初中几何证明题绝对经典.docx
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初中几何证明题绝对经典
几何证明
1.点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．
（1）若和是等腰直角三角形，且（如图1），则是三角形．
（2）在和中，若BA=BE,BC=BF,且，（如图2），则是三角形，且.
（3）若将
（2）中的绕点B旋转一定角度,（如同3），其他条件不变，那么
（2）中的结论是否成立？
若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：
设A、P两点间的距离为x.
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？
试证明你的猜想；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？
如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.
3.
（1）如图1，四边形中，，，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，四边形中，，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论．
图2
图１
4.
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD.求证:
EF＝BE＋FD;
图1图2图3
（2）如图2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD,
（1）中的结论是否仍然成立？
不用证明.
（3）如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD,
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
5.以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：
AM与DE的位置及数量关系．
（1）如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，
线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（0<<90）后，如图②所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90︒，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m=n时，如图，求证：
EF=AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？
若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？
并求出点E的坐标．
7.如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF= ▲ °，猜想∠QFC=▲°；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．
8.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？
若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：
t为何值时，△PMC为等腰三角形？
9．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：
（1）若AB＝AC，请探究下列数量关系：
①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；
②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若AB＝k·AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：
AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
1、解：
（1）等腰直角
（2）等腰
（3）结论仍然成立
证明：
在
∴△ABF≌△EBC.
∴AF=CE.∠AFB=∠ECB
∵M,N分别是AF、CE的中点,
∴FM=CN.
∴△MFB≌△NCB.
∴BM=BN.∠MBF=∠NBC
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=
2、解：
（1）PQ=PB
过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N
在正方形ABCD中，AC为对角线
∴AM=PM
又∵AB=MN
∴MB=PN
∵∠BPQ=900
∴∠BPM＋∠NPQ=900
又∵∠MBP＋∠BPM=900
∴∠MBP=∠NPQ
∴Rt△MBP≌Rt△NPQ,
∴PB=PQ
（2）∵S四边形PBCQ=S△PBC＋S△PCQ
∵AP=x
∴AM=x
∴CQ=CD－2NQ=1－x
又∵S△PBC=BC·BM=·1·（1－x）=-x
S△PCQ=CQ·PN=（1－x）·（1－x）
=－＋
∴S四边形PBCQ=－x＋1.（0≤x≤）
（3）△PCQ可能成为等腰三角形.
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，
PQ=QC，此时，x=0.
②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，
有：
QN=AM=PM=，CP=－x,
CN==1－
CQ=QN－CN=－（1－）
=x－1
∴当－x=－1时，x=1
3、解：
（1）如图１，延长至，使．
可证明是等边三角形．
联结，可证明≌．
故．
（2）如图２，在四边形外侧作正三角形，
可证明≌，得．
∵四边形符合
（1）中条件，
∴．
联结，
ⅰ）若满足题中条件的点在上，
则．
∴．
∴．
ⅱ）若满足题中条件的点不在上，
∵，
∴．
∴．综上，．
4、答案
（1）证明：
延长EB到G，使BG=DF，联结AG.
∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°,AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF.
∴AG＝AF,∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF.
∴EG＝EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE＋FD
（2）
（1）中的结论EF=BE＋FD仍然成立.
（3）结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．
证明：
在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF.
∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
=∠EAF=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF.
∴EG＝EF
∵EG=BE－BG
∴EF=BE－FD．
5、答案：
解：
（1），
（2）结论仍然成立。
证明：
如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连结．
，
．
在与中：
（SAS）.
BF=DE,.
.
.
又CA=AF,CM=MB，AM//FB且AM=FB
AM=DE．
6、答案：
（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．
如图，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．
∴∠EGO=45︒，从而∠AGE=135︒．
由BF是外角平分线，得∠EBF=135︒，∴∠AGE=∠EBF．
∵∠AEF=90︒，∴∠FEB+∠AEO=90︒．
在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90︒，
∴∠EAO=∠FEB，∴△AGE≌△EBF，EF=AE．
（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．
由
（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH=OE，EH=OA．
∴点F的纵坐标为a，即FH=a．
由BF是外角平分线，知∠FBH=45︒，∴BH=FH=a．
又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB－OE=m－a，
∴EH=m－a+a=m．
又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．
因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．
（3）如
（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH－OE=h+m－a．
H
x
O
E
B
A
y
C
F
由∠AEF=90︒，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，
∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，
且，即，
整理得nh=ah+am－a2，∴．
把h=（t+1）a代入得，
即m－a=（t+1）（n－a）．
而m=tn，因此tn－a=（t+1）（n－a）．
化简得ta=n，解得．
∵t＞1，∴＜n＜m，故E在OB边上．
∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）．
7、答案：
（1）30°.=60°
（2）=60°不妨设BP＞,如图1所示
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP
∴∠BAP=∠EAQ.
在△ABP和△AEQ中AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ
∴△ABP≌△AEQ（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF
∴=60°
（事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）
（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G
∵△ABE是等边三角形 ∴BE=AB=，由
（1）得30°
在Rt△BGF中，∴BF=∴EF=2
∵△ABP≌△AEQ∴QE=BP=∴QF=QE＋EF
过点Q作QH⊥BC，垂足为H
在Rt△QHF中，（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：
.
8、答案：
解：
（1）在直角梯形ABCD中，
∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴四边形ABNQ是矩形。
∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3-t
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