准正交基下的坐标.按公式（3）,（4）式可以表示为
（5）
（5）式相当于一个矩阵的等式
（6）
或者
定义7组实数矩阵称为正交矩阵，如果
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.
最后指出，根据逆矩阵的性质，由
即得
写出来就是
（7）
（5）式是矩阵列与列之间的关系，（7）式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的.
例2考虑定义在闭区间上一切连续函数所作成的欧氏空间.函数组
构成的一个正交组.
把上面的每一向量除以它的长度,就得到的一个标准正交组:
例3欧氏空间的基
是的一个标准正交基.
§3同构
教学目的：
理解欧几里得空间同构的定义，注意它与一般线性空间同构的不同.
教学重点：
同构的定义.
教学难点：
同构的判定.
教学内容：
定义8实数域上欧氏空间与称为同构的,如果由到有一个双射，满足
1）,
2）,
3）,
这里，这样的映射称为到的同构映射.
由定义，如果是欧氏空间到的一个同构映射，那么也是到作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数.
设是一个维欧氏空间，在中取一组标准正交基，在这组基下，的每个向量都可表成
令
就是到的一个双射，并且适合定义中条件1）,2）.上一节（3）式说明，也适合条件3），因而是到的一个同构映射，由此可知，每个维的欧氏空间都与同构.
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.
既然每个维欧氏空间都与同构，按对称性与传递性得，任意两个维欧氏空间都同构.
定理3两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等.
这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.
§4正交变换
教学目的：
掌握正交变换的定义与性质及其分类，了解正交变换与正交矩阵之间的关系.
教学重点：
正交变换的定义与性质.
教学难点：
正交变换的应用.
教学内容：
定义9欧氏空间的线性变换A叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有,都有.
（A,A）=.
正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.
定理4设A是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：
1）A是正交变换；
2）A保持向量的长度不变，即对于,|A|=||;
3）如果是标准正交基，那么A,A,…,A也是标准正交基；
4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的.由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
如果是正交矩阵，那么由
可知
或者.
因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.
例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基，定义线性变换A为：
AA.
那么，A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.
例1令是空间里过原点的一个平面,,令对于的镜面反射与它对应.是的一个正交变换.
例2设,令.则是的一个正交变换.
例3将的每一向量旋转一个角的正交变换关于的任意标准正交基的矩阵是
.
又令是例1中的正交变换.在平面内取两个正交的单位向量,再取一个垂直于H的单位向量,那么是的一个规范正交基,关于这个基的矩阵是
以上两个矩阵都是正交矩阵.
§5子空间
教学目的：
理解子空间正交的定义与性质，掌握正交补的定义与求法.
教学重点：
子空间正交的定义与性质，正交补的定义.
教学难点：
正交补的性质与求法.
教学内容：
定义10设是欧氏空间中两个子空间.如果对于任意的，恒有
则称为正交的，记为.一个向量，如果对于任意的，恒有
则称与子空间正交，记为.
因为只有零向量与它自身正交，所以由可知；由,可知.
定理5如果子空间两两正交，那么和是直和.
定义11子空间称为子空间的一个正交补，如果，并且.
显然，如果是的正交补，那么也是的正交补.
定理6维欧氏空间的每一个子空间都有唯一的正交补.
的正交补记为，由定义可知
维（）+维（）=
推论恰由所有与正交的向量组成.
由分解式
可知，中任一向量都可以唯一分解成
其中.称为向量在子空间上的内射影.
§6实对称矩阵的标准形
教学目的：
掌握实对称矩阵的特点与性质，会把一个对称矩阵对角化；掌握对称变换的定义及性质，了解对称变换与对称矩阵之间的对应关系.
教学重点：
对称变换，对称矩阵的性质，实对称矩阵对角化方法.
教学难点：
实对称矩阵对角化方法.
教学内容：
由第五章得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵使成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是：
对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使
成对角形.
引理1设是实对称矩阵，则的特征值皆为实数.
对应于实对称矩阵，在维欧氏空间上定义一个线性变换A如下：
A.
（1）
显然A在标准正交基
（2）
下的矩阵就是.
引理2设是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意，有
（A,）=（,A）,（3）
或
定义12欧氏空间中满足等式（3）的线性变换称为对称变换.
容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚.
引理3设A是对称变换，是A-子空间，则也是A-子空间.
引理4设是实对称矩阵，则中属于的不同特征值的
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