1995年全国高考数学试题.docx
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1995年全国高考数学试题
一九九五年全国高考数学试题
理科试题
一．选择题：
本题共15个小题;第
（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知I为全集，集合M，NI，若MN=N，则（C）
（A）y（B）y（C）y（D）y
o1x-1oxo1x-1ox
（A）（B）（C）（D）
（2）函数的图象是（B）
（3）函数的最小正周期是（C）
（A）（B）（C）（D）
（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（B）
（A）（B）（C）（D）
（5）若图中的直线的斜率分别为，则（D）
y
O
x
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）在的展开式中，的系数是（D）
（A）-297（B）-252（C）297（D）207
（7）使成立的的取值范围是（B）
（A）（B）（C）（D）
（8）双曲线的渐近线方程是（C）
（A）（B）（C）（D）
（9）已知是第三象限角，且，那么等于
（A）（B）（C）（D）（A）
（10）已知直线，直线.有下面四个命题：
（D）
①②
③④
其中正确的两个命题是
（A）①与②（B）③与④（C）②与④（D）①与③
（11）已知在[0，1]上是x的减函数，则的取值范围是（B）
（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）[2，+）
（12）等差数列的前n项和分别为与，若
等于（C）
（A）1（B）（C）（D）
（13）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（A）
（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个
（14）在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和（2c，0），离心率为e,则它的极坐标方程是（D）
（A）（B）
（C）（D）
B1D1A1
F1
C1
BA
C
（15）如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，
∠BCA=900，点D1，F1分别是A1B1，A1C1
的中点。
若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（A）
（A）（B）
（C）（D）
二．填空题：
本大题共5小题;每小题4分，共20分。
把答案填在题中横线上。
（16）不等式的解是__________
答：
（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_______
答：
（18）函数的最小值是_______
答：
（19）直线过抛物线的焦点，并且与x轴垂直，若被抛物线截得的线段长为4，则_______
答：
4
（20）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种（用数字作答）
答：
144
三．解答题：
本大题共6小题;共65分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
（21）（本小题满分7分）
在复平面上，一个正方形的四顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数。
求Z1和Z3对应的复数。
解：
设Z1，Z3对应的复数分别为
依题设得
（22）（本小题满分10分）
求的值。
解：
原式=
（23）（本小题满分12分）
如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足。
（Ⅰ）求证：
AF⊥DB;
（Ⅱ）如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积比等于，求直线DE与平面ABCD所成的角。
DC
F
AHB
E
（Ⅰ）证明：
根据圆柱性质，
DA⊥平面ABE
∵BE平面ABE，
∴DA⊥EB.
∵AB是圆柱底面的直径，
点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得
EB⊥平面DAE∵AF平面DAE，∴EB⊥AF
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得
AF⊥平面DEB.∵DB平面DEB
∴AF⊥DB.
（Ⅱ）解：
过点E作EH⊥AB，H是垂足，连结DH.
根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线，且EH平面ABE，
∴EH⊥平面ABCD.
又DH平面ABCD，∴DH是ED在平面ABCD上的射影，
从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角.
设圆柱的底面半径而R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，
VD-ABE=AD·S△ABE=·EH.
V圆柱:
VD-ABE=3π,得EH=R.
可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，
DH=
∴∠EDH=
（24）（本小题满分12分）
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴。
设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似的满足关系：
当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格。
（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;
（Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？
解：
（Ⅰ）依题设有
化简得
当判别式时，可得
①
②
解不等式组①，得不等式组②无解。
故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0，]
（Ⅱ）为使，应有
化简得
解得
从而政府补贴至少为每千克1元。
（25）（本小题满分12分）
设是由正数组成的等比数列，是其前n项和。
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）是否存在常数c>0使得
成立？
并证明你的结论。
（Ⅰ）证明：
设的公比为，由题设知
（1）当时，从而
（2）当时，从而
由
（1）和
（2）得
根据对数函数的单调性，知
即
（Ⅱ）解：
要使
①
②
成立，则有
分两种情况讨论：
（1）当时，
可知，不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立。
（2）当时，若条件①成立，因
且故只能有即
此时，
但时，不满足条件②，
即不存在常数c>0，使结论成立。
证法二：
用反证法.假设存在常数c>0，使
，
则有
由（4）得
根据平均值不等式及
（1）、
（2）、（3）、（4）知
因为c>0，故（5）式右端非负，而由（Ⅰ）知，（5）式左端小于零，矛盾。
故不存在常数c>0，使
（26）（本小题满分12分）
已知椭圆，直线.P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解：
由题设知点Q不在原点.设P，R，Q的坐标分别为
y
P
QR
Ox
（xP,yP）,（xR,yR）,（x,y）,
其中x,y不同时为零.
当点P不在y轴上时，
由于点R在椭圆上及点O，
Q，R共线，得方程组
解得
由于点P在直线上及点O，Q，P共线，
解方程组
解得
当点P在y轴上时，经检验
（1）~（4）式也成立
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
将
（1）~（4）式代入上式，化简整理得
因x与xP同号或y与yP同号，以及（3），（4）知，
故点Q的轨迹方程为
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
解法二：
由题设点Q不在原点.又设P，R，Q的坐标分别为
（xP,yP）,（xR,yR）,（x,y）,其中x,y不同时为零.
设OP与x轴正方向的夹角为，则有
由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
由点P在直线上，点R在椭圆上，得方程组
将
（1），
（2），（3），（4）代入（5），（6），
整理得点Q的轨迹方程为
所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
解法三：
投影法
设P，R，Q的坐标分别为（xP,yP）,（xR,yR）,（x,y）,其中x,y不同时为零.
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2
设OP的方程为
这就是Q点的参数方程，消去参数k得
当P在y轴上时，k不存在，此时Q（0，2）满足方程，
故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
解法四：
极坐标法
在极坐标系OX中，设∠POX=
由得
由得
由|OQ|·|OP|=|OR|2得即
将
（1），
（2）代入（3）
故Q点轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点。
文科试题
一．选择题：
本题共15个小题;第
（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I={0，-1，-2，-3，-4，}集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，则（B）
（A）y（B）y（C）y（D）y
o1x-1oxo1x-1ox
（A）{0}（B）{-3，-4}（C）{-1，-2}（D）
（2）函数的图象是（D）
（3）函数的最小正周期是（C）
（A）（B）（C）（D）
（4）正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（B）
（A）（B）（C）（D）
（5）若图中的直线的斜率分别为，则（D）
y
O
x
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）双曲线的渐近线方程是（C）
（A）（B）（C）（D）
（7）使成立的的取值范围是（A）
（A）（B）（C）（D）
（8）圆的位置关系是（C）
（A）相离（B）外切（C）相交（D）内切
（9）已知是第三象限角，且，那么等于
（A）（B）（C）（D）（A）
（10）如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，
D1F1C1
A1E1B1
DC
AB
B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角
的余弦值是（A）
（A）（B）
（C）（D）
（11）已知是x的减函数，则的取值范围是（B）
（A）（0，2）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，+）
（12）在的展开式中，的系数是（D）
（A）-297（B）-252（C）297（D）207
（13）已知直线，直线.有下面四个命题：
（D）
①②
③④
其中正确的两个命题是
（A）①与②（B）③与④（C）②与④（D）①与③
（14）等差数列的前n项和分别为与，若
等于（C）
（A）1（B）（C）（D）
（15）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（A）
（A）24个（B）30个（C）40个（D）60个
二．填空题：
本大题共5小题;每小题4分，共20分。
把答案填在题中横线上。
（16）方程的解是__________
答：
3
（17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比_______
答：
（18）函数的最大值是_______
答：
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