7逻辑代数下谓词演算习题答案Word文档下载推荐.docx

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T（x）xxx为自由变元。

x（P（x）AQ（x））AxS（x）fT不是命题。

公式中x既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：

x（P（x）AQ（x））AyS（y）fT（z）

（3）全称量词，辖域P（x）fy（B（x,y）AQ（y））VT（y）,其中x为约束变元,

存在量词，辖域B（x,y）AQ（y），其中y为约束变元。

T（y）xxy为自由变元。

x（P（x）fy（B（x,y）AQ（y））VT（y））不是命题。

公式中y既是自由变元又是约束变元，可更改变元为如下公式：

x（P（x）-y（B（x,y）AQ（y））VT（z）不是命题。

（4）全称量词，辖域x（P（x）AB（x,y））,其中y为约束变元。

存在量词，辖域P（x）AB（x,y）,其中x为约束变元。

不在量词辖域中的P（x）（第一个和第三个P（x））中的x为自由变元。

P（x）yx（P（x）AB（x,y））-P不是命题。

P（z）-（yx（P（x）AB（x,y））-P（z））

2.对个体域｛0,1｝判定下列公式的真值，E（x）表示“是偶数”

（1）x（E（x）x=1）

（2）x（E（x）A「x=1）

（3）x（E（x）Ax=1）

（4）x（E（x）—x=1）

再将它们的量词消去，表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。

（1）x（E（x）x真）

x（E（x）—n可表示成命题公式（E

（0）—n0=1A（E

（1）—n1）1

其中E

（0）—n0真，E

（1）1也真，故（E

（0）r0）=1A（E

（1）「1）真。

（2）x（E（x）A「x=1假

x（E（x）A「x=1可表示成命题公式（E

（0）An0=）A（E

（1）An1=）其中E

（0）An0二真，但E

（1）An仁假，故（E

（1）Aq1=）假。

（3）x（E（x）Ax=1假

x（E（x）Ax=1）可表示成命题公式（E

（0）A0=1）V（E

（1）A仁1）

（0）A0=1假，E

（1）A1=1也假，故（E

（1）A仁1）假。

（4）x（E（x）fx二真

x（E（x）fx可表示成命题公式（E

（0）f0=^（E

（1）f仁1）

（0）f0二假，但E

（1）f仁真，故（E

（0）f0=1^（E

（1）f仁真。

3.

（表示数乘运算）：

设整数集为个体域，判定下列公式的真值

（1）xy（xy=x）

（2）xy（xy=1）

（3）xy（x+y=1）

（4）yx（xy=x）

（5）yx（x+y=1）

（1）xy（xy=x）真

（2）xy（xy=1）假

（3）xy（x+y=1真

（4）yx（xy=x）真

（5）yx（x+y=1假

4•用谓词公式将下列语句形式化:

（1）xx是xx的首都。

（2）xx是数学家，但不是文学家。

（3）不劳动者不得食。

（4）人无完人。

（5）发亮的xx不都是金子。

（6）天下乌鸦一般黑。

（7）一个数既是偶数又是质数，当且仅当该数为2。

（8）有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。

（9）凡成功者都xx,但反之不然。

（10）有的汽车比有的火车跑得快。

（11）一个人如果不相信所有其他人,那么他也就不可能得到其他人的信任。

（12）不是所有的男人都至少比一个女人高,但至少有一个男人比所有的女人高。

解:

（1）xx是xx的首都；

C（x,y表示“X是y的首都”w表示华盛顿”a表示美国，原句可表示为

C（w,a）

（2）xx是数学家,但不是文学家。

M（x）表示“X是数学家”A（x）表示“X是天文学家”g表示高斯”原句可表示为M（g）AnA（g）

（3）W（x）表示“是劳动的”F（x）表示“是可以得到食物的”原句可表示为x（nW（x）nF（x））

（4）人无完人。

M（x）表示“是人”P（x）表示“是完美的”原句可表示为

nx（M（x）AP（x）或者x（M（x）门P（x））

（5）L（x）表示“是发亮的”G（x）表示“是金子”原句可表示为

nx（L（x）-G（x））

W（x）表示“是乌鸦”B（x）表示“是黑的的”原句可表示为

x（W（x）-B或者nx（W（x）AnB（x））

（7）O（x）表示“是奇数”E（x）表示“是偶数”原句可表示为

x（O（x）AE（x）x=2）

C（x）表示“是猫”M（x）表示“是耗子”G（x）表示“是好的”K（x,y）表示“x会捉y”原句可表示为

x（C（xAy（M（y）-nK（x^）））x（C（xAy（M（y）-K（x,y））-G（x））

（9）S（x）表示“是成功”H（x）表示“是努力奋斗的”原句可表示为

x（S（x）—H（A）nx（H（x）—S（x））

（10）有的汽车比有的火车跑得快。

C（x）表示“是汽车”T（x）表示“是火车”F（x,y表示“X匕y快”原句可表示为x（C（x）Ay（T（y）AF（x,y）））

（11）M（x）表示“是人”B（x,y）表示“相信y”原句可表示为

x（M（x）Any（M（y）Ax工AB（x,y））-7（M（y）Ax^yB（y,x）））

（12）M（x）表示“是男人”F（x）表示“是女人”H（x,y）表示“比y高”原句可表示为

nx（M（x）-y（F（y）AH（x,y）））Ax（M（x）Ay（F（y）-H（x,y）））

5.量词！

表示有且仅有”!

xP（x）表示有且仅有一个个体满足谓词P（x）b试用量词，，，等号“圾谓词P（x）表示!

P（x），即写出一个通常的谓词公式使之与！

xP（x具有相同的意义。

!

xP（x）可用以下具有相同的意义的谓词公式表示

x（P（x）Ay（P（y）-y=x）

6.f（x）为一实函数当且仅当对每一实数x都有且只有一个实数y满足y二f（x）

（不得使用量词!

b“f（＞为实函数”可译为RF（f））b

RF（f）xy（y=f（x）Anz（z#yz=f（x）））

练习5.2

1•设个体域D=d

1,,,d

n，试用消去量词的方法证明下列基本逻辑等价式:

（1）nxA（x）xnA（x）

nxA（x）

n（A（d

1）AA（d

2）A,AA（d

n））

nA（d

1）VnA（d

2）V,VnA（d

n）

xnA（x）

（2）xA（x）APx（A（x）AP）（P为命题常元）

xA（x）AP

（A（d

n））AP

1）AP）A（A（d

2）AP）A,A（A（d

n）AP）

x（A（x）AP）

x（A（x）VB（x））

xA（x）VxB（x）

1）VA（d

2）V,VA（d

n））V（B（d

1）VB（d

2）V,VB（d

1）VB（d

1））V（A（d

2）VB（d

2））V,V（A（d

n）VB（d

2•证明下列逻辑蕴涵式及逻辑等价式：

（1）xy（P（x）Q（y））xP（x—>

证明：

xy（P（x）Q（y））

xy（nPMQ（y））

x（nP（x）yQ（y））

xnP（^）yQ（y）

nxP（x）VyQ（y）

xP（x）yQ（y）

（2）xy（P（x）Q（y））xP（x—>

xy（P（x）-Q（y））

xy（nPV）Q（y））

x（nPVx）yQ（y））

xnP（V）yQ（y）

yQ（y）

xP（x）tQ（y）