线性代数教案.doc

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第二章矩阵

§2.1矩阵及其运算

教学目的：

使学生学习矩阵相关的概念及运算

教学重点：

矩阵的概念及运算，几种特殊的矩阵

教学难点：

矩阵的的乘法运算，

一、导入

矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。

矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。

它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

二、新授

1．定义1：

由个数排成的行列的表

称为行列矩阵（matrix）,简称矩阵。

一般用大写黑体字母表示：

记为A、B、C。

为了表示行和列，也可简记为或矩阵中数称为矩阵的第行第列元素。

注意：

m=n时是方阵，此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。

n=1称为列矩阵或列向量。

m=1称为行矩阵或行向量。

定义2：

如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等。

则称两个矩阵相等。

记为A=B。

把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。

例1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵

其中为工厂向第店发送第种产品的数量。

这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵

其中为第中产品的单价，为第种产品单价重量。

2．特殊形式矩阵：

（1）n阶方阵：

在矩阵中，当时，称为阶方阵

（2）行矩阵：

只有一行的矩阵叫做行矩阵

列矩阵：

只有一列的矩阵

叫做列矩阵

（3）零矩阵：

元素都是零的矩阵称作零矩阵

3．相等矩阵：

对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵

4．常用特殊矩阵：

（1）对角矩阵：

（2）数量矩阵：

（3）单位矩阵：

（4）三角矩阵：

称作上三角矩阵，称作下三角矩阵。

5.矩阵的运算

一、矩阵的加法：

定义3：

A+B=（）+（）=（+）

=

两个同型（m行）、同列（n列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相加（行与列不变）

由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律

1、交换律A+B=B+A

2、结合律（A+B）+C=A+（B+C）

3、有零元A+0=A

4、有负元A+（-A）=0

二、数与矩阵的乘法

定义4、给定矩阵A=（）及数k,则称（k）为数k与矩阵A的乘积。

即kA=k=

由定义可知–A=（-1）A

A–B=A+（-B）

数与矩阵的乘法满足下列运算律（设，，为矩阵，，为数）：

（a）

（b）

（c）

例1设

，求。

解：

三、矩阵的乘法

（1）定义5：

设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中

（2）矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：

（a）结合律：

；（b）分配律：

；

（c）设是数，。

例2设，，

求，与。

解：

;

从例题中我们可以得出下面的结论：

（i）矩阵的乘法不满足交换律。

即一般地说，。

（ii）两个非零矩阵的乘积可能等于零。

一般说来，不能推出或。

（iii）矩阵乘法中消去律不成立。

即，且，不能推出

（3）设是一个阶方阵，

定义：

（是正整数）称为的次方幂。

由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：

；，

其中，为正整数。

又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个阶方阵与，一般说来，。

设是的一个多项式，为任意方阵，则称为矩阵的多项式

四、矩阵的转置

1．定义：

设

则矩阵称为的转置矩阵

2．矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：

（1）

（2）

（3）（是数）（4）

例3设BT=B,证明（ABAT）T=ABAT

证明：

因为BT=B，所以（ABAT）T=[（AB）AT]T=（AT）T（AB）T=ABTAT=ABAT

3．定义：

设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。

如果，即有，，则说为反对称矩阵。

五、方阵的行列式

1．定义6：

由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式（determinantofamatrixA），记作||或。

2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：

（1）；

（2）；（3）。

3.小结：

本节介绍了矩阵的概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵以及矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算在矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。

§2.2逆矩阵

教学目的：

会判断矩阵的可逆性，矩阵可逆的条件

教学重点：

1．可逆性判定；2.矩阵可逆的条件

教学难点：

求逆矩阵

一、导入

求逆矩阵是矩阵的一种重要运算，它在矩阵的应用中起到重要的作用。

二、新授

逆矩阵的概念

1．定义：

设为阶方阵，若存在阶方阵，使

则称是可逆矩阵。

并称为的逆矩阵，记为，即。

如果矩阵是可逆的，则的逆矩阵是唯一的。

事实上，设，都是的可逆矩阵，则有，

于是。

2．定义：

设为阶方阵，若，则称是非奇异的（或非退化）的，否则称是奇异的（或退化的）。

3．定义：

设，令为中元素的代数余子式，则称方阵

为的伴随矩阵，或记为。

矩阵可逆的充要条件

定理：

方阵可逆的充分必要条件是为非奇异矩阵，即，并且

证明：

充分性：

设

，

由第一章中定理1.4及推论可知

又知，所以有故可逆，且。

证毕。

推论1：

若是可逆矩阵，则经过若干次初等变换后所得矩阵仍为可逆矩阵。

推论2：

若（或），则。

方阵的逆矩阵满足下面运算律：

（1）若可逆，则；

（2）若可逆，数，则；

（3）若，为同阶可逆矩阵，则；

（4）若可逆，则；（5）若可逆，则

逆矩阵的计算方法：

伴随矩阵求逆矩阵

例1求方阵的逆阵。

解：

求得，所以存在，又

得所以

例用伴随矩阵法求A的逆矩阵

解：

因为，所以A可逆。

，

，，

3.小结：

本节讲授了逆矩阵的概念、可逆条件和求逆的方法，要求会求逆矩阵。

§2.3矩阵的分块法

教学目的：

会用分块矩阵作加、减、数乘法、转置运算

教学重点：

分块矩阵的乘法运算

教学难点：

分块矩阵的乘法运算

一、导入

对于行数和列数较大的矩阵我们经常会采用一种分块的方法（即将高阶矩阵划分成若干个小块后再进行降阶运算），它是计算高阶矩阵的一种有用的技巧。

二、新授

分块矩阵的概念

设是一个矩阵，我们将用若干条横线和纵线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为的子块（或称为的子矩阵），以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。

分块矩阵的运算

1．分块矩阵的加法：

设矩阵A和B是两个同型矩阵，且采用同样的方式进行分块，则分块矩阵A与B相加，只需的把对应子块相加。

2．数与分块矩阵的乘法：

数与分块矩阵相乘等于用这个数乘每一个子块。

3．分块矩阵的乘法：

设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，将它们分块成

，

其中

4、分块矩阵的转置：

设

，则

5、分块对角矩阵的行列式具有性质：

例设矩阵

，求A+B，AB。

解：

按相同的分法把A，B分成以下子块

则有而

所以，

而，故.

3.小结：

本节主要介绍矩阵的分块运算，作为选讲内容，对其概念和运算要求一般性的掌握。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组

§3.1矩阵的初等变换

教学目的：

掌握矩阵的初等变换和初等矩阵,会进行初等变换

教学重点：

初等变换，利用初等变换求矩阵的逆

教学难点：

利用初等变换求矩阵的逆

一、导入

矩阵的初等变换是一种奇妙的运算，它在线性代数中有着极其广泛的应用，借助它我们可以得到很多有用的的结论。

二、新授

定义1下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：

（1）互换矩阵中两行（列）元素（记ri←→rj或ci←→cj）；

（2）用一个非零数k乘矩阵的某一行（列）（记k×ri或k×ci）；

（3）矩阵的某一行（列）元素倍地加到另一行（列）对应元素上（记ri+k×rj或ci+k×cj）；（注意：

本行的元素并没有改变）

矩阵的初等行或列变换统称矩阵的初等变换。

如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B，则称A与B等价。

记做A~B或A→B。

矩阵等价的三个性质：

（1）反身性A→A；

（2）对称性若A→B，则B→A；

（3）传递性：

若A→B，B→C，则A→C。

行阶梯形矩阵：

可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，即每段竖线的长度为一行，竖线后面的第一个元素为非零数。

如

，，

等都是行阶梯形矩阵。

行最简形矩阵：

在行阶梯形矩阵的基础上，每个非零行左数第一个非零元是1，并且它所在列的其它元素都是零。

标准型矩阵：

它的左上角为一个单位阵，其它元素都是零。

就是.

定理1任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等行变换将其变成行阶梯形矩阵，进一步还可化成行最简形矩阵。

定理2一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵。

定理3任意一个m×n矩阵A，总可以经过有限次初等变换将其变成标准型矩阵

定义2（初等矩阵）对单位矩阵E施行一次初等变换后得到的矩阵，称为初等矩阵。

有以下三种类型：

对调、倍乘、倍加，

1．对调两行或对调两列记为

。

2．以k≠0乘矩阵某行或某列记为

其中。

3．以数k乘矩阵某行（列）加到另一行（列）上去记为

初等矩阵有如下性质：

性质1初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵，

；；

性质2初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵，

；；

性质3对矩阵A施行一次行初等变换相当于在A的左边乘一个同类m阶初等矩阵；而施行一次列初等列变换相当于在A的右边乘一个同类n阶初等矩阵。

初等矩阵的这个性质为计算逆矩阵提供了一个方法，讨论如下。

设A是阶可逆矩阵，由上节定理2（一个非奇异矩阵A，可以经过有限次初等行变换变成单位阵）则A可经过有限次初等行变换变成单位阵，即存在一批初等矩阵P1、P2、…、Ps，使得

Ps…P2P1A=E，所以Ps…P2P1=A-1，

这样，如果把将A化成E过程中的每个初等阵Pi都记载下来，就可得到A的逆矩阵A-1=Ps…P2P1，可以想象这样做也很麻烦。

采用对比的方法：

Ps…P2P1A=E，

Ps…P2P1E=A-1，

就是说，对A做什么样的初等行变换，就对E做什么样的初等行变换，而不必记载中间的初等变换的具体结果，直至将A化成E。

再考虑到分块矩阵的乘积，有

Ps…P2P1（A|E）=（Ps…