a[i]+b[i]:
a[i])+carry;
a[i]=r%10;
carry=r/10;
}
if(carry) a[++m]=carry;
}
free(b);
a[0]=m;
}
void write(int*a,intk)
{ inti;
printf(“%4d!
=”,k);
for(i=a[0];i>0;i--)
printf(“%d”,a[i]);
printf(“\n\n”);
}
voidmain()
{ inta[MAXN],n,k;
printf(“Enterthenumbern:
“);
scanf(“%d”,&n);
a[0]=1;
a[1]=1;
write(a,1);
for(k=2;k<=n;k++)
{ pnext(a,k);
write(a,k);
getchar();
}
}
四、递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:
为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。
特别地,当规模N=1时,能直接得解。
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。
斐波那契数列为:
0、1、1、2、3、……,即:
fib(0)=0;
fib
(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。
写成递归函数有:
intfib(intn)
{ if(n==0) return 0;
if(n==1) return 1;
if(n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。
在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。
例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。
也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。
依次类推,直至计算fib
(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。
在递推阶段,必须要有终止递归的情况。
例如在函数fib中,当n为1和0的情况。
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib
(1)和fib(0)后,返回得到fib
(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。
在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。
当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。
例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。
【问题】 组合问题
问题描述:
找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5,r=3的所有组合为:
(1)5、4、3
(2)5、4、2 (3)5、4、1
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1
(10)3、2、1
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。
设函数为void comb(intm,intk)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。
当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。
这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。
设函数引入工作数组a[]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[]中的一个组合输出。
第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。
细节见以下程序中的函数comb。
【程序】
#include
#define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(intm,intk)
{ inti,j;
for(i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if(k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for(j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}
voidmain()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
c语言经典算法
【问题】 背包问题
问题描述:
有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。
采用递归寻找物品的选择方案。
设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[],该方案的总价值存于变量maxv。
当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[]。
假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。
算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。
因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。
对于第i件物品的选择考虑有两种可能:
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。
选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。
按以上思想写出递归算法如下:
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv)
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 将物品i包含在当前方案中;
if(i try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
恢复物品i不包含状态;
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if(不包含物品i仅是可男考虑的)
if(i try(i+1,tw,tv-物品i的价值);
else
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
}
为了理解上述算法,特举以下实例。
设有4件物品,它们的重量和价值见表:
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
价值 4 4 3 1
c语言经典算法
五、回溯法
回溯法也称为试探法,该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制,并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。
当发现当前候选解不可能是解时,就选择下一个候选解;倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外,满足所有其他要求时,继续扩大当前候选解的规模,并继续试探。
如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时,该候选解就是问题的一个解。
在回溯法中,放弃当前候选解,寻找下一个候选解的过程称为回溯。
扩大当前候选解的规模,以继续试探的过程称为向前试探。
1、回溯法的一般描述
可用回溯法求解的问题P,通常要能表达为:
对于已知的由n元组(x1,x2,…,xn)组成的一个状态空间E={(x1,x2,…,xn)∣xi∈Si,i=1,2,…,n},给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D,要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。
其中Si是分量xi的定义域,且|Si|有限,i=1,2,…,n。
我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法,即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束,若满足,则为问题P的一个解。
但显然,其计算量是相当大的。
我们发现,对于许多问题,所给定的约束集D具有完备性,即i元组(x1,x2,…,xi)满足D中仅涉及到x1,x2,…,xi的所有约束意味着j(j
换句话说,只要存在0≤j≤n-1,使得(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及到x1,x2,…,xj的约束之一,则以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)一定也违反D中仅涉及到x1,x2,…,xi的一个约束,n≥i>j。
因此,对于约束集D具有完备性的问题P,一旦检测断定某个j元组(x1,x2,…,xj)违反D中仅涉及x1,x2,…,xj的一个约束,就可以肯定,以(x1,x2,…,xj)为前缀的任何n元组(x1,x2,…,xj,xj+1,…,xn)都不会是问题P的解,因而就不必去搜索它们、检测它们。
回溯法正是针对这类问题,利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。
树T类似于检索树,它可以这样构造:
设Si中的元素可排成xi
(1),xi
(2),…,xi(mi-1),|Si|=mi,i=1,2,…,n。
从根开始,让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。
这mi个儿子到它们的双亲的边,按从左到右的次序,分别带权xi+1
(1),xi+1
(2),…,xi+1(mi),i=0,1,2,…,n-1。
照这种构造方式,E中的一个n元组(x1,x2,…,xn)对应于T中的一个叶子结点,T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x1,x2,…,xn,反之亦然。
另外,对于任意的0≤i≤n-1,E中n元组(x1,x2,…,xn)的一个前缀I元组(x1,x2,…,xi)对应于T中的一个非叶子结点,T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x1,x2,…,xi,反之亦然。
特别,E中的任意一个n元组的空前缀(),对应于T的根。
因而,在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点,要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x1,x2,…,xn满足约束集D的全部约束。
在T中搜索所要求的叶子结点,很自然的一种方式是从根出发,按深度优先的策略逐步深入,即依次搜索满足约束条件的前缀1元组(x1i)、前缀2元组(x1,x2)、…,前缀I元组(x1,x2,…,xi),…,直到i=n为止。
在回溯法中,上述引入的树被称为问题P的状态空间树;树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点;树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点;树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点,它对应于问题P的一个解。
【问题】组合问题
问题描述:
找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。
例如n=5,r=3的所有组合为:
(1)1、2、3
(2)1、2、4(3)1、2、5
(4)1、3、4(5)1、3、5(6)1、4、5
(7)2、3、4(8)2、3、5(9)2、4、5
(10)3、4、5
则该问题的状态空间为:
E={(x1,x2,x3)∣xi∈S,i=1,2,3}其中:
S={1,2,3,4,5}
约束集为:
x1 问题的状态空间树T:
2、回溯法的方法
对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T,利用T的层次结构和D的完备性,在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为:
从T的根出发,按深度优先的策略,系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点,而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索,以提高搜索效率。
具体地说,当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时,即“激活”该状态结点,以便继续往深层搜索;否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索,而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯,一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点,直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点,即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。
在搜索过程中,只要所激活的状态结点又满足终结条件,那么它就是回答结点,应该把它输出或保存。
由于在回溯法求解问题时,一般要求出问题的所有解,因此在得到回答结点后,同时也要进行回溯,以便得到问题的其他解,直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。
例如在组合问题中,从T的根出发深度优先遍历该树。
当遍历到结点(1,2)时,虽然它满足约束条件,但还不是回答结点,则应继续深度遍历;当遍历到叶子结点(1,2,5)时,由于它已是一个回答结点,则保存(或输出)该结点