最全最实用的指数函数复习资料精练+答案.docx
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最全最实用的指数函数复习资料（精练+答案）
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指数与指数函数
【知识梳理】
一、指数运算
1、根式
（1）概念：
若（），则称x为a的n次方根，“”是方根的记号．
（2）a的n次方根的性质：
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根．
①；
②n为奇数，=a；n为偶数，=|a|=
2、有理数指数幂
（1）分数指数幂的意义：
①（注：
无意义）；
②；
③．
（2）指数幂的运算性质
①；
②；
③；
④．
二、指数函数
1、指数函数的概念：
一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：
指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象与性质
【典型例题】
题型一、根式的化简、指数幂的运算
例题1：
化简：
（1）；
（2）；（3）．
【解析】
（1）；
（2）；（3）=
【点评】不注意n的奇偶性对式子的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用‘本题易错的是第（3）题，往往忽视a与2大小的讨论，造成错解．
例题2：
计算：
（1）；
（2）··．
【解析】
（1）原式；
（2）3··=3·3·3·3=3=32=9．
【点评】利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．
变式1：
化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
（1）原式=；
（2）原式；
（3）原式．
【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．
变式2：
若，，则________．
【解析】．
【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用，将、看作一个整体，再进行代数运算．
题型二、指数函数概念、定义域和值域
例题3：
下列函数中属于指数函数的有（）个．
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．
A．2B．3C．4D．5
【解析】选A．只有（4）（6）属于指数函数的形式．
【点评】在判断是否为指数函数时，应严格按照的形式来判断，特别要注意函数中是否有表明的取值范围．
例题4：
求下列函数的定义域和值域：
（1）2；
（2）（）；（3）y=ax-1（a>0，a≠1）．
【解析】
（1）令x-4≠0，则x≠4，所以函数y=2的定义域是｛x∈R∣x≠4｝，
又因为≠0，所以2≠1，即函数y=2的值域是｛y|y>0且y≠1｝．
（2）因为-|x|≥0，所以只有x=0.因此函数y=（）的定义域是｛x∣x=0｝．
而y=（）=（）0=1，即函数y=（）的值域是｛y∣y=1｝．
（3）定义域为R，因为的值域为，所以的值域为．
y=dx
y=cx
y=bx
y=ax
O
y
x
【点评】由于指数函数y=ax,（a＞0且a≠1）的定义域是R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性．
例题5：
如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx
在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序【】
A、aC、b【解析】∵a1=a∴直线x=1与各函数图象交点的纵坐标为底数值，故b【点评】由上述结果可知：
当底数>1时，指数函数底数越大，图象越靠近y轴；当0<底数<1时，指数函数底数越小，图象越靠近y轴．
变式3：
函数恒过定点___________．
【解析】因为y=ax过点（0，1），所以当x=0时，y=1+5=6，所以原函数过定点（0,6）．
【点评】解决定点问题，关键是理解指数函数的定点．
变式4：
已知指数函数的图象过点（），
（1）求的值；
（2）利用图像比较三个函数值的大小．
【解析】
（1）设指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）因为图象过点（3,π），所以f（3）=a3=π，即a=π，f（x）=（π）x．
再把0,1,3分别代入,得：
f（0）=π0=1，f
（1）=π1=π，f（-3）=π-1=．
（2）由图易知f
（1）>f（0）>f（-3）．
【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用．
变式5：
当时，函数和的图象只可能是（）
1
x
y
O
1
x
y
O
1
x
y
O
1
x
y
O
ABCD
【解析】选项A中一次函数，指数函数应是减函数，故A对．
选项B中一次函数，指数函数应是增函数，故B错．
选项C中一次函数，指数函数应是减函数，故C错．
选项D中一次函数，指数函数应是增函数，故D错．
故答案选A．
【点评】利用一次函数和指数函数的关系来确定图象，是本题的关键．
题型三、解指数式方程、不等式
例题6：
解下列方程：
（1）；
（2）．
【解析】
（1）；
（2）．
【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解．
例题7：
解下列不等式：
（1）；
（2）．
【解析】
（1）
（2）．
【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解．
变式6：
解下列方程：
（1）；
（2）．
【解析】
（1）原方程化为－6×3-x－27=0，∴（3-x＋3）（3-x－9）=0．
∵3-x＋30，∴由3-x－9=0得3-x=32，故x=－2是原方程的解．
（2）原方程化为，，
，得，．
【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题
（1），把看成未知数，解得的一元二次方程的根等于，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验．
题型四、指数函数性质的应用
例题8：
比较下列两个数的大小：
（1）；
（2）；
（3）；（4）,2．
【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较：
对
（1）因为函数y=3x在R上是增函数，0.8＞0.7，所以30.8>30.7；
对
（2）因为函数y=0.75x在R上是减函数，0.1＞-0.1，所以0.75-0.1>0.750.1；
对（3）由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6，所以1.80.6>0.81.6；
对（4）由指数函数的性质知（）>（）0=1=20>2，所以（）>2．
【点评】首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较．若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量“1”，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”．
例题9：
求函数的单调区间和值域．
【解析】令在上递减，在上递增，又为减函数，
所以在上递增，在上递减，当时，为最大值，
所以的值域为．
【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间．
变式7：
已知是奇函数，求常数的值．
【解析】由是奇函数，得，
即，，，得．
【点评】此题中函数的定义域为，所以不能利用来求解，应利用奇函数的定义求出值．
变式8：
判断函数的单调性、奇偶性．
【解析】任取，使，
，
因为，所以，为增函数，所以，所以，
所以在上单调递增；
，所以为奇函数．
【点评】在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断．在判断此题函数的奇偶性时，通过分子分母同乘化简，从而比较与的关系．
【方法与技巧总结】
1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为：
①根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行；
②有分式的转化为负数指数幂；
③底数尽量化为一致；
④四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序．
2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征，要用到数形结合思想、分类讨论思想．
※题库题目仅供选择使用
【巩固练习】
1．下列各式中正确的是（）
A、=aB、=C、a0=1D、=.
2．将化为分数指数幂的形式为（）
A、B、C、D、
3．函数f（x）＝的定义域是（）
A、 B、
C、 D、
4．下列函数中，值域为的函数是（）
A、 B、 C、 D、
5．已知指数函数图像经过点，则．
6．若=a-1，则a的取值范围为．
7．=__________．
8．若函数是奇函数，则=_________．
9．已知函数，求其单调区间及值域．
10．已知函数.
（1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：
是区间上的增函数；
（2）若，求的值．
【课后作业】
1．下列各式中成立的一项（）
A、B、C、D、
2．化简（a,b为正数）的结果是（）
A、B、abC、D、a2b
3．设，则（）
B、C、D、
4．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）
A、B、
C、D、
5．函数的定义域是（）
A、B、C、D、
6．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）
A、[6,+ B、 C、 D、
7．设5x=4，5y=2，则=．
8．=．
9．函数的图象恒过定点____________．
10．若函数是奇函数，则=_________．
11．已知，求的最小值与最大值．
12．已知．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明：
是定义域内的增函数；
（3）求的值域．
【拓展训练】
1．化简，结果是（）
A、B、C、D、
2．若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（）
A、B、
C、D、
3．设集合，则是（）
A、B、C、D、有限集
4．是偶函数，且不恒等于零，则（）
A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数
C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数
5．函数的图象是（）
6．函数的值域是（）
A、B、C、D、
7．（2010重庆）函数的图象（）
A、关于原点对称B、关于直线y=x对称C、关于x轴对称D、关于y轴对称
8．方程的解．
9．函数在区间上的最大值比最小值大，则=__________．
10．若，求的值．
11．如果函数在上的最大值为14，求实数的值．
12．已知．
（1）判断的奇偶性；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，恒成立，求b的取值范围．
13．（2006重庆文）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a,b的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．
【参考答案】
一、巩固练习答案
1、选．
2、选．原式．
3、选．由得，从而．
4、选．注意先确定定义域．
5、．设，把代入得，．
6、．，得，所以．
7、100．原式．
8、．由得．
9、解：
令，由于为减函数，所以在单调递增，在单调递减，当时，取到最大值，所以值域为．
10、
（1）证明：
任取，使，
因为，所以，，又，所
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