电动力学静电场答案.docx
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电动力学静电场答案
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第1章静电场
1.证明均匀介质内部的极化电荷体密度，总等于自由电荷体密度的
－（1－）倍。
2.有一内外半径分别为的空心介质球，介质的介电常数为，使介质内均匀带静止自由电荷，求
（1）空间各点的电场；
（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
解1）
由电荷分布的对称性可知：
电场分布也是对称的。
电场方向沿径向
故：
时
或
时球壳体内：
在的球形外：
式中写在一起
2）
（与第一题相符）
内表面：
外表面：
3.证明：
当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的偏折
满足：
式中和分别为两介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
证明：
绝缘介质分界面上自由电荷密度，故边值关系为：
（,）
若两种介质都是线性均匀的，即，；
上边两式为:
，
于是得：
4.试用边值关系证明：
在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面。
1导体
2绝缘体
证明：
设介质1为导体，介质2为绝缘体。
静电情况下：
由边值关系：
可得：
即，，
对于各向同性线性介质
所以，
即导体外的电场线垂直于导体表面
2a
O
图1
x
5.如图1，有一厚度为，电荷密度为的均匀带电无限大平板，试用分离变量法求空间电势的分布。
解：
以O原点建立如图坐标系，为根据问题的对称性，
电势分布仅与x有关，即一维问题。
容易写出定解问题：
时
时
直接求解得
6.内半径，外半径为的两个同心导体球壳，令内球接地，外球带电量，试用分离变量法求空间电势分布。
解.根据球对称性，空间电势分布仅与r有关，定结问题为：
r=b时
求解得
7.均匀外电场中，置入半径为的导体球。
求以下两种情况的电势分布。
（1）导体球上接有电池，使球保持电势为；
（2）导体球上带有总电荷。
解建立球坐标系极轴方向为均匀电场方向，可知电势分布具有轴对称性，即电势仅与r有关
1）的定解问题为
此时是导体球放入前，通过坐标原点的等势面的电势，用分离变量法解为
2）的定解问题为
类似解为
z
8.介电常数为的无限均匀介质中，挖一个半径为的空球，球心处置一电矩为的自由偶极子，试求空间电势分布。
解如图建立球坐标系，的方向为极轴方向,
的定解问题为
r=a时，；
注意到泊松方程解的性质及电势分布具有轴对称性，可写为：
第二项为极化电荷激发的势，该项在球心应为有限值，故Bn=0
解的电势分布
9．半径为R的均匀介质球中心置一自由偶极子，球外充满另一种介质，求空间各点的电势和极化电荷分布（介质球介电常数为，球外为）。
解：
求解与上题类似，只需
得，
，
极化电荷分布，在介质球内
因此在球心处有一极化电偶极矩，
在的界面上，由，
可得，
10.两个接地的无限大导电平面，其夹角为，点电荷位于这个两面角的平面上，并与棱边（两面角之交线）相距为。
试用电像法求真空中的电势。
解：
考虑到两个无限大导电平面是接地的，且点电荷Q位于双面角的平分线上，可按下面的方法求得像电荷的位置和大小：
（1）首先考虑半面，为了满足平面的电势为零，应在Q关于对称的位置B处有一像电荷-Q,
（2）考虑半面，同样为了满足电势为零的要求，对于A、B处两个点电荷+Q和-Q，应在A、B关于对称的位置C、D处有两个-Q、+Q，
（3）再考虑半平面，对于C、D处的-Q和+Q，应在E、F处有两个像电荷+Q和-Q才能使导体的电势为零。
可以证明E、F处的两个点电荷+Q和-Q关于平面对称，因而可满足平面的电势为零，这样找出了5个像电荷，加上原来给定的点电荷，能够使角域内的场方程和边界条件得到满足，所以角域内任一点P处的电势可表为，
其中分别为给定电荷Q及其像电荷到P点的距离。
在其余空间的电势为。
11.接地空心导体球，内外半径为和，球内离球心处（）置一点电荷，试用电像法求空间电势分布。
导体上感应电荷分布在内表面还是外表面？
其量为多少？
若导体球壳不接地而是带电量，则电势分布又如何？
若导体球壳具有确定的电势，电势分布如何？
解：
根据题意设球内区域电势为，球外区域电势为，
，
设像电荷位置如图所示，
其中
由边界条件
要使上式对任意成立，必有
（*）
解得，（舍去）
代入（*），得
由上可知，，
若使有确定，且两种情况有相同解，
，
由边界条件
所以，外表面感应电荷面密度，
内表面感应电荷面密度
，
总感应电荷，（可见全部在内表面上）
12.四个点电荷，两个＋，两个－，分别处于边长为的正方形的四个顶点，相邻的符号相反，求此电荷体系远处的电势。
解：
该系统电荷分布为分立分布，在如图坐标系中位置为q（0,0,0），-q（a,0,0），-q（0,a,0），q（0,0,a）的精确到四极矩情况下，可求得远处的电势分布为。
13.求面电荷密度按分布，半径为的球的电矩。
问该系统是否存在电四极矩？
解：
，
所以，
14.设真空中电场的势为
式中是离坐标原点的距离，和是常数，求相应的电荷分布。
解：
，，
时，，
时，
15.在一点电荷的电场中，距离它为的地方有一偶极子，其电矩，求在下列两种情况下，此电矩所受的力和力矩：
（1）偶极子的电矩沿点电荷电场的方向;
（2）偶极子的电矩垂直于点电荷的电场。
解：
把点电荷q激发的电场视为外场，，
电偶极在外电场中的势能为，
而，把的取向代入一般表达式，得到
（1）时，，
（2）时，，的方向由决定。
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